Първи тур на дистанционния етап на IV олимпиада на Леонард Ойлер

1. Може ли в половината клетки на дъска 12×12 да се сложи по един пул така, че в едно квадратче 2×2, съставено от клетки на дъската да има нечетен брой пулове, а в останалите – четен брой пулове?

2. В триъгълника ABC ъгъл C е три пъти по-голям от ъгъл A, а страната AB е два пъти по-голяма от страната BC. Докажете, че ъгъл ABC е равен на 60⁰.

3. Дадени са 5 различни естествени числа. Произведението на двете най-малки от тях е по-голямо от 25, а произведението на двете най-големи от тях – по-малко от 75. Намерете тези 5 числа. (Посочете всички възможни варианти и докажете, че други няма.)

4. Али Баба има 40 торби с монети. Джин може по молба на Али Баба да определи броя на монетите в две от торбите, които му посочат, като при това „взема за работата” една монета от някоя от тези две торби (и Али Баба не вижда от коя торба точно е взета монетата). Може ли Али Баба да действа така, че след не повече от 100 такива „операции”, точно да каже по колко монети в дадения момент лежат във всяка от торбите, естествено без последите две, с които Джин е „оперирал”. Във всяка торба монетите са не по-малко от 1000.

5. Дадени са девет естествени числа, като първото е записано само с единици, второто – само с двойки, и т. н. .... , деветото – само с деветки. Може ли произведението на някои две от тези числа да се дели на произведението на останалите?