Тема количествени характеристики и закони на топлинното излъчване

Прилагайки закона за съхранение на енергията, в този случай

(1.1) Ф₀ = Ф_ОТР + Ф_ПОГЛ + Ф_ПРОП

Разделяйки двете части на (1.1) на Ф₀, се получава:

(1.2) 1 = ρ + а + d

където:

Величината d, характеризираща прозрачността на тялото, зависи от неговата дебелина. При достатъчна дебелина всяко тяло е практически непрозрачно (напр. морската вода на голяма дълбочина).

Повечето твърди тела са непрозрачни при сравнително неголяма дебелина. В този случай d = 0 и изразът (1.2) придобива вида:

(1.3) 1 = ρ + а

Отражателната способност ρ зависи от атомния строеж на тялото, състоянието на неговата повърхност (огледална или матова), спектралната характеристика на падащото излъчване.

Тяло, което абсолютно нищо не поглъща от падащото върху него излъчване, а напълно го отразява, се нарича абсолютно бяло тяло.

За него а = 0 и ρ = 1. Наблюдаваният цвят на такова тяло напълно се определя от спектралния състав на облъчващото го излъчване.

Тяло, поглъщащо цялото падащо върху него излъчване, се нарича абсолютно черно тяло.

За него а = 1 и ρ = 0. При осветяване на такова тяло от какъвто и да е източник на светлина то няма да отразява нищо и ще се вижда като черно. Например за саждите в областта на видимата светлина а ≈ 0.99, което обуславя и техния черен цвят.

Тяло с коефициент на поглъщане по-малък от единица (а < 1), но еднакъв за всички дължини на вълните, се нарича сиво тяло. Такива са повечето реални тела.

Изследванията са показали, че отражателната и поглъщателната способност на телата зависят не само от дължината на вълните на облъчване (λ), но и от температурата (Т).

В този смисъл (1.3) може да бъде представен формално във вида:

(1.4) 1 = ρ_λ,Т + а_λ,Т

Зависимостта на ρ_λ,Т и а_λ,Т от дължината на вълната (λ) обуславя видимия цвят на несамосветещите тела. Тяло, интензивно поглъщащо излъчване на всички дължини на вълните, освен например зеления (λ = 550 nm), при осветяване с бяла светлина ще изглежда зелено. При осветяването му с монохроматична “незелена” светлина то няма да отразява нищо и ще изглежда черно. Така че всяко несамосветещо тяло притежава не цвят, а отразяваща способност. Ако няма облъчване, няма и цвят – “Нощно време всички котки са сиви”.

2. КОЛИЧЕСТВЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТОПЛИННОТО ИЗЛЪЧВАНЕ
Електромагнитните вълни, изпускани от атомите, които се възбуждат за сметка на топлинното им движение, представляват сами по себе си топлинно излъчване. Телата, нагрети до достатъчно висока температура, светят.

Топлинното излъчване, явявайки се най-разпространеното в природата излъчване, се извършва за сметка на енергията на топлинното движение на атомите и молекулите на веществото (т.е. за сметка на неговата вътрешна енергия) и е свойствено за всички тела при температура, по-висока от 0⁰К. Топлинното излъчване се характеризира с непрекъснат честотен спектър, положението на максимума на който зависи от температурата. При всички температури се излъчват както къси (видими и ултравиолетови) електромагнитни вълни, така и дълги (инфрачервени). Колкото по-ниска е температурата, толкова повече максимумът на излъчването се измества към дългите вълни.

Топлинното излъчване е практически единственият вид излъчване, което може да бъде равновесно. Да предположим, че нагрятото (излъчващото) тяло е поместено в кухина, ограничена от идеална отразяваща обвивка (фиг. 1.2).

С течение на времето в резултат на непрекъсната обмяна на енергия между тялото и излъчването настъпва равновесие, т. е. тялото за единица време ще поглъща толкова енергия, колкото и излъчва.

Да приемем, че равновесието между тялото и излъчването по някаква причина бъде нарушено и то излъчва повече енергия, отколкото поглъща, или обратно. В такъв случай температурата на тялото започва да намалява или да се повишава. В резултат на това отслабва или нараства количеството на излъчваната енергия, докато накрая не се възстанови равновесието.

