Шеста експериментална оценка на надеждността общи сведения за експерименталната оценка на надеждността

Експерименталната оценка съставлява съществена част от необходимите мероприятия по осигуряване на висока надеждност. Тя позволява да се установят истинските стойности на показателите на надеждността и да се обосноват необходимите мероприятия по тяхното повишаване. При провеждане на експериментална оценка на надеждността се използват методите на математическата статистика. Резултатите се получават с определена вероятност или достоверност.

Изпитанията на РЕА, по които се набират статистически изходни данни за определяне на надеждността може да бъдат специални и съвместни. Специални са изпитанията, които се организират само с цел определяне или контрол на показателите на надеждността. Съвместни са тези, при които определянето на надеждността се съвместява с експериментално изследване на други параметри на РЕА. Специални изпитания се организират за изделия, които се произвеждат в голямо количество, като обемът на изпитанията се планира предварително. Не е целесъобразно да се провеждат специални изпитания за сложни изделия и комуникационни системи, които не се произвеждат масово. Техните показатели обикновено се оценяват по резултатите от съвместни изпитания или резултатите от експлоатацията.

При експерименталните оценки могат да се използват преки или косвени методи. Преки са тези, при които показателите на надеждността се оценяват непосредствено от резултатите на опита върху изделието като цяло. Те притежават голяма достоверност, но са неприложими при малко серийно производство или при изделия със структурен излишък. Косвени се наричат тези методи, при които търсените показатели на надеждността се изразяват чрез други показатели на изделието или на част от него, а след това се изчисляват аналитически. Тези методи още се наричат разчетно-експериментални методи. Те позволяват съществено да се намали необходимия обем от изпитания.

Съкращаване на времето за изпитания може да се осъществи чрез провеждане на ускорени изпитания. Те се характеризират с получаване на информация за надеждността за време, което е по-малко от дълговечността на изделието. За ускоряване на изпитанията се прилагат различни мерки. Различават се два вида ускорени изпитания: в нормален или във форсиран режим. Първият вид се базира на методи, които целят определянето на параметрични откази по малките изменения на зададени параметри или на методи чрез физически и математически модели на отказите. Вторият вид изпитания се извършват чрез форсиране на режима по отношение на един или няколко въздействащи фактора.

Използването на форсирани режими изисква голяма предварителна подготовка. Те са целесъобразни преди всичко за контрол на надеждността на изделия, произвеждани в големи серии по неизменна технология.

Експерименталната оценка на надеждността има за цел една от следните процедури:

- определяне на фактическите стойности на показателите на надеждността;

- контрол за съответствие на проверяваното изделие спрямо дадено изискване.

Определителната и контролната задача се различават съществено. При съпоставими изисквания към точността и достоверността необходимият обем изпитания при контролната процедура може да бъде много по-малък от този при определителната, ако истинската стойност на показателя на надеждността се различава съществено от необходимата. Планирането на контролната задача също се различава от това на определителната.

Планирането на контролната процедура се основава на необходимата стойност на показателя на надеждността. Определя се необходимият обем изпитания и правилото, по което се взема решение за съответствие или несъответствие на изделието на зададеното изискване. Грешка в планирането на контролната процедура не може да бъде установена при получаване на резултата от изпитанията, т.е. коректността на планирането непосредствено определя достоверността на решението за съответствие или несъответствие.

При планиране на определителната процедура е невъзможно да се укаже точно необходимият обем изпитания, тъй като точността на оценката при зададена достоверност зависи не от обема изпитания, а от обема на получаваната при изпитанията информация. В зависимост от необходимата точност и достоверност на оценката при планиране на определителната процедура се получава не обемът на изпитанията, а минимално необходимият брой информационни реализации. Необходимият обем изпитания (брой на изделията или брой опити) и продължителността на изпитанията зависят от фактическото ниво на надеждността на изделието, която предварително е неизвестна. Следователно, необходимият обем изпитания при планиране на определителната процедура може да бъде определен само приблизително, изхождайки от предполагаемата стойност на надеждността на изделието. Ако са допуснати грешки при планирането, то те се изясняват в процеса на изпитания или при обработка на резултатите и може да бъдат отстранени.

