Пропозиционалната логика логика на сложните съждения § Мисловни атоми и мисловни молекули, изградени от тях

Извеждането на нови мисли от предишни, стари мисли, е толкова съществено за логиката, че може да бъде определено като нейна сърцевина. Разкриването на начините, по които става това извеждане, е главната й задача. Но за да се приближим към решението й, трябва преди това да видим какъв логически вид имат старите мисли, от които следват новите.

Старите мисли са прости мисли или техни съчетания, т.е. сложни мисли. Изречението

"Вазов е поет"

е езиков израз на проста мисъл. Разглеждали сме, анализирали сме Вазов и сме установили едно негово свойство. Пред нас е един "атом на мисълта", най-малката единица мисъл, която езиково е изразена в просто изречение, което е "най-малката единица слово". Най-малките единици мисъл в логиката се наричат атомарни мисли или положения. Знаем, че атомът също е сложно нещо, съставено от по-прости от него неща, но сега няма да се интересуваме от съставките на простите мисли, а как от тях, без да бъдат разчленявани, се изграждат сложните мисли, "молекулите" на мисълта. Ще ги наричаме още молекулярни положения.

Вазов е не само поет, но притежава и други свойства. Той е бил хъш във Влашко, съдия в Берковица, написал е "Под игото" и т,н. Друго знание за него ще имаме, ако отчетем някое от тези други свойства Например:

"Вазов е писател"

е друга проста мисъл за същия обект, изразена в друго изречение. По-пълно знание за него ще представлява съчетаването на двете прости мисли във

което вече е сложна мисъл, тъй като е обединение в мисловна "молекула" на "атомарните мисли".

Както броят на атомите в молекулите е различен, така и молекулите на мисълта може да имат различна степен на сложност. Планирането на неделния ден може да бъде свързано с мисълта:

АКО времето е хубаво, ТО ще отида на риба ИЛИ ще отида в планината

времето е хубаво			отивам на риба	отивам в планината
	отивам на риба		ИЛИ	отивам в планината
АКО времето е хубаво, ТО ще отида на риба или ще отида в планината

"Ва юв е поет И Вазов е писател."

Сега се прибавят и нови връзки: АКО, ТО; ИЛИ. Близко до ума е, че те могат да свързват различни прости мисли в сложни или сложни в още по-сложни, както молекулите изграждат организъм. Тъй като те са по-постоянни от мислите, които свързват, се наричат константи. А понеже свързваните чрез тях мисли са много по-изменчиви, се наричат променливи.

ЛОГИЧЕСКИТЕ КОНСТАНТИ имат съществено значение за логиката, понеже с тяхна помощ става съчетаването на мисли в нещо по-сложно от съставките, които го изграждат. Те са познати на всеки от граматиката, в която се причисляват към съюзите. Нас ни интересува обаче не граматическата им роля да свързват изречения или части на речта, а логическата им роля да свързват мисли. Те могат да бъдат оприличени на арматурата на човешкото мислене, съвсем независимо от облика на сградата му и от конкретните материали, от които се строи.
§ 2. Условия за истинност на конюнкцията.

На първо място сред тези връзки стои КОНЮНКЦИЯТА, с която започнахме като съчетахме прости мисли за Вазов в сложното конюнктивно съчетание:

"Вазов е поет И Вазов е писател."

Това, за което мислим в отделните мисли, които са части на цялото, е едно и също.

Но това, което мислим за него, е различно, понеже свойствата "поет" и "писател", които установихме, са различни свойства. Основание да ги обединим в сложното положение е фактът, че те реално принадлежат на Вазов.

Напълно възможно е да мислим за различни неща, а това което мислим за тях да е едно и също:

"Вазов е поет И Яворов е поет", т.е.

Вазов и Яворов са поети.

Нищо не пречи да са съвсем различни нещата, за които мислим, а също и онова, което мислим за тях, както е например в една френска песен:

"Ти си отиде И птичките престанаха да пеят."

