РЕФЕРАТ
ТЕМА: „Обикновени диференциални уравнения от първи ред и пригодими към тях“ Изготвил: Сияна Божидарова Божинова ССС втори курс ВСУ „Любен Каравелов“
1. Основни понятия
Диференциални уравнения се наричат уравненията, в които се търси неизвестна функция на една или няколко променливи, като в тези уравнения влизат както неизвестната функция, така и нейните производни. Редът на старшата производна на неизвестната функция се нарича ред на уравнението.
Ако неизвестната функция, участваща в диференциалното уравнение, зависи от няколко променливи и в уравнението участват частни производни на тази функция, то такова диференциално уравнение се нарича частно диференциално уравнение.
Ако неизвестната функция зависи само от една променлива и в уравнението участват обикновени производни на тази функция, то такова диференциално уравнение се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ). В най-общ вид обикновено диференциално уравнение от n−ти ред се записва по следния начин: F(x, y, y′, . . . , ) = 0, n ≥ 1.
Пример:
y′ =3 – уравнение от първи ред;
Когато едно ОДУ е разрешимо относно старшата производна , то същото може да се запише в следния нормален вид: = f(x, y, y′, . . . , ). Уравнението y′ = f(x, y), е ОДУ от първи ред, записани в нормален вид.
Функцията y = y(x) се нарича решение на ОДУ (1) в интервала (a, b), ако е диференцуема в интервала (a, b) и y ′ (x) ≡ f(x, y(x)) ∀x ∈ (a, b).
Аналогично се дава определението за решение на ОДУ.
Графиката на дадено решение на ОДУ се нарича интегрална крива на уравнението.
Пример:
Функциите y = cos x и y = sin x са решения на уравнението y′′ + y = 0 в интервала (−∞, +∞).
Наистина, функцията y = cos x има производни y ′ = − sin x, y′′ = − cos x и като заместим в уравнението, получаваме тъждество: − cos x+ cos x ≡ 0. Аналогично се проверява, че y = sin x също е решение на това уравнение в интервала (−∞, +∞).
Оказва се, че функция от вида y = cos x + sin x, където и са константи, задава всички решения на уравнението и това решение се нарича общо решение, докато решенията y = cos x и y = sin x се наричат частни решения.
Частните решения се получават от общото решение при подходящ избор на константите. Например y = cos x се получава при = 1, = 0, а y = sin x – при = 0, = 1.
От примера се забелязва, че дадено ОДУ има безброй много решения, като общото решение зависи от една или няколко константи.
Оказва се, че броят на тези константи съвпада с реда на уравнението – за уравненията от първи ред (1) константата е една, а за уравненията от втори ред (2) константите са две.
Когато се решава ОДУ, свързано с някаква практическа задача, не се търсят всички решения, а само това решение, което удовлетворява някои предварително зададени условия, продиктувани от конкретната практическа задача. Най-често се разглежда, така наречената, начална задача. За ОДУ (1) тазизадача се записва във вида:
и се нарича начална задача (задача на Коши) за началната точка ( ).
ешение на началната задача е това решение y = y(x) на ОДУ (1), което удовлетворява началното условие y = . На практика с решаването на началната задача се намира тази интегрална крива на ОДУ (1), която минава през точката ( , )
Теорема 1. Нека функцията ƒ и нейната пастна производна са определени и непрекъснати в отвореното множество D ⊂ и ( , ) ∈ D. Тогава съществува околност ( −δ, +δ) на точката , в която началната задача има единствено решение.
Множеството D G ⊂ , във всяка точка ( , ) на което началната задача имаединствено решение, се нарича област на единственост за ОДУ (1), а точките от множеството D се наричат точки на единственост. Ако за всяка точка ( , ) на множеството D ⊂ са изпълнени условията на теорема 1, то D е област на единственост за ОДУ (1).
Сподели с приятели: |