- експлоатационният режим на изделието при изпитанията (непрекъснат или цикличен);

- характерът на външните въздействия (механични, електрически, климатични);

- обектите, от които се събира информация;

- съставът, задълженията и отговорността на изпълнителните групи;

- правилата и редът за контрол на работоспособността на изделието;

- видът, количеството и съдържанието на информацията, необходима за анализ и оценка на надеждността;

- формата на отчитане и фиксиране на отказите и времето за работа;

- правилото, по което се прекратяват изпитанията.

От качеството на решаване на тези задачи при подготовка на изпитанията зависи достоверността на получената оценка на надеждността.

Фактическата надеждност на изделията съществено зависи от дестабилизиращите фактори на работната среда и от режима на функциониране. При проверка на надеждностните показатели трябва да се отчитат реалните условия на функциониране на изделията. Правилният избор на обектите, от които се събира информация при провеждане на изпитанията, е много важна задача. При твърде “дребно” разделяне на сложните изделия на самостоятелни обекти за събиране на статистическа информация се усложнява отчитането, нараства вероятността за допускане на грешки, което намалява достоверността на резултатите. При голямо “окрупняване” е възможно да се изгуби възможността за детайлизиране на информацията за причината и мястото на отказа. Контролът на функциониране при изпитанията може да бъде непрекъснат, периодичен или епизодичен. Най-пълна информация дава непрекъснатият контрол. Той позволява да се фиксират моментите на отказите. Такъв контрол, разбира се, не винаги може да бъде осигурен. При периодичен контрол данните за отказите са групирани в интервалите на контрола. Минималният период на контрола се определя само от технически и икономически съображения. Максималната продължителност се определя от изискването [30] в целия временен интервал на изпитанията да има не по-малко от 10  15 междуконтролни периода (важи за определителните изпитания). При контролните изпитания честотата на проверката трябва да бъде такава, че вероятността за двойно пресичане на линията “брак” и линията “приемане” за един междуконтролен период да бъде пренебрежимо малка.

В процеса на изпитанията трябва да се фиксира следната информация:

- общата наработка на изделието и времето за работа от момента на последния отказ;

- локализиране на отказа (блок, възел, елемент);

- причина за отказа;

- последствията от отказа;

- видът на отказа;

- способът за отстраняване;

- данни за оперативната готовност за включване и контрол на резерва;

- параметрите на работната среда (температура, вибрации, влага, удари и др.).

Прецизното фиксиране на цялата информация при изпитания позволява да се определят кои от отказите имат отношение към надеждността на изделието и да се постигне необходимата достоверност на резултатите при определяне и проверка на качествените показатели на надеждността.

При класифициране на получената информация отказите се групират по два признака: по причини на възникване и по отношение на оценявания показател на надеждността. Първата група обединява следните откази:

- конструктивни (зависят от качеството на разработване на изделието);

- технологични;

- производствени;

- експлоатационни (при експлоатация на изделието в режими и условия, които не са предвидени в техническите условия);

- програмни или алгоритмични (при грешки в алгоритмите или програмите за управление на изделието).

Във втората група са откази, които се отчитат и които не се отчитат при оценка на надеждността. Обикновено не се отчитат следните откази:

- предизвикани от външни обективни въздействия на дестабилизиращи фактори, не указани в техническата документация;

- предизвикани от нарушение на инструкцията по експлоатация;

- отказите на опитни образци, причините за които се отстраняват в процеса на разработването;

- откази, свързани с провеждане на специални експерименти;

- откази, които не оказват влияние върху конкретния оценяван показател.

При организиране на изпитанията, събиране и първична обработка (анализ) на получената информация се допускат следните характерни грешки:

1. Отклонение от установените правила за ремонт (нарушаване на реда за ремонт, използване на инструменти и принадлежности, които не са за ремонтируемото изделие и др.).

2. Отклонение от правилата за провеждане на регламентни работи с изделието.

3. Грешки при класифициране на отказите.
6.2. Оценка на надеждността по експериментални данни

Резултатите от изпитанията подлежат на статистическа обработка. Тя се свежда до оценка на параметрите на функцията на разпределение на случайните величини, определящи търсените показатели на надеждността, т.е. до традиционните задачи на математическата статистика. В тази връзка, в математическата статистика са приети понятия като: генерална съвкупност – множеството от резултатите на всички възможни опити с дадена случайна величина X, а характеристиките на разпределението ѝ - генерални характеристики. В резултат от провеждане на опита се получава ограничен брой реализации на тази случайна величина, които образуват статистическа извадка . Тя служи за определяне на закона на разпределение на вероятностите на X в генералната съвкупност. Характеристиките, които се определят от статистическата извадка са наречени опитни, емпирични, статистически и др.