Тук онова, което свързваме, изцяло варира, но връзката остава същата. Тази относителна независимост на връзката от компонентите, които свързва, ни дава право да представим формата на ко-нюнктивната връзка без страните, които тя свързва:

И

Сега вече местата на компонентите, които в конюнкцията се наричат фактори, са празни. Но тази празна форма обобщено подсказва възможността да се запълнят двете й страни с каквито и да е положения, стига те да играят роля на фактори на конюнкцията. Ако например поставим вляво "ти си отиде", а вдясно - "птичките престанаха да пеят", ще получим отново споменатото по-горе молекулярно положение. То има това важно и интересно свойство, че ако знаем каква е стойността по истинност (възможностите са две: истина или неистина) на факторите, можем съвсем точно да определим каква е истинностната стойност на молекулярното положение, на което те са съставки. Да предположим, че "ти си отиде" е истина, а също така е истина, че "птичките престанаха да пеят". Въз основа на предположението, изградената от тях конюнкция е истинна. След това, ако е вярно "ти си отиде", но птичките продължават да пеят, т.е. не е вярно "птичките престанаха да пеят", получената конюнкция е неистинна. Тя няма да бъде истинна и ако ти си тук, т.е не е вярно "ти си отиде", но е вярно, че "птичките престанаха да пеят". Накрая, ако не е истина "ти си отиде" и също така е неистина "птичките престанаха да пеят", конюнктивното съчетание ще е неистинно. Неговата истинностна стойност напълно се определя от съчетанията по истинност на факторите, които го съставляват. То е функция единствено на тези съчетания.

Като съпоставихме по истинност първият компонент на конюнкцията "ти си отиде", който поставихме в празното място вляво, с втория компонент "птичките престанаха да пеят", който поставихме вдясно, установихме:

1. Ако първият компонент е истинен и вторият компонент е истинен, то конюнкцията им е истинна.

2. Ако първият компонент е истинен, а вторият компонент е неистинен, то конюнкцията им е неистинна.

3. Ако първият компонент е неистинен, а вторият компонент е истинен, то конюнкцията им е неистинна.

4. Ако първият компонент е неистинен и вторият компонент е неистинен, то конюнкцията им е неистинна.

Ние тръгнахме от конкретни положения, отнасящи се до хора, които си отиват и до птички, които повече не пеят. Сега говорим просто за компоненти, независимо какви конкретно са те. Щом е така, може да ги заменим със символи, които да изразяват общото на всякакви фактори - компоненти. Избираме главните букви на латинската азбука A, В, С и т.н. За означаване на тяхната истинност или неистинност ще използваме съкращенията И (за истина) и Н (за неистина). Интересуваме се единствено от съчетанията по истинност на компонентите и търсим каква е истинностната стойност на тяхната конюнкция. Възможните съчетания по истинност на двата компонента са само 4, тъй като ако първият от тях, примерно А, е истинен, за втория остават само две възможности - да е истинен или да е неистинен:

A	B
	И
И
	Н

A	B
	И
Н
	Н

A	B		A	B
	И		И	И
И
	Н		И	Н
		или
	И		Н	И
Н
	Н		Н	Н

Ние се абстрахирахме от (т.е. оставихме настрана, не обърнахме внимание на) конкретната природа на свързваните фактори и ги заменихме с променливите A и B. Сега може да направим още една крачка напред и да се освободим от многообразните употреби на граматически съюзи, които се използват за изразяване на конюнкция. В логиката е въведен символ за конюнкция, който изразява общото на всички случаи, при които тя е налице. Ще използваме за тази цел една точка " . " между факторите. Тази точка ще представлява логическа константа1 - конюнкция. Схемата ( И ) се заменя с още по-обобщената схема: . . Ние пак ще я четем като "И", но знакът за конюнкция има много по-общ смисъл от съюза "И" в нашия език.

Табличното определение на условията за истинност на конюнкцията в най-обобщения си вид, е:

Вече използвахме съюза "ИЛИ" за съчетаване на прости мисли. Неговият логически смисъл е в основата на друга връзка между тях, наречена ДИЗЮНКЦИЯ

Използването на "ИЛИ" като средство за изграждане на сложни мисли има много общо с начина, но който той се употребява в езика, с който си служим. Но все пак използването му в езика е свързано с два негови смисъла, които не трябва да бъдат смесвани. Нека се опитаме да ги разграничим. Ако например на въпроса: "Чай или кафе искате за закуска?" т.е.

"Искам чай" ИЛИ "Искам кафе",

отговорите, че искате и двете, то това би изглеждало малко странно, но не и невъзможно. Ако пък преди пътуване сте получили телеграма, че на гарата ще ви чакат познатите Иван или Петър, т.е.

"Ще ме чака Иван" ИЛИ "Ще ме чака Петър",

а се окаже, че и двамата са там, то в това няма нищо странно и ще го приемете като нещо съвсем естествено. Съвсем друго е, ако на въпроса:

"Вторник или сряда е днес?",

отговорите че е и едното, и другото. Възможно е да закусвате с чай и с кафе, естествено е да ви чакат заедно двамата познати, но не е възможно днес да е хем вторник, хем сряда. Едното от тях изключва другото. Вижда се, че двата сравнявани случая "са съществено различни. В първия едновременното съществуване на членовете на дизюнкцията, които отсега нататък ще наричаме аргументи, не е изключено. Поради това образуваната от тях сложна мисъл е ВКЛЮЧВАЩА дизюнкция. B другия случай съвместното съществуване на аргументите на дизюнкцията е изключено и поради това тя се нарича ИЗКЛЮЧВАЩА дизюнкция.

В нашия език преобладава използването на изключващата дизюнкция. Когато искаме да изразим езиково включваща дизюнкция, обикновено поставяме след "ИЛИ" едно "И" в кавички. Тъй като отново се интересуваме от истинностната стойност на полученото съчетание в зависимост от съчетанията но истинност на неговите съставки, които сега наричаме аргументи, ще се върнем към включващата дизюнкция:

"На гарата ще ме чака Иван ИЛИ на гарата ще ме чака Петър",

Аргументите са два и пак имаме 2² = 4 възможни съчетания по истинност между тях.

Дизюнктивното съчетание ще бъде истинно, ако на гарата ви чакат и двамата, т.е. истинни са и двата аргумента. Тя ще е истина, когато Иван ви чака, но Петър го няма, т.е. първият аргумент е истинен, я вторият е неистинен. Тя пак ще има стойност истина, когато Иван го няма, а Петър е там, т.е. неистинен е първият аргумент, но вторият е истинен. Но тя няма да е истинна, когато се окаже, че никой не ви чака, т.е. когато са неистинни и двата аргумента.

При дизюнктивната връзка между мислите онова, за което мислим, може да е едно и също, а това което мислим за него, да е различно:

"Вазов е поет" ИЛИ "Вазов е писател",

което съкратено изразяваме в изречението:

"Вазов е поет или писател".

Дизюнкцията е включваща, тай като свойствата "поет" и "писател" не са несъвместими. Всеки ще се съгласи, че тя е и истинна, тъй като двете качества съжителстват във Вазов. След известно колебание сигурно ще се съгласим, че същата стойност има съчетанието:

"Вазов е поет" ИЛИ "Вазов е астроном".

Дизюнкцията отново е включваща, тай като нищо не изключва възможността свойствата "поет" и "астроном" да съществуват заедно. Вероятно е имало древни енциклопедисти, които са били и поети и астрономи. Вазов не е бил астроном, т.е. вторият аргумент на дизюнкцията е неистинен, но дизюнкцията е истинна, тъй като за това е достатъчна истинността на първия й аргумент.

Дизюнктивното "ИЛИ" може да свързва мисли, отнасящи се за различни неща. Само на пръв поглед изглежда странно да съчетаваме:

"Вазов е инженер" ИЛИ "Яворов е космонавт".

