Права а лежи в равнина



Дата18.08.2017
Размер70.32 Kb.
Права а лежи в равнина α, ако: - има две общи точки с равнината

- има обща точка с α и е успоредна на права от α

- има обща точка с α и е успоредна на права b, която е успоредна на α

- има обща точка с α и е перпендикулярна на права b, която е перпендикулярна на α

- има обща точка с α и е перпендикулярна на равнина β, която е перпендикулярна на α

  Права а е успоредна на равнина α , ако:

- няма обща точка с α

- е успоредна на права от α

- е перпендикулярна на права, която е

перпендикулярна на α

- е перпендикулярна на равнина, която е

перпендикулярна на α

  Права а е перпендикулярна на равнинаα, ако:



- е перпендикулярна на две пресичащи се прави

от α

- е успоредна на права, която е перпендикулярна

на α

- е перпендикулярна на равнина, която е

успоредна на

- лежи в равнина, перпендикулярна на α и е перпендикулярна на пресечницата на две равнини

  • Ако правата а е перпендикулярна на равнина α , то всяка права от равнината е перпендикулярна на а

 

Разстояние от точка до равнина е дължината d на перпеникуляра от точката до равнината

   



Разстояние между успоредна права и равнина е разстоянието d от коя да е точка от правата до равнината.

 Ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната ортогонална проекция върху равнината.

 Теорема за трите перпендикуляра: Ако права а пресича равнината α, но не е перпендикулярна на нея, то права b от равнината α е перпендикулярна на правата а тогава и само тогава, когато b е перпендикулярна на ортогоналната проекция на а върху равнината α.

1) Проекцията на отсечката АВ върху равнината α е А1В1. Дължините на АВ , АА1 и ВВ1 са съответно 10 см, 7 см и 13 см. Да се намери дължината на А1В1.

Решение:


Построяваме права АР успоредна на А1В1. Полученият ΔАВР е правоъгълен с хипотенуза 10 см и катет 6 см. По питагорова теорема следва, че АР = . но А1В1 = АР = 8 см.




2) Даден е правоъгълен паралелепипед АВС DA1B1C1D1 с основни ръбове а и b . Да се намери разстоянието от центъра О на стената ВСС1В1, до равнината на диагоналното сечение АСС1А1.

Решение :

Разглеждаме ΔMNP , където точките M , N и P са среди съответно на околните ръбове АА1, ВВ1 и СС1. Разстоянието от точка О до равнината (АСС1) равно на разстоянието от О до MN , което е половината от височината NH на ΔMNP . Изразявайки лицето на ΔMNP по два начина получаваме , че разстоянието е .





3) Даден е Δ АВС , със страни АВ = 2 см, ВС=6 см и СА = 5 см. Точката М не лежи в равнината на Δ АВС и е такава, че МА е перпендикулярна на равнината на Δ АВС и МА = см. Да се намери разстоянието от точката М до ВС.


Анимиран вариант на чертежа

Решение:




=>

Прилагаме питагорова теорема за ΔMАН и получаваме






4) Даден е равнобедреният ΔАВС , АС = ВС = 5 см и АВ = 6 см, СМ е перпендикулярна на равнината на ΔАВС и е равна на см. Да се намери ъгълът който сключва височината на МН на ΔMАВ с равнината на ΔАВС .

Решение:

Разглеждаме правоъгълният ΔНВС от който = >

Ъгълът между MH и равнината (АВС) е равен на линейният ъгъл СНМ.



=> търсеният ъгъл е 30o.




5 зад. В правоъгълния ΔABC хипотенузата AB има дължина с и е страна на равностранния ΔABD . Триъгълниците ABC и ABD лежат в различни равнини и върхът C е ортогоналната проекцията на D върху равнината (ABC). Да се намери разстоянието от проекцията на центъра на ΔABD върху (АВС) до страната AB.


Решение:

Построяваме DK AB (K AB). Тъй като CD ( ABC ) следва, че CK AB . Центърът О на равностранния ΔABD е пресечната точка на медианите му , т.е.О DK . Разглеждаме ΔKDC и ΔKOO1(О1е проекцията на точката О върху равнината (ABC)). ΔKDC и ΔKOO 1 са подобни. Следва, че


CK:O
1K = DK:OK. =3 :1 , откъдето O1K = CK /3. Наклонените AD и BD са равни, следователно и проекциите им и BC върху (АВС) са равни, т.е. ΔABC е равнобедрен с АBC = CBA =45 o. Тогава
CK
= AK . , т.е. CK =О 1К= .

1) На фигурите отсечката АВ е успоредна на равнината . По данните от чертежите да се изчислят отсечките x и y .








2) По данните от фигурите да се намери дължината на отсечката ММ1, ако М е среда на АВ и М1е среда на А1В1.








3) Отсечката AB е наклонена към равнината α (Bα). Тя е разделена от точката C в отношение 3:4, считано от A . Отсечката CD =12 cm е успоредна на α. Правата AD пресича α в точката Е. Да се намери дължината на отсечката BE .




4) От точка А към равнината β са построени перпендикулярът АО = 1 cm и две равни наклонени AB и AC , така че
BAO=CAO=60o и CAB=90o. Да се намери дължината на отсечката BC .






5) В равнината µ е разположен правоъгълник АВСD . От точка А е издигнат перпендикуляр АК към µ. Да се намери КСD , ако отсечката КС сключва с равнините µ и (АВК) ъгли с големина α. .






