Проверка на хипотези. Правила за проверка. Равенство за проверка. Еднократност за дисперсия. Критерй за откриване на грешка. Дисперсионен анализ

I.Проверка на хипотези

Н
а първо място е хипотезата за математичната структура на модела, която се проверява посредством анализа на адекватност на модела. Не по - малко значение има и хипотезата за факторите, които влияят на процеса, и нейната проверка при определяне значимостта на параметрите. Проверката на хипотезите се свежда до анализиране на някое основно следствие от хипотезата, което най – често представлява случайна величина. За тази цел се използват правила, които представляват критерии за проверка или критерии за значимост.

Като правила за проверка се използват нулевата хипотеза и алтернативната хипотеза. Нулевата хипотеза представлява параметър на разпределението на случайната величина Y е равен на конкретно число а₀:
H₀: a = a₀
Веднага може да се формира и алтернативната хипотеза:
H₁: a  a₀
За проверка на Но се търси случайна величина ξ(a), зависеща от а. Определя се плътността на ξ при условие, че хипотезата е вярна се построява доверителния интервал на ξ. При доверителна вероятност β и ниво на значимост α = 1 – β. Този интервал има вида:

Редица задачи от статистическия анализ на моделите се свеждат до проверка на хипотезата за равенство на дисперсиите. Нулевата хипотеза има следния вид: H₀: σ₁² = σ₂². За тази цел се използва разпределението на Фишер (F – разпределение):

ако нулевата хипотеза е вярна: σ₁² = σ₂², то F добива вида:

Доверителният интервал при ниво на значимост 2α e:

А
ко се използва свойството на F – разпределението:

Ако това уравнение е изпълнено нулевата хипотеза се приема.

където:

Изчислената стойност за G се сравнява с табличните стойности на G ( α, k, ν ) при зададено ниво на значимост, с брой на извадките к и обеми n (ν = n – 1). Условието: G  G(α, k, ν ) потвърждава нулевата хипотеза.

Дисперсионният анализ на влиянието на фактора А върху целевата функция y изисква наличието на експериментални данни y_ij при А_i нива на факторите, като при всяко ниво на фактора се провеждат n опита. Ако с _i означим математичното очакване на експериментални данни на всяко ниво на А, проверката на хипотезата:

позволява да се определи влиянието на фактора. Той не влияе на целевата функция, ако хипотезата Н₀ е вярна. За определяне на математичните очаквания трябва да се определят средно аритметичните резултати от опитите:

Фактора А не влияе на случайната величина y, ако дисперсията свързана с неговото влияние е еднаква с дисперсията в резултат на експерименталните грешки. В този смисъл е удобно да се изследва случайната величина:

Отношението на двете случайни величини имат разпределение на Фишер. От това следва, че при:

Фактора А не влияе на случайната величина, тъй като се доказва хипотезата:

В противен случай влиянието на фактора е значимо.

Основна задача на статистическия анализ на моделите е проврката на значимостта на оценките на параметрите и адекватността на моделите. Решаването на тези задачи се свеждат до доказването на две статистически хипотези. В първия случай се доказва хипотезата:

b=0, където b е оценката на разглеждания параметър. Във втория случай се доказва хипотезата Н: ² =²_, където ² е дисперсията на модела, а ²_ - на експерименталните данни. Статистическия анализ на значимостта на коефицентите на регресията се прави посредством доказване на хипотезата за наличие на нулеви коефиценти. Предполага се, че коефицентите в модела са независими. Незначимостта на оценката може да се определи разпределението на Стюдънт, което в този случай има вида:

При зададено ниво на значимост  може да се намери табличната стойност на Стюдънт:

kъдето:

За коефицента b_i потвърждава хипотезата b_i = 0, т.е. този коефицент е независим.

Методите за проверка на адекватността не зависи от структурата на модела и формата на неговото представяне. Определят се от наличието на няколкократни измервания на целевата функция при постоянни стойности на факторите за един или няколко режима на протичане на процеса. Трябва да се докаже хипотезата за равенство на дисперсията на грешката на модела с дисперсията на грешката на експеримента.

Например, когато статистическият анализ на адекватността на модела се прави на базата на n допълнителни експеримента при един режим за модел, чиито коефициенти са получени от данните на N експеримента. За тази цел се използва остатъчната сума от квадратите:

където:

Q_ост е случайна величина, изразяваща грешката на модела.

Оценката на нейната дисперсия се получава от:

където:

Това се определя от общия брой на опитите N и броя на линейните връзки между y­_u в:

Дисперсията на случайната грешка на експериментите S_² се изчислява непосредствено от (9) и (10), което позволява да се определи дисперсионното отношение:

където: S_ост² >S_², тъй като с S_ост² се отчита не само неадекватността на модела, но и грешката на експериментите.

Условието за адекватност на модела е:

където: F( _ост, _ ) е табличната стойност на разпределението на Фишер.

Друг пример представлява наличието на повторни наблюдения, където за оценка на дисперсията на грешката на експеримента S_² не е необходимо провеждането на допълнителни експерименти.

Ако p е номерът на експеримента (p = 1, … , n ), а q – номера на наблюденията за експеримента p (q = 1, …, V_p), за общия брой на експериментите може да се напише:

В този случай може да се запише:

Q_L е свързана с неадекватността на модела (системна грешка);

Q_ е свързана с грешката на експеримента (случайна грешка).

Броят на степените на свобода се получават аналогично:

Проверка за адекватност се прави чрез изчисляване на оценките на дисперсиите и дисперсионното отношение:

и сравняване с табличната стойност на разпределението на Фишер F( _ост, _ ). Условието за адекватност на модела е: F  F( _ост, _ ).

В някои случаи няма възможност за повторни експерименти за определяне на S_². Това се получава при използване на данни от пасивен експеримент за определянето на параметрите b, напр. При моделиране на биотехнологични процеси. В тези случаи пригодността на модела за целите на симулирането може да се оцени въз основа на коефициента на множествена корелация R. Това изисква определянето на сумата:

Броят на степените на свобода за сумите Q, Q_R и Q_ост се определя от:

Условието за пригодност на модела е R да бъде по–близо до единица, но са възможни случаи, когато R=1, а модела да не е адекватен.

Параметрите в теоретичните модели и моделните теории се смятат за точно зададени, т.е. не са случайни величини и отпада необходимостта от тяхното определяне и проверка за значимост.

Целевата функция в теоретичните модели има вида:

Наличието на експериментални данни за целевата функция y_u при N различни режими x_1u, …, x_mu, u = 1, …, N позволява да се изчисли остатъчната сума от квадратите:

където ŷ_u се изчислява от модела:
ŷ_u = (x₁, …, x_m; ₁, …, _k), u = 1, … N.
Тук ŷ_u не е случайна величина, тъй като може да бъде изчислена точно от точни стойности на x и . Поради тази причина степените на свобода на Q_ост е _ост = N, което позволява да се определи оценката на нейната дисперсия:

След изчисляване на дисперсионното отношение:

условието за адекватност на теоретичния модел е:

Параметрите на аналоговите модели се определят от експериментални данни и са случайни числа. Определянето на тяхната значимост, когато са в размерен вид е лишено от физически смисъл. Това може да се направи при безизмерната форма на параметрите с методи на обобщения анализ.

Статистическият анализ на адекватността на аналоговите модели се затруднява силно от нелинейността на целевата функция по отношение на параметрите. Поради тази причина адекватността на аналоговите модели се определя като при теоретичните модели с тази разлика, че ŷ_u (n = 1, …, N) е случайна величина поради грешките в определянето на b₁, …, b_k. Това води до проблем при определянето степените на свобода _ост, което може да се направи с известно приближение както при линейните регресии _ост = N – k. Тогава има вида:

Разгледаните модели за статистически анализ на моделите са валидни при условие, че са налице три основни предпоставки:

1. 
   Целевата функция е нормално разпределена случайна величина;
   
2. 
   Дисперсията на грешката на всички експерименти е еднаква;
   

3. 
   Грешката при измерването на факторите е пренебрежима по отношение на грешката от измерването на целевата функция.