Преобразование на фурие и уейвлети приложение в об­РА­бот­ката на сигнали

"ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА ФУРИЕ И УЕЙВЛЕТИ – ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБ­РА­БОТ­КАТА НА СИГНАЛИ"

сл. тел 6256/531, дом.тел. 852-08-87, e-mail levy@fmi.uni-sofia.bg

В кур­са се из­ла­гат ос­нов­ни­те свойс­т­ва на раз­лич­ни­те ва­ри­ан­ти на пре­об­ра­зо­ва­ни­ето на Фурие (ред на Фурие, пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие, дис­крет­но пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие), връз­ка­та меж­ду тях, основите на теорията на уейвлетите. Разглеждат се и при­ло­же­ни­ята им към ана­ли­зи­ра­не­то на сигнали.

Някои от труд­ни­те ре­зул­та­ти се из­ла­гат без до­ка­за­тел­с­т­ва или на ин­ту­итив­но ниво и се онагледяват с компютърни демонстрации чрез системата “Mathematica”.
ОСНОВНИ ТЕМИ:

• 
  Редове на Фурие за пе­ри­одич­ни функции: сходимост, свойства, интерпретация. Ядро на Дирхле. Лема на Риман. Признак на Дини за сходимост. Ефект на Гибс при функции с прекъсване.
  
• 
  Ортонормирани бази в хилбертови пространства. Средноквадратична сходимост на редовете на Фурие. Ортонормирана база на Койфман – Мейе в . Приложения към компресия на сигнали (MP3 и JPG файлове).
  
• 
  Преобразование на Фурие: свойс­т­ва. Многомерно пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие. Поточкова и средноквадратична сходимост. Преобразование на Лаплас. Конволюция на функции. Връзка с преобразованието на Фурие. Идея за обоб­ще­ни фунции. Делта - фун­к­ция на Дирак. Формула на Поасон за сумиране.
  
• 
  Дискретно пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие. Бързо пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие.. Дис­­кретизация (самплиране) функции. Теорема на Шенън - Котелников..
  
• 
  Лентово и про­зо­реч­но пре­об­ра­зо­ва­ние на Фурие. Център и радиус на прозорец. Принцип на неопределеност и оптималност на Гаусовите функции.
  
• 
  Непрекъснато уейвлет-пре­образование – свойства и формула за обръщане.
  
• 
  Дискретни уейвлети. Базис на Рис. Базисност на целочислените транслации на дадена функция.
  
• 
  Мултирезолюционен анализ и скалиращо уравнение. Конструкция на уейвлет-базис по даден МРА. Сплайн-уейвлети. Ортонормализация. Двумерно уейвлет-преобразование. Приложение към компресия на образи.
  
• 
  Възстановяване на скалиращата функция и уейвлет-функцията по филтъра. Теорема за нулиране на моментите. Метод на Дюбеши за конструиране на крайни уейвлет-филтри с достатъчен брой нулеви моменти.
  

       Чуи. Въведение в теорията на уейвлетите