6) От точка, нележаща в дадена равнина, са прекарани две прави, сключващи помежду си ъгъл α и ъгъл β с дадената равнина. Да се намери ъгълът между ортогоналните проекции на правите върху дадената равнина .






7) През страна на ромб е прекарана равнина, сключваща с диагоналите му ъгли α и 2α. Да се намери острият ъгъл на ромба.




8) През точка Р, нележаща в дадена равнина, са прекарани три прави, сключващи с равнината ъгли с големина 30o. Да се намери разстоянието от Р до равнината, ако разстоянията между прободните точки на правите с равнината са съответно 10 , 17 и 21.


Анимиран вариант на чертежа




9) Нека О е центърът на квадрат АВСD с дължина на страната 4 cm . Отсечката ОМ, която е перпендикулярна на равнината на квадрата има дължина 1 cm . Да се намери разстоянието от M до върховете на квадрата и ъгълът, който АМ сключва с равнината на квадрата.






10) Даден е ромб с диагонали 80 cm и 60 cm . Върху перпендикуляра, издигнат към равнината на ромба от пресечната точка на диагоналите му, е взета точка, отдалечена на 18 cm от същата равнина. Да се намерят разстоянията от тази точка до правите определени от страните на ромба.







11) Даден е ΔАВС . Равнина, успоредна на АВ, пресича страните АС и ВС съответно в точките А1 и В1. Да се намери дължината на отсечката А1В1, ако:

а) АВ = 15 cm и АА1: АС = 2:3; б) АВ = 8 cm и


АА
1: A1С = 5:3;

в) В1С = 10 cm и АВ : ВС = 4:5;


г) АА1 = а, АВ = b и A1 С = c .






12) Проекцията на ΔАВС върху равнина α е равностранен ΔА1В1С1. Върху страните АС и ВС са взети точките М и N така, че СМ:СА = m , СN : СВ = n . Медианата СD пресича МN в точка Е. Да се намери отношението МЕ:ЕN .

Упътване: Търсете отношението в равностранният триъгълник.








13) Даден е квадрат АВСD със страна 2 cm и точка Р, нележаща в равнината на квадрата. Точката Р се проектира ортогонално в D , като DP = 2 cm. Да се намери:

а) ъгълът между правата АР и равнината (АВС)

б) косинус на ъгъла между правата ВР и равнината (DСР )

в) разстоянието от точка А до равнината (ВDP )

г) разстоянието от точка А до ВР

д) разстоянието от точка В до равнината (АСР)








14) Даден е куб АВCDA 1B1C1D1 с ръб . Да се намери разстоянието от В1 до равнината:

а) (АСС1)

б) (ВDA1)

в) (АСD1).








15) Диагоналите на ромб АВСD имат дължини АС = 8 и ВD = 6 и се пресичат в точка О. Страната АВ лежи в равнината α, С1 е ортогонална проекция на С в α и
СС
1 = 3, е перпендикулярна на α. Да се намери:

а) косинусът от ъгъла, между правата АС и α;

б) лицето на четириъгълника АВС1 D1







16) Дадена е правилна четириъгълна призма АВСDA1B1C1D1 с ръбове АВ = и АА1= . Да се намери разстоянието от А1 до равнината (В DC1 ).

 




17) Дадена е триъгълна пирамида АВСD , като АС = ВС = 5, АСВ =120o и DA = 3 Ръбът е перпендикулярен на равнината (АВС). Да се намери ъгълът между правата ВD и равнината (АВС).






18) В равностранен ΔАВС е вписана окръжност с център О. Точката А лежи в равнината α, а точките В и С са на разстояние 2 cm и 4 cm от нея. Да се намери ъгълът между правата р, минаваща през О и перпендикулярна на (АВС) и α, ако отсечката от тази права заключена между α и равнината на триъгълника е 2 cm.






19) Дадена е правилна триъгълна пирамида АВСМ. Нека О е центърът на основата АВС. Върху ръба СМ е взета точка Р такава, че СР : РМ = 2 : 1. Да се докаже, че ОР || (АВМ).

Верните отговори са:

 

1) ; черт.8 – х = 3; y = 5; черт.9 – х = 2,8; y = 4,8


2) черт.10 – 6; черт.11 – 8; черт.12 – 4
3) 28 cm
4) 2 cm
5)
6) aкo ъгъла е х, то
7)
8)
9) 3 cm
10) 30 cm
11) a )5см б) 3 см в) 8 см г)
12) m : n
13) a )45; б) ; в) г) ; д)
14) 1;
15)
16) изразяване на обема на пирамидата BDD1C1
17)
18) 30
Каталог: zmonres -> edu -> Matematika 12 ORAK -> math12
math12 -> N това множество се въвежда аксиоматически чрез три основни числа и пет аксиоми. Тези аксиоми се наричат аритметични аксиоми на Пеано на името на италианския математик Джузепе Пеано (1858 1932). Основните (първичните) понятия на Пеано са
math12 -> Историческа справка
math12 -> Хорда на сфера – отсечка коята свързва две точки от сферата
math12 -> Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида
math12 -> Е решение 2 подслучай
math12 -> Определение: Частта от пирамида заключена между две нейни успоредни сечения се нарича пресечена пирамида


Поделитесь с Вашими друзьями:




База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2020
отнасят до администрацията

    Начална страница