Много космонавти са инженери, т.е. тези свойства често съществуват заедно. Дизюнкцията е включваща, но е неистинна поради това, че нито Вазов е бил инженер, нито Яворов е бил космонавт, т.е. неистинни са и двата аргумента. В разглеждания случай аргументите варират, а дизюнктивната връзка остава същата. Това отново ни дава възможност да се абстрахираме от тях и да минем към общата схема на дизюнкцията:

ИЛИ

Тази обща схема може да бъде конкретизирана като поставим на празните места най-напред прости положения, а след това техни съчетания с най-различна степен на сложност. Но за да сме сигурни, че имаме включваща дизюнкция, трябва да се освободим от двусмислието на този съюз при употребата му в обикновения език, като го заменим със специален знак за включваща дизюнкция. Прието е той да се означава като клин, поставен между аргументите, които вече сме символизирали с А, В, С... Така вече стигаме до схема, в която има само променливи и константа за дизюнкцията:

А V В

Ние започнахме разсъжденията си от мисълта, записана с прости изречения. Както и при разглеждането на конюнкцията, се абстрахирахме от всичко конкретно и я заменихме с променливи. Променливите са две и знаем, че възможните съчетания по истинност са 2² = 4. Единственото, което ни интересува, е стойността на включващата дизюнкция като резултат от съчетаването на истинностни-те стойности на променливите. Вече може да изградим таблицата за истинност на включващата дизюнкция от два аргумента:

Условията за истинност на изключващата дизюнкция са други. "Днес е вторник или сряда" е изключваща дизюнкция, която вече споменахме. Основанието да я считаме за изключваща бе в невъзможността днес да е вторник и заедно с това да е сряда. Но за да се убедим, че и при нея аргументите могат да се менят, ще използваме пример с други аргументи, които притежават същата структура. Той принадлежи на големия логик от древността Хризип (281-208 г. пр.н.е.), който пръв е разкрил умозаключителните заложби на този вид дизюнкция.

"Ден е или е нощ"

Не е възможно едновременно да е ден и да е нощ; ако е ден, то не е нощ; ако е нощ, то не е ден; накрая не е възможно да е нито ден, нито нощ.

За да бъде строго разграничена изключващата дизюнкция от включващата, е въведен специален знак. Той представлява същия клин, който използвахме за означаване на включващата дизюнкция, но обърнат надолу и пак поставен между аргументите:

А таблицата й за истинност има вида:

A	B
И	И	Н
И	Н	И
Н	И	И
Н	Н	Н

Таблицата за истинност, която получихме, е различна от таблицата за истинност на включващата дизюнкция. Но не бива да мислим, че тя е обратното на включващата дизюнкция, понеже я означаваме със същия клин, но обърнат надолу. Сравнението на таблиците показва това. Ще видим, че тя не се отнася към основните логически константи, а е отрицание на друга константа, наречена еквивалентност, която ще разгледаме по-нататьк.

Много често свързването на някакви положения става като поставим "АКО" пред първото и "ТО" между първото и второто:

"АКО барометърът пада, ТО иде буря."

Тук имаме съчетаване на две прости мисли с помощта на съюза "АКО", "ТО", които се нарича ИМПЛИКАЦИЯ "Барометърът пада" изразява първата проста мисъл и се нарича АНТЕЦЕДЕНТ (предходник) на импликацията. Думите "иде буря" изразяват втората проста мисъл и се нарича КОНСЕКВЕНТ (следовник) на импликацията. Целостта, изградена от тях посредством логическата връзка импликация, представлява условно положение, което утвърждава връзката между антецедента и консеквента. Такива условни положения непрекъснато се срещат в нашето мислене. Достатъчно е малко да се замислим за случаите, в които ги използваме, за да се убедим, че когато казваме "АКО", не твърдим, че антецедентът, който непосредствено го следва, е истинен. Също така, когато казваме "ТО", не твърдим, че консеквентът, който непосредствено го следва, е истинен. Единственото нещо, което утвърждаваме, е връзката между антецедента и консеквента. Тази връзка е в това, че АКО антецедентът е истинен, ТО е истинен и консеквентът. Същото е когато някои твърди: "Ако нещата в света следват своя досегашен ход, то третата световна война ще бъде избегната". Естествено никой не се наема да твърди, че нещата ще следват задължително своя досегашен ход, нито пък е задължително третата световна война да бъде избегната. Твърди се само това, че ако първото е вярно, то и второто ще бъде вярно. В този смисъл ще казваме, че антецедентът имплицира консеквента.

В нашия език обикновено при използването на "АКО, ТО" имаме предвид установяване на връзка между някакви условия и техен резултат. Но условията за настъпването на някакво явление, например на мокрота на почвата са много и са различни: вали дъжд, топи се снегът, полива се почвата и пр. Затова импликацията

"АКО вали дьжд. ТО земята става мокра"

е истинна не само когато действително вали дъжд и наистина земята е мокра (т.е. при истинност на антецедента и на консеквента), но и в случай, че не вали дъжд, а земята е мокра, т.е. антецедентът е неистинен, а консеквентът е истинен - например дъжд не вали, но земята е мокра поради топенето на снега.

С логическата връзка "АКО, ТО" може да бъдат свързани различни мисли, различни антецеденти и консеквенти. Като ги обобщим с променливите А, В, ще получим:

"АКО A, ТО B"

Но тъй като импликацията "АКО, ТО" се отнася до най-различни типове връзки, то за да бъде обхванато общото им, в логиката се използва специален знак, който да фиксира това общо. Той представлява стрелка, поставена между антецедента и консеквента и насочена от първия към втория:



която ще четем "Ако A, то B".

Нека помислим кога в разгледаните случаи импликацията няма да бъде истина. В "Ако барометърът пада, то иде буря" тя ще бъде неистинна, ако наистина барометърът пада, а не иде буря. В "Ако вали дъжд, то земята става мокра", тя ще е неистинна единствено, когато наистина вали дъжд, а земята не става мокра. Можем да прибавим и много други случаи на импликация, които не сме споменавали "Ако потопим лакмусова хартия в киселинен разтвор, то тя става червена" ще е неистинно само тогава, когато сме поставили лакмусовата хартия в киселинен разтвор, то тя не е почервеняла. Изобщо единственият случай на неистинна импликация е: антецедентът е истинен, а консеквентът не е истинен.

Вече се очертават условията за истинност на импликацията. В тяхната цялост може да ги проследим в известното на всички условно твърдение:

"Ако се учиш, то ще сполучиш"

Има ученици, които са учили и са сполучили (ИИ - истинен антецедент, истинен консеквент; има такива които не са учили, а са сполучили (НИ - неистинен антецедент, истинен консеквент); съществуват и такива, които не са учили и не са сполучили (НН - неистинност на антецедента и на консеквента). Остава само съчетанието ИН - истинен антецедент, неистинен консеквент. Какво да кажем за него? Има ли хора, които са учили, но не са сполучили? Има, разбира се, и това е, така да се каже, най-несправедливото съчетание. Кой не е чувал за възражението: "Каква е ползата от ученето, след като ония там сполучиха, без да се учат?" Но това съчетание е единственият случай, в който импликацията "Ако се учиш, то ще сполучиш" е неистинна. Той е нейното отрицание, т.е. когато то е вярно, импликацията е невярна. Сега вече идва ред на таблицата за истинност на импликацията:

A	B	
И	И	И
И	Н	Н
Н	И	И
Н	Н	И

"Ако един триъгълник е равностранен, то той е равноъгълен"

Вярно е, че импликацията е в сила. Но новата константа се отличава от обикновената импликация и не бива да се смесва с нея. Това личи например от съпоставката на по-горе приведеното положение с: "Ако е човек, то е смъртно", което означаваме с (_). Но дали ако разменим местата на антецедента и консеквента, полученото твърдение: "Ако е смъртно, то е човек", т.е. обобщено: (_) е в сила?