Всички други излъчвания са неравновесни.

Най-важната количествена характеристика на топлинното излъчване е спектралната плътност на мощността на излъчването R(f) – мощност на излъчването от единица площ от повърхността на излъчвателя в диапазона от честоти с единична широчина:

(1.5) ,

където:

Р – електромагнитна мощност на излъчването;

f – честота на излъчването.

Измерителната единица на спектралната мощност на топлинното излъчване е джаул на квадратен метър на единица честотен диапазон.

Функцията (1.5) може да бъде представена във вид на функция от дължината на вълната λ.

(1.6) dP(f) = R(f) df = R(λ)dλ

Тъй като

където „с” е скоростта на разпространение на електромагнитното излъчване,

(1.7) .

Знакът минус указва, че с нарастването на една от величините λ или f, другата намалява, и обратно. По-нататък този знак може да бъде пропуснат. По такъв начин

(1.8) ,

или

Знаейки спектралната мощност на топлинното излъчване, може чрез нейното интегриране в целия честотен спектър на излъчването да се определи и втората количествена характеристика на топлинното излъчване – интегралната плътност на мощността на излъчване

(1.10) .

Важна роля в процесите на излъчване и поглъщане на енергията играе и разгледаната вече способност на телата да поглъщат падащото върху тях излъчване. Тази способност може да бъде оценена количествено със спектралната поглъщателна способност, показваща каква част от спектралната плътност на мощността на излъчването, падащо на единица площ от това тяло, се поглъща от него. Спектралната поглъщателна способност е безразмерна величина.

Спектралната поглъщателна способност на черно тяло за всички честоти и температури е тъждествено равна на единица:

а_Ч.Т. (f,T) = 1

Идеалният модел на абсолютно черно тяло е затворена кухина с малък отвор (О), вътрешната повърхност на която е зачернена (фиг. 1.3).

Лъчът, попаднал вътре в тази кухина, изпитва многократно отражение от зачернената вътрешна страна, в резултат на което интензивността на излизащото излъчване е практически равна на нула. Експериментално е установено, че при размер на отвора по-малък от 0,1 от диаметъра на кухината, падащото излъчване на всички честоти се поглъща.

Изследването на топлинното излъчване е изиграло важна роля в създаването на квантовата теория на светлината, затова е необходимо да се разгледат законите, на които то се подчинява.

ЗАКОН НА КИРХОВ

Кирхов е установил количествена връзка между спектралната плътност на мощността и спектралната поглъщателна способност на телата. Тази връзка е известна като закон на Кирхов и гласи:

(1.11)

От (1.11) следва, че универсалната функция на Кирхов r(λ,T) представлява спектралната плътност на мощността на излъчване на абсолютно черното тяло. Следователно съгласно закона на Кирхов, за всички тела отношението на спектралната плътност на мощността на излъчване при определена температура към спектралната поглъщателна способност е равно на спектралната плътност на мощността на абсолютно черното тяло при същата температура.

От закона на Кирхов следва, че спектралната плътност на мощността на всяко реално тяло в която и да е област на честотния спектър винаги е по-малка от аналогичната спектрална характеристика на черното тяло при същите значения на температурата и честотата, т.к.

Вторият извод, който се прави от анализа на (1.11), е, че ако едно тяло при определена температура не поглъща електромагнитни вълни в единица честотен диапазон, то такива вълни тялото и не излъчва при същата температура и в същия единичен честотен диапазон, т.к. при

Използвайки закона на Кирхов, за интегралната плътност на мощността на излъчване (1.10) ще се получи:

(1.12) .

За сивото тяло:

(1.13) ,

където

е интегралната мощност на излъчване на черно тяло, зависеща само от температурата.

Следствия от закона на Кирхов:

1) Всяко тяло най-интензивно излъчва това, което най-интензивно поглъща;

2) Абсолютно черното тяло е най-ефективният излъчвател (и поглъщател) при всички честоти (дължини на вълните) и при всякаква температура.

Законът на Кирхов описва само топлинното излъчване. Излъчване, което не се подчинява на закона на Кирхов, не е топлинно.

От закона на Кирхов следва, че спектралната плътност на мощността на излъчване на черното тