Предстои техническа преработка на текста. \title{{\bcyr системите за компютърна алгебра
Изтегляне 126.08 Kb.
|
| Предстои техническа преработка на текста.
\title{{\bcyr СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА - ЕСТЕСТВЕН ПОМОЩНИК В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА} \footnote{\cyr Изследванията по темата са частично финансирани по Договор {\rm V} РП И-5/99 г. с НФНИ}} \author{\bcyr Маргарита Спиридонова} \date{} \begin{document} \cyr \maketitle \begin{quote} Разглеждат се характерните особености на системите за компютърна алгебра, които ги правят естествен помощник в преподаването и изучаването на математика. Представена е една конкретна система за компютърна алгебра, предназначена за приложение в обучението - системата {\rm \it DERIVE}. \end{quote}
\hskip \parindent В нашите училища и университети използването на компютри и създаването на компютърни класове или лаборатории е нещо обичайно. В каква степен, обаче, те се използват в обучението по математика? Естествено, отговорът е различен за всяко училище или универстет, дори за всеки преподавател. Но възникват и допълнителни въпроси - има ли подходящ софтуер, достъпен ли е той, колко лесно се усвоява, как би повлияло неговото използване на учебните програми и т.н. Настоящият доклад може да бъде полезен за формиране на отговори на поне част от тези въпроси.
съвременния математически софтуер, са естествено помощно средство при преподаването и изучаването на математически дисциплини в университетите и училищата. След кратко разглеждане на техните общи характеристики ще представим обзор на възможностите на една конкретна система - СКА {\rm DERIVE}. \section{\bcyr Какво представляват СКА} \hskip \parindent Системите за компютърна алгебра (СКА), наричани често системи за символни и алгебрични пресмятания или системи за компютърна математика, са програмни системи, предназначени за автоматично извършване на математически пресмятания от различен области на математиката. Те боравят с изрази, представени символно и извършват над тях определени преобразования или решават определени типове задачи по предварително разработени за тази цел ефективни алгоритми. Съвременните мощни СКА имат реализирани възможности за символни и числени пресмятания и за визуализация на функции и данни. Те представляват среди за научни и инженерни пресмятания, а също така за преподаване и изучаване на математика.
трите основни направления в развитието на компютърната алгебра - алгоритми,системи и приложения.
алгебра някои автори препращат към Нютон (поради изложените в неговата "Универсална аритметика" ({\rm XVII} век) принципи за работа с математически изрази), други цитират твърдение на лейди Лъвлейс ({\rm XIX} век) за възможността всяка точна процедура да се изпълни с помощта на компютър (аналитична машина, по нейно време), трети отбелязват създаването на езика за обработка на символна информация ЛИСП (1960 г.) като решаващ момент за ефективната програмна реализация на символни пресмятания с математически изрази. Всяко от тези твърдения има своите основания. Но практическото използуване на компютри за символни пресмятания с математически изрази е от около четири десетилетия. За този период са разработени няколко десетки СКА - с общо предназначение (с богат набор от операции от различни области на математиката) и специализирани (ориентирани към приложение в определена област). Сред многото разработени СКА с общо предназначение (с версии за различни типове компютри) са {\rm \it MATHEMATICA, MAPLE, DERIVE, MACSYMA, MATLAB, REDUCE}, които са познати и използвани и у нас. Чрез Интернет може да се намери богата информация за конкретни СКА и техни приложения, за книги, списания, фирми, международни организации и конференции в тази област. Достатъчно е да се използва следния адрес: $ http://symbolicnet.msc.kent.edu/www-sites.html $ а от него има голям брой връзки към други адреси, свързани със СКА. СКА намират приложение предимно в научно- изследователската работа, при решанане на научно-технически задачи и в обучението. Докато за научните изследвания в редица области и за инженерните пресмятания СКА вече са естествено помощно средство, за обучението по математика това става по-бавно. За последните няколко години, обаче, е характерен "бум" в това направление.
\hskip \parindent Както беше споменато по-горе, една съвременна СКА с общо предназначение представлява среда за символни и числени пресмятания и визуализация на функции и данни. В такава компютърна среда математиката е по-привлекателна, изглежда по-достъпна, по-лесно и естествено се осмислят нещата като се свържат формулите с графиките на функциите, които те представят и т.н. Използването на СКА би трябвало да подпомага, а не да заменя упражненията а в много случаи новият материал може да се възприеме по-добре, ако се илюстрира по подходящ начин с една СКА. Примерите, които ще бъдат дадени със системата {\rm \it DERIVE}, ще подскажат някои идеи за това, а в богатата преподавателска практика ще се намерят още по-интересни и по-убедителни примери. Разбира се, разглежданият проблем има различни аспекти - педагогически, методологичен и др. и редица изследвания и публикации следва да се имат предвид при по-пълно разглеждане на проблема. Настоящият доклад акцентира върху полезния ефект от приложението на СКА в учебно-преподавателската работа по математика.
предизвикателство за преподавателите по математика. То е свързано с много проблеми, но постепенното им решаване (на различни нива) си струва усилията. Без да идеализираме възможностите на СКА и без да сме консервативно настроени към тях, можем да намерим тяхното естествено място в класната стая. На следния адрес в Интернет на международната организация {\rm CAME (Computer Algebra in Mathematics Education)} може да се получи информация за многобройни приложения на СКА в обучението:
и след това отново да направим някои заключения в духа на казаното по-горе. Защо изборът падна върху системата {\rm \it DERIVE}? Основните причини за това са следните: - тя е създадена за приложение в обучението по математика и наистина е намерила своето широко приложение в тази област; - предлага много добри възможности и удобен начин на използване; - нейните изисквания към хардуера не са високи; - цената на системата не е висока, а за училища и университети се предлагат специални цени (с отстъпки); - възможностите на системата са "вградени" в алгебричните калкулатори на {\rm Texas Instruments}, които получават все по-широко разпространение;
\hskip \parindent {\rm \it DERIVE} [1], наречена от създателите си ({\rm David Stoutemyer, Albert Rich, USA}) математически помощник, е СКА с общо предназначение. Създадена е във фирмата {\rm Soft Warehouse}, която от август, 1999 г. е част от голямата американска компания {\rm Texas Instruments}. Системата {\rm \it DERIVE} притежава богат набор от възможности за символни и числени пресмятания и за двумерна и тримерна графика, удобен интерфейс, добра документация, доста подробен {\rm"Help"} - качества, които я правят удобна и лесно приложима СКА както в обучението по математика, така и при решаване на проблеми, в които има рутинни пресмятания, преобразования на изрази, визуализация на изследвани процеси и др.
развива и обогатява, създават се нови версии, преносими на различни типове компютри. За целите на настоящото разглеждане са използвани версии за съвместими с {\rm PC} компютри. Версията 4.11 за {\rm Microsoft Windows} изисква поне 8 MB памет и работи под управление на {\rm Microsoft Windows 95, Windows NT} или {\rm Windows 3.1x} (с {\rm Win 32s}).
512 К памет и работи под управление на {\rm MS DOS 3.0} или съвместими с нея операционни системи.
инсталационна дискета. \subsection{\bcyr Интерфейс на {\rm \it DERIVE}} \hskip \parindent {\rm \it DERIVE} притежава управляван от меню интерфейс. Потребителят работи в диалогов постъпков режим, с много улеснения, с добре организирана помощна информация ({\rm "On-line Help"}) и т.н.. Версията
за {\rm Windows} има всички основни характеристики на системите, работещи под управление на {\rm Windows}: използване на няколко прозореца, редактиране, запазване на съдържанието на прозорци, записване на цели прозорци или части от тях в областта {\rm Clipboard} и др. Системата предлага улеснения за въвеждане на изрази и използване на математически означения и букви от гръцката азбука в тях, директен избор на необходимите команди, режим на четене и изпълнение на демонстрационни файлове и др. \subsection{\bcyr За реализираните в {\rm \it DERIVE} математически пресмятания} \hskip \parindent Възможностите на {\rm \it DERIVE} за математически пресмятания съответстват на основните групи операции на системата:
аритметика с произволна, зададена отпотребителя точност; аритметични действия с комплексни числа; разлагане на цели числана прости множители и др.