Възможността и целесъобразността на използването на един или друг метод за обработка и качеството на получените оценки зависят от:

- типа на оценяваните показатели на надеждността;

- характера на априорните сведения за наблюдаваната случайна величина;

- характера на статистическия материал при различни стратегии на изпитания.

При експериментална оценка на надеждността много задачи, независимо от конкретното съдържание имат еднакъв алгоритъм на решаване, тъй като при статистическата обработка не е съществено:

- кое от свойствата се изследва: безотказност, дълговечност, ремонтопригодност или съхранимост;

- дали се обработват резултати от изпитания или от наблюдения в процеса на експлоатация;

- дали отказалите изделия се възстановяват или се заменят с нови;

- в какви единици се измерва времето за работа на апаратурата (количество часове, работни цикли, брой на произведена продукция, мерни единици за дължина или обем и др.).

При експерименталните оценки на надеждността, независимо от това, кое от свойствата се изследва, цялото многообразие от оценявани показатели се свежда до два типа:

- показатели, характеризиращи времето за работа на РЕА (до отказ, средно време между отказите, времето до пределно състояние, срок на съхранение и др.);

- показатели, характеризиращи някаква вероятност (за безотказна работа, за изправно състояние в произволен момент, за възстановяване за определено време и др).

При определяне на първия тип показатели наблюдаваните величини са случайни интервали – време за работа до отказ, средно време между отказите, време за възстановяване, за съхранение и др.

При втория тип наблюдаваните случайни величини са брой събития в изпитанията – брой откази, брой възстановявания и др.

Отчитайки наличието на априорните сведения за вида на функциите на разпределение, практически задачите при експериментална оценка на надеждността се свеждат до следните два варианта:

- видът на функцията на разпределение на наблюдаваната случайна величина е известен предварително; задачата на статистическото обработване е получаване на оценки за показателите на надеждността отчитайки вида на функцията на разпределение и характера на наличния статистически материал;

- видът на функцията на разпределение не е известен или само се предполага какъв може да бъде.

В последния случай след анализ на процесите, които са причина за отказите, и след предварителен анализ на получените статистически данни се приема хипотеза за вида на функцията на разпределение. Чрез методите на математическата статистика се проверява дали експерименталните данни не противоречат на тази хипотеза и се оценяват параметрите на тази функция.

В процеса на работа може да бъдат направени точкови или интервални оценки на неизвестните параметри на надеждността.
6.2.1. Методи за определяне на точкови оценки

Известните методи за точкови оценки на надеждността може условно да се разделят на две групи: аналитични и графически. Тук ще бъдат разгледани някои от аналитичните методи, които са получили по-широко приложение.

Формални критерии за качеството на точковите оценки са състоятелността им, да не са изместени и ефективността им. Оценката се счита за състоятелна, ако клони (по вероятност) към истинската стойност на оценявания параметър с увеличаване на обема на извадката. Оценката се нарича неизместена, ако математическото m очакване е равно на истинската стойност на оценявания параметър, т.е. липсва систематическа грешка. От две състоятелни и неизместени оценки по-добра е тази, която има по-малка дисперсия. Оценката се счита за ефективна, ако притежава най-малка дисперсия по сравнение с други неизместени оценки.

Графическите методи се използват при малък обем статистическа информация, ниска достоверност на тази информация и ориентировъчни сведения за вида на разпределението на изследваната случайна величина.

Същността на този метод се заключава в това, че параметрите на теоретичното разпределение се определят от условието за равенство между моментите на теоретичното и статистическото (опитно) разпределения. Използването на метода на моментите се основава на факта, че ако броят на отказите n е достатъчно голям, то по закона за големите числа стойностите на емпиричните (опитните) моменти са близки до теоретичните.

Методът на моментите е предложен от английския статистик Карл Пирсън в 1894 г.

Трябва да се отчита, че емпирическите моменти са случайни величини, а теоретичните моменти – фиксирани постоянни величини.

Емпиричен момент от k-ти ред е следната величина:

, (6.1)

където t_i - фиксирани при изпитанията стойности на времето за работа между отказите;

Например, за двупараметричното разпределение на Вейбул с плътност на разпределението

първият и вторият начални моменти се определят така:

m₁ = a.Г(1 + 1/b), (6.3)

m₂ = a².Г(1 + 2/b), (6.4)

Тогава за оценките на параметрите и

, (6.5)

. (6.6)
Оценките на параметрите на някои разпределения, получени по метода на моментите са показани в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Разпределение	Оценки
Експоненциално
Нормално	;
Логаритмично-нормално	;

В таблицата са приети следните обозначения:

В [7] е приведен следният случай.