Очевидно не е, тъй като и другите живи същества, без да са хора, са също смъртни. Излиза, че обикновената импликация не е обратима (не е симетрична). От (_) не следва (_). Нека сравним това с връзката между равностранен и равноъгълен триъгълник. Ако триъгълникът е равностранен, то той е равноъгълен, т.е. (_). Но също така можем да кажем и обратното: "Ако триъгълникът е равноъгълен, то той е равностранен", т.е. (_). Излиза, че зад нашето "Ако, то" в двата случая се крият различни отношения. Обикновената импликация е необратима (= несиметрична). При нея от (_) не следва (_). Еквивалентните положения взаимно се имплицират. При тях от (_) следва обратното (_).

Като съединим двете стрелки, насочени в противоположни посоки, с получения от тях нов знак ще изразяваме новата константа, наречена еквивалентност:



В случая не е необходимо да привеждаме много примери за свързване на различни мисли посредством знака за еквивалентност и чак след това да ги обобщаваме в променливи А, В. То е съвсем елементарно и ние сме подготвени за него.

Знакът подсказва, че когато е в сила еквивалентност между A и B, то A имплицира B, а също и B имплицира A, т.е. импликацията е двустранна Ние пак можем да използваме "ако, то" в случаите на еквивалентност, но няма да забравяме, че тя представлява не еднопосочна, а двупосочна връзка.

Нас отново ще ни интересуват условията за истинност на сложната мисъл еквивалентност в зависимост от съчетанията по истинност на простите мисли, които я изграждат. Понеже възможните стойности пак са две - истинност и неистинност, а и страните на еквивалентността са две, възможните съчетания пак са 2² = 4.

Да разгледаме геометричния пример от гледна точка единствено на съчетанията по истинностна стойност на страните му:

1. Възможно е триъгълникът да е равностранен и заедно с това да е равноъгълен (= двете страни на еквивалентността са истинни). В такъв случай еквивалентността е истинна.

2. Не е възможно триъгълникът да е равностранен, а да не е равноьгьлен (= лявата страна на еквивалентността да е истинна, а дясната да не е). Еквивалентността е неистинна.

3. Не е вьзможно триъгълникът да не е равностранен, а да е равноъгълен (= лявата страна на еквивалентността е неистинна, а дясната не е). Еквивалентността е неистинна.

4. Възможно е триъгълникът да не е равностранен и заедно с това да не е равноъгълен. Такъв например е равнобедреният триъгълник. Еквивалентността е истинна.

Следователно обобщената таблица за истинност на еквивалентността е:

A	B
И	И	И
И	Н	Н
Н	И	Н
Н	Н	И

След като знаем, че съпоставяме мисли само с оглед на тяхната истинност или неистинност, няма да се стряскаме пред случай, когато се поставя знак за еквивалентност между мисли, които нямат нищо общо в съдържанието си:

2 + 2 = 4 Земята е планета

Съдържанието на мислите не ни интересува изобщо. Интересува ни само това, че и двете са истинни. Следователно еквивалентността е в сила, докато в съчетанието

2 + 2 = 4 Луната е планета

еквивалентността е неистинна, защото лявата страна е истинна, а дясната не е истинна. Ако съпоставим таблицата за истинност на изключващата дизюнкция ще видим, че там където едната е истинна, другата е неистинна, и обратно. Това значи, че изключващата дизюнкция е отрицание на еквивалентността, т.е. когато (_) е вярно, то ( ) не е вярно, и обратно.

В предишното изречение използвахме думата ОТРИЦАНИЕ, която играе важна роля за съчетаване на човешки мисли. Да предположим, че някои изказва твърдение за формата на покрива на отсрещната сграда, която се вижда от прозореца ни:

"Формата на покрива е триъгълна."

Поглеждаме през прозореца и казваме:

"Не е вярно, че формата на покрива е триъгълна."

