Свойство 1
Стойността на детерминантата не се променя ако се разменят местата на редовете със съответните стълбовете т.е. за детерминанта от трети ред
Доказателство:
Следствие: В детерминантата всяко вярно твърдение за редовете е вярно твърдение и за стълбовете.
Свойство 2
А ко в детерминантата се разменят местата на два съседни реда (стълба) се получава детерминанта, която променя стойността си само по знак.
За детерминанти от втори ред:
Доказателство:
Аналогично се доказва и за детерминанти от трети ред.
Свойство 3
Детерминанта с равни съответни елементи на два реда (стълба) има стойност нула.
Доказателство: Нека детерминантата е от трети ред и съответните елементи на два съседни реда са равни. Ако се разместят местата на тези два реда, се получава същата детерминанта. По свойство 2 обаче двете детерминанти се различават по знак т.е.
Свойство 4
Стойността на детерминанта е сума от произведенията на елементите на кой да е ред (стълб) със съответните им адюнгирани количества.
Това означава, че ако елементите на един ред на детерминантите се умножат със съответните им адюнгирани количества, то сумата от получените произведения е стойността на детерминантата.
Следствие: Ако всички елементи на един ред (стълб) са нули, то стойността на детерминантата е нула.
Свойство 4 е подходящо да се прилага за изчисляване на стойността на детерминанта, която има елемент - числото 0.
Свойство 5
Сумата от произведенията на елементите на кой да е ред (стълб) на детерминантата с адюнгираните количества на съответните им елементи на друг ред (стълб) е нула.
Това означава, че ако умножим елементите на един ред с адюнгираните количества на съответните елементи на друг ред, то сумата на получените произведения е нула.
Доказателство: Избираме елементи от произволен ред и адюнгирани количества на съответни елементи от друг ред на детерминанта от трети ред. Ако изберем елементите да са от първи ред, а адюнгираните количества да са на елементите от втори ред, то сумата от произведенията на елементите на първи ред и адюнгираните количества на съответните елементи на втори ред е:
Свойство 6
Ако всички елементи на един ред (стълб) на детерминантата се умножат с едно и също число, то и стойността на детерминантата се умножава с това число.
Доказателство: Нека детерминантата е от трети ред и елементите на първи ред са умножени с числото к:
Свойство 7
Детерминанта с елементи на един ред (стълб) пропорционални на съответните им елементи на друг ред (стълб) има стойност нула.
Два реда (стълба) са пропорционални ако елементите на единия ред (стълб) са получени от съответните елементи на другия ред (стълб) чрез умножаване с число, различно от 0.
Доказателство
Нека елементите на детерминанта от трети ред в първи втори ред са пропорционални:
Аналогично за елементите на другите редове и стълбове.
Свойство 8
Ако в една детерминанта елементите на един ред (стълб) са представени като суми от две събираеми, то детерминантата е равна на сума от две детерминанти. В първата детерминанта реда (стълба), в който са сумите се състои от първите събираеми. Във втората детерминанта в същия този ред (стълб) са вторите събираеми на съответните суми. Всички елементи на останали редове (стълбове), с изключение на реда (стълба) със сумите, са равни на елементите на дадената детерминанта, т.е.:
Доказателство:
Свойство 9
Детерминантата не променя стойността си ако към елементите на един неин ред (стълб) се прибавят съответните елементи на друг ред (стълб), умножени с едно и също число, т.е.:
Доказателство:
Следствие: Ако към един ред на детерминантата се прибавят няколко други реда, всеки от които е умножен с някакво число, то детерминантата не променя стойността си.
Сподели с приятели: |