Като се използва методът на моментите, се намира:

Доказано е, че средноаритметичното от наблюдаваните реализации е състоятелна, неизместена и ефективна оценка на математическото очакване.

Състоятелността на оценката следва от теоремата на Чебишев:

, (6.9)

където a е математическото очакване на реализациите на случайната величина x.

Математическото очакване на средноаритметичното е

.

Следователно, средноариметичното е неизместена оценка на математическото очакване.

В [7] е доказано, че при известна стойност на средноквадратичното отклонение σ средноаритметичното е ефективна оценка на математическото очакване.

Оценката на дисперсията, изчислявана по формула (6.8), е изместена:

Изместването на оценката се отстранява, ако бъде умножена с множителя . При големи n изместването на оценката е незначително. При n < 30 неизместената оценка се изчислява по формулата

При известно математическо очакване а оценката за дисперсията е неизместена, състоятелна и ефективна [7].

Методът на моментите се характеризира с простота, но оценките, получени по този метод обикновено са изместени и малко ефективни. Изключение от този извод е нормалното разпределение, при което този метод дава ефективни и състоятелни оценки.
6.2.1.2. Метод на най-голямо правдоподобие

Този метод е универсален и е получил широко разпространение. Предложен е в 1912 г. от английския статистик Р. Фишер.

Същността на метода се заключава в това, че се съставя т. нар. функция на правдоподобието, която изразява максималната вероятност да се получи реализирания в експеримента резултат (статистическа извадка). За търсените точкови оценки се приемат стойностите на параметрите, които максимизират функцията на правдоподобие.

Нека от генералната съвкупност с плътност на разпределение на вероятностите f(x, Θ) е направена извадка (х₁, х₂, …, х_n) с обем n. Предполага се, че х е дискретна случайна величина, чийто закон на разпределение зависи от неизвестния параметър . Например, може да се предполага, че случайната величина х има разпределение на Пуасон

където  =  е неизвестният параметър, който трябва да се оцени по данни на извадката. Резултатите от извадката може да се разглеждат като реализация на n-мерна случайна величина (х₁, х₂, …, х_n). Предполага се, че съставляващите на тази случайна величина са независими. В този случай вероятността за това, че съставляващите ще приемат стойности, равни на наблюдаваните, е равна на

При непрекъсната случайна величина функцията на правдоподобието има следния вид:

Изразът (6.12) определя плътността на разпределение на вероятностите на непрекъснатата случайна величина (х₁, х₂, …, х_n) или плътността на разпределение на извадката.

За оценка на неизвестния параметър  се избира такава функция , която максимизира функцията на правдоподобие. Следователно, като се използват правилата на диференциалното изчисление, се съставя система от m уравнения (m-брой на оценяваните параметри)

(6.13)

и се избира това решение, което максимизира функцията на правдоподобие.

Тъй като екстремумът на функциите L и lnL се достига при едни и същи значения , то с цел опростяване на изчисленията се използва логаритмичната функция. В този случай оценките на най-голямо правдоподобие се намират от системата уравнения

. (6.14)

Методът на най-голямо правдоподобие притежава определени предимства пред метода на моментите, като някои важни свойства на оценките са:

1) методът на най-голямо правдоподобие дава състоятелни оценки;

2) ако съществува ефективна оценка, то тя се дава от този метод;

3) оценките на този метод са асимптотически ефективни;

4) оценките на този метод имат асимптотически нормално разпределение с параметри

5) ако съществуват достатъчни оценки, то този метод ги дава.

Недостатък на метода на най-голямо правдоподобие е това, че понякога оценките са изместени. Изместването може да се отстрани чрез въвеждане на поправки (с увеличаване на n изместването се намалява, т.е. оценките са асимптотически неизменни).
Пример 6.2. Нека случайната величина Х има разпределение на Пуасон

, k = 0, 1, 2, …, n.

Необходимо е по резултатите от наблюденията х₁ = к₁, х₂ = к₂, … х_n = к_n да се оцени неизвестният параметър  на това разпределение.

Решение: Функцията на правдоподобие е

.