скоби и повдигане на степен, разлагане на полиноми на прости множители, аналитично решаване на алгебрични уравнения и неравенства, числено решаване на уравнения със зададена точност, решаване на системи от линейни уравнения и др.
интеграли (неопределени и определени), редове на Тейлър и Фурие, преобразование на Лаплас, точно и приближено решаване на обикновени диференциални уравнения и др. 4) Операции над вектори и матрици - пресмятане на детерминантата, следата и обратната на дадена матрица, транспониране на матрици, намиране на собствени значения и собствени вектори на матрици, елементи на векторен анализз и др. 5) Функции - експоненциална, логаритмична, тригонометрични и хиперболични, специални функции, статистически, генератор на псевдо-случайни числа и др.
с разнообразие на възможности (правоъгълна и полярна координатна система, параметрично задаване на изобразяваните функции, указания за разположението на графиката, за цветовете и др.) 7) Език за програмиране - предлага средства за дефиниране на функции на потребителя, включително рекурсивни, за описания на променливи, булеви операции и релации, условен оператор и др.
файл, печат, генериране на файлове с формата на езиците {\rm C, Pascal, Fortran, Basic} и др. \subsection{\bcyr Основни стъпки при работа с {\rm \it DERIVE}. Илюстрационни примери}
извършват всички операции на системата. {\bcyr Изразите} в {\rm \it DERIVE} съдържат числа, променливи, константи (като ${\pi}$, например), знаци за операции, имена на функции %($ +, -, *, /, ^ $ ), ("познати" на системата или дефинирани от потребителя). След стартиране на системата на екрана се появява прозорец, наречен алгебричен, в който се записват всички въведени изрази и резултатите от изпълнените над тях операции. А графиките се изобразяват в прозорец, наречен графичен. На фиг.0 е показан такъв прозорец. Той има заглавие (в случая {\rm Algebra ???.MTH}), меню, лента с бутони, под нея - празен
прозорец (работна област) и най-долу - ред, съдържащ информация за моментното състояние на системата. На практика всички вградени в системата възможности могат да се използват чрез менюто и бутоните.
Фиг. 1 ({\rm W1}): Диалогов прозорец за въвеждане на изрази Въвеждането на изразите става с избиране на {\rm "Author"} от менюто или бутона "моливче". На екрана се показва диалогов прозорец (фиг. 1), в който има ред за израза на потребителя. Този прозорец предлага и възможност за избор от двуредна лента в него на букви от гръцката азбука и специални символи члез щракване с мишката върху определени бутони. В израза, който е записан като пример, участват всички аритметични операции, а знакът за квадратен корен е избран от споменатата лента в диалоговия прозорец. Записаният в реда израз се изпраща в активния алгебричен прозорец (след избиране на "ОК" в диалоговия прозорец) и като следваща стъпка потремителят трябва да укаже каква операция да бъде приложена над него чрез съответен бутон или възможностите на менюто. Избраната от потребителя операция се записва пред въведения израз и отново това се показва на екрана като команда, чието изпълнение потребителят трябва да зададе чрез {\rm "Simplify"} от менюто или бутона със знак за равенство или "приближзително равно" при приближени пресмятания. На фиг 2. е показан прозорец с въведени и изпълнени аритметични и алгебрични операции над изрази. Фиг.2 ({\rm w2}): Аритметични и алгебрични операции над изрази При постъпковото изпълнение на указаните пресмятания може да се появят допълнителни диалогови прозорци, в зависимост от изпълняваната команда. Например, на фиг. 3 е показано решението на квадратно уравнение относно $\alpha$, което искаме да решим с {\rm \it DERIVE} като системата пита чрез диалогов прозорец (на междинен етап, който не е показан на фиг. 3) дали да го реши относно $\alpha$ - този момент е особено важен, ако в уравнението участват повече от една променливи. Показано е полученото решение и графиката на лявата част на уравнението, маркирана преди да изберем команда за двумерна графика чрез менюто или бутон. В същност, фиг.3 показва екран с два прозореца - алгебричен и графичен, разположени по подходящ начин. Вижда се и менюто на графичния прозорец, което позволява промяна на разположението на графиката, на цветовете и др.
може да се укаже при избор на {\rm "Author"} от менюто. Ако искаме да въведем матрица, се отваря диалогов прозорец с подходящи полета, както е на фиг. 4.
По време на работа с {\rm \it DERIVE} може да има открити по няколко от двата типа прозорци - алгебрични и графични, като щракването с мишката върху един от тях го прави активен. Това се вижда, например, на фигури 5,6, и 7. Фиг. 5 Фиг. 6 Фиг.7 На фиг 5 са изпълнени операции от анализа, като в графичния прозорец виждаме графиките на ${-\sin(x)}$ и нейното развитие в ред на Тейлър. На фиг. 6 е дефинирана функцията $g(v)$; на $g(x)$ са намерени първата и втора производна и графиките им са изобразени в отделни графични прозорциа, като със всяка от тях е изобразена и самата функция. На Фиг. 7 виждаме вектори с варианти на линейна и квадратна функция и съответни графики, които могат да се използват при изследване на свойствата на тези функции. Подобен подход може да се приложи и към други функции. Фиг 8
На фиг.8 са изобразени: параметрично зададена линия и две повърхнини. Фиг. 9 и 10 съдържат еднакви пресмятания, показани с версиите на. {\rm \it DERIVE} за {\rm DOS} и {\rm Windows} .
% Тъй като не си поставяме за цел пълно описание на системата %{\rm \it DERIVE}, не разглеждаме всички възможности на менюто и бутоните. %Важно е да се получи %представа за стила на работа със системата и нейните основни възможности. % % Все пак в следващите примери ще "обходим" менюто, за да изберем %представители на различните групи операции, споменати по-горе. %Бел. За включването на примери с "екрани" и части от прозорци %са използвани възможностите на интерфейса на {\rm \it DERIVE}.
\section{\bcyr Заключителни бележки} \hskip \parindent
"графичния подход" и съчетаването му с аналитичния при приложението на {\rm \it DERIVE}. Това не е малко, но при по-добро запознаване със системата и разглеждане на различни по характер теми от учебния материал, може да се намерят интересни възможности. За някои от тях насочва самата документация, демо-версията на системата ит.н.
използва в училище, например за упражнение, занятието би могло да съдържа следните основни части:
материал и в този случай е особено важна инициативата на преподавателя. В статията [2] се отбелязват следните важни моменти в използването на СКА и алгебрични калкулатори в обучението по математика: постига се "тривиализация" в работата (нещата изглеждат лесни), усвояване на знания чрез експериментиране, визуализация (онагледяване), концентрация на вниманието на учениците (или студентите).
или лоши помощници в преподаването и изучаването на математика в зависимост от това как ги използваме. %{\rm TI-89, TI-92, TI-92 Plus} %\Acknowledgments
{\bcyr Литература} \end{flushleft}
{\rm Kutzler, B.: Introduction to {\rm \it DERIVE for Windows, Austria, 1997} \item {\rm Kutzler, B.: The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, $ http://www.kutzler.com/bk/a-pt/ped-tool.html $} \end{enumerate} \bigskip
Институт по математика и информатика, Българска Академия на науките ул. "Акад. Г. Бончев" бл. 8 1113 София {\rm e-mail: mspirid@math.bas.bg} \end{document} Каталог: artint -> mspirid mspirid -> М. М. Нишева-Павлова mspirid -> Модул 1: logo математически модели и експерименти с помощта на езика Лого в средата mspirid -> В обучението по математика и информатика mspirid -> Програмни средства за компютърна алгебра, ориентирани към обучението по математика маргарита Спиридонова mspirid -> Като елемент на новите технологии в образованието Изтегляне 126.08 Kb. Сподели с приятели:
|