Тези две твърдения не могат да бъдат едновременно истинни. Ако е истинно едното от тях, то е неистинно другото. Едното е отрицание на другото.

Може да ни се стори, че отхвърлянето на някакви мисли, което е налице при отрицанието, представлява просто резултат на нашето неодобрение, несъгласие с тях. Такива явления съществуват, но не могат да обяснят отрицанието като логическо явление. Ако истината е на ваша страна, то вие сте достигнали до нея в резултат на следното разсъждение: Ако формата на покрива е триъгълна, то трябва да притежава известните от геометрията признаци на триъгълника; но тя няма тези признаци и следователно не е триъгълна. Установяването, че формата на покрива не е триъгълна предпоставя, че знаете що е триъгълник. Вие сте решили например, че тя има форма на трапец, защото знаете от геометрията що е трапец и установявате че го има там, на покрива. Трапец и триъгълник са различни фигури, които са несъвместими: това, което е трапец, не е триъгълник, и обратно.

Следователно, основа на отрицанието, на отхвърлянето на твърдението, е установяването на друга действителност, ко-ято е несъвместима с отречената.

Казаното по-горе може да бъде онагледено с една елементарна схема:

Правоъгълникът обхваща всички оцветени неща и представлява тяхната сума. Кръгът вътре в него разделя заградената област на две подобласти, които са строго разграничени. Той загражда нещата, които са бели. Вън от тях, но в рамките на правоъгълника, са нещата, които не са бели. Какво означава да отречем твърдението "Това е бяло"? Това не означава просто да не се съгласим с него, а да се отнесем към другата действителност, която е извън кръга А тя представлява оцветените по друг начин неща "Не бяло" е съвкупността от оцветените по друг начин неща. Това е бяло + това не е бяло = всички оцветени неща, заградени от правоъгълника. Отричането на твърдението "това е бяло" има основание в това, че сме установили, че нещото е синьо или зелено, но те са части на онова, което не е бяло.

Това всъщност е известно на всеки ученик от математиката, в която например числата се делят на четни и нечетни, на цели и дробни, изобщо на клас и допълнителен клас, които взаимно се изключват и заедно с това изграждат някаква цялост.

Знакът, с който представяме отрицанието, представлява черта, поставена над отделна променлива или над сложно положение





"не е вярно А", не е вярно, че Л имплицира В. Понякога ще се наложи да използваме със същото значение знак тилда (~), поставен пред отречените положения. Горните положения имат същия смисъл, ако са записани така:

~ А ; ~ (_)

Табличното определение на отрицанието не създава никакви трудности. Тук възможните съчетания по истинност са само 2¹ = 2 (две стойности - ИН, повдигнати на първа степен)

A	
И	Н
Н	И

Намесата на отрицанието може да повдигне въпроса: нали тръгваме от прости истини, за да ги съчетаем в по-сложни? А сега излиза, че ще съчетаваме истини и неистини. Но това не бива да ни смущава, тъй като онзи, който установява неистинността на едно твърдение, също претендира, че е стигнал до една истина Когато казваме "А не е вярно", все едно, че казваме: "Вярно е, че "А" не е вярно".

Естествено е, че както и при останалите логически константи, трябва да внимаваме при прехода от мисли, изразени с родния ни език, към символния език, с който си служи логиката. Да речем учителят например казва някому: "Ти си тук, но те няма". То е съкращение от "Ти си тук" и "Ти не си тук". Как да го изразим с езика на логиката? Ако го схванем буквално, трябва да го изразим като конюнкция на А и не А (А . _), което е противоречие. Но ако учителят е искал да каже, че "ти си тук тялом, а си там духом", ще го изразим просто като конюнкция между различните положения А и В (A.B) Но ще видим, че между тях има съществена разлика

Отделните таблици за истинност могат да бъдат сглобени в едно цяло

И	И	И	И	Н	И	И
И	Н	Н	И	И	Н	Н
Н	И	Н	И	И	И	Н
Н	Н	Н	Н	Н	И	И