За да се намери оценката , т.е. такава стойност на  =  (х₁, х₂, …, х_n), при която функцията на правдоподобие се обръща в максимум, е удобно да се премине към логаритмична функция на правдоподобие.

Следователно

.

От тук се намира

,

че оценката на неизвестния параметър е средноаритметичното от резултатите от наблюденията.

Пример 6.3. Случайната величина X има нормално разпределение. Необходимо е по резултатите от наблюденията х₁, х₂, …, х_n да се оценят параметрите a и σ на нормалното разпределение.

Решение: Плътността на разпределение има следния вид

.

Следователно функцията на правдоподобие има следния вид

.

Логаритмичната функция на правдоподобие е

,

откъдето: ;

;

.
Пример 6.4. Случайната величина х има експоненциално разпределение с плътност на вероятностите. Необходимо е по резултатите от наблюденията х₁, х₂, …, х_n да се оцени параметърът .

Решение: Функцията на правдоподобие е

.

Логаритмичната функция е .

.

Следователно .

6.2.1.3. Методи за определяне на точкови оценки при отсъствие на априорни сведения за вида на функцията на разпределение

Ако видът на функцията на разпределение е неизвестен предварително, то процедурата на статистическа обработка на резултатите от експеримента е следната:

1) построяване на вариационен ред;

2) построяване на хистограма;

3) оценка на емпирическата функция на разпределение;

4) предварителна оценка на непротиворечивостта на експерименталните данни на приетото (хипотетично) разпределение;

5) оценка на точковите стойности на параметрите;

6) проверка на съгласие на опитното разпределение с теоретичното.

1) Вариационен ред

Подредени стойности на случайните величини, съставляващи извадката, в посока към нарастване (ненамаляване) се нарича вариационен ред.

Общото количество членове на вариационния ред n (броя на елементите на извадката) се нарича обем на извадката.

Пример 6.5. Проведени са изпитания на надеждност, в резултат на което са получени следните стойности на времето за работа до отказ: 34, 101, 11, 69, 125, 24, 148, 13, 15, 103, 21, 29, 4, 38, 80, 35, 57, 3, 126, 56, 38, 9, 60, т.е. n = 23.

Вариационният ред ще бъде: 3, 4, 9, 11, 13, 15, 21, 24, 29, 34, 35, 38, 38, 56, 57, 60, 69, 80, 101, 103, 125, 126, 148.

Разликата между първия и последния елемент на вариационния ред се нарича размах на вариационния ред и се означава с V. За примера V = 148 – 3 = 145 часа.

Извадкова медиана се нарича член на реда с номер . В разглеждания пример медиана е дванайсетият член на реда часа. Ако обемът n е четно число, то медианата се определя като средноаритметично на двата централни члена на реда.

При обработване на резултатите от експериментите широко се употребяват също такива характеристики, като извадково средно и извадкова дисперсия, които се определят така:

. (6.16)

За примера часа; часа.

2) Хистограма

Хистограмата и свързаната с нея емпирическа функция на разпределение са носители на повече информация. За построяване на хистограмата се използва вариационният ред по следния начин:

- размахът на вариационния ред се дели на К на брой интервали;

- за всеки от интервалите се изчислява честотата (вероятността) за попадане на времето за безотказна работа в i - тия интервал

, (6.17)

където m_i, i = 1, 2, …, K – брой на членовете на вариационния ред, попаднали в i - тия интервал; _i - ширина на интервала.

Графически хистограмата представлява ред от правоъгълници с ширина _i и височина f_i (х). Хистограмата е важно помощно средство при приемане на хипотеза за вида на функцията на разпределение. Затова е важно тя да бъде построена така, че да се извлече максимално количество информация. Формата на хистограмата зависи от броя и големината на интервалите. Все още няма коректно формулирани правила, по които да се определи броя на интервалите. Броят на интервалите понякога се определя по следната формула:

K = 1+3,3lgn , (6.18)

където n – обемът на извадката.

В практиката обикновено се процедира така: построяват се няколко хистограми с различни интервали. За по-добра се счита тази хистограма, която има по-голям брой инверсии. Признак за инверсия е изменението на знака на нарастване на височината на правоъгълниците, определяна по формула (6.17). Ако няколко хистограми имат еднакъв брой инверсии, за по-добра се определя тази, която има по-голям брой интервали.

Фиг. 6.1
На фиг. 6.1 са изобразени хистограми по данните от примера, като вариационният ред е разбит съответно на три, пет и седем интервала. Две от хистограмите (а и в) нямат инверсии. За по-добра се приема тази на фиг. 6.1в, тъй като броят на интервалите е по-голям.

3) Оценка на емпиричната функция на разпределение (ЕФР)

Емпирична функция на разпределение на случайна величина X се нарича функцията , определяща за всяка стойност x честотата (вероятността) на събитието : , където е брой по-малки от x, n - обем на извадка (х₁, х₂, …, х_n). От теоремата на Бернули следва, че при достатъчно голям обем на извадката n емпиричната и теоретичната функции се различават малко. Разликата е в това, че теоретичната функция на разпределение определя вероятността на събитието , а емпиричната – относителната честота на това събитие. Емпирична функция на разпределение притежава всички свойства на интегралната функция и се използва за оценка на теоретичната .

Най-проста оценка на ЕФР е следният израз:

, (6.19)

където i – пореден номер на члена на вариационния ред;

n – общото число членове на реда.

Ефективни и почти неизместени оценки за стойностите на ЕФР може да бъдат получени по следното правило:

. (6.20)

При следните стойности на коефициентите  и :

- за разпределение на Вейбул с параметър на формата b:

;

- експоненциалното разпределение  = 0,  = 0,5;

- за нормалното разпределение  =  = 0,375.
4) Предварителна оценка на непротиворечивостта на експерименталните данни на приетото разпределение

Предварителната оценка се извършва графически по специална “вероятностна хартия” за съответното разпределение. При това стойностите на ЕФР, изчислени по указанията в точка 3, се нанасят на “вероятностната хартия”, съответстваща на приетото теоретично разпределение. Резултатите от оценката се считат за положителни, ако траекторията на точките на ЕФР може да бъде апроксимирана като права линия.

Най-отговорна задача на този етап е приемането на хипотеза за вида на функцията. За тази цел се анализират процесите, водещи до отказ, а също опитът от експлоатацията на аналогични изделия. Допълнителна информация се получава от анализа на хистограмата.
5) Оценка на точковите стойности на параметрите

Тази оценка може да се извърши по някой от аналитичните методи или графически по положението на правата, апроксимираща стойностите на ЕФР върху “вероятностната хартия”. Графичният метод се отличава с простота и универсалност, но точността му е невисока. Въпреки това, графическият метод може да се използва успешно при експерименталната оценка на показателите на надеждността. Процедурите по оценка на точковите стойности на параметрите на разпределенията по “вероятностна хартия” са описани достатъчно пълно в литературата.

6) Проверка на съгласие на опитното разпределение с теоретичното

По същество се проверява непараметрическа хипотезата за вида на теоретичната функция на разпределение с помощта на някакъв количествен критерий. Най-широко разпространени критерии на съгласие са критериите ² на Пирсън и -критерий на Колмогоров.

Критерий на съгласие ²

При използване на критерия на Пирсън като мярка за отклонение на избраното теоретично разпределение от емпиричното се приема числото ², което се изчислява така

, (6.21)

където n – обем на извадката;

m_i – броят на членовете от вариационния ред, попаднали в i-я интервал;

к – броят на интервалите;

р_i - вероятност за това, че времето за работа до отказ ще има стойност в границите на i-я интервал при дадения вид на функцията на разпределение (т.е. случайната величина х ще попадне в i-я интервал).

Изчислената по (6.21) мярка за отклонение е случайна величина, имаща ² разпределение с брой на степените на свобода l = к – 1 – S, където s е броят на параметрите на функцията на разпределение, оценявани по една и съща статистика.

Каталог: tadmin -> upload -> storage
storage -> Литература на факта. Аналитизъм. Интерпретативни стратегии. Въпроси и задачи
storage -> Лекция №2 Същност на цифровите изображения Въпрос. Основни положения от теория на сигналите
storage -> Лекция 5 система за вторична радиолокация
storage -> Толерантност и етничност в медийния дискурс
storage -> Ethnicity and tolerance in media discourse revisited Desislava St. Cheshmedzhieva-Stoycheva abstract
storage -> Тест №1 Отбележете невярното твърдение за подчертаните думи
storage -> Лекции по Въведение в статистиката
storage -> Търсене на живот във вселената увод
storage -> Еп. Константинови четения – 2010 г някои аспекти на концептуализация на богатството в руски и турски език

Изтегляне 0.52 Mb.

Сподели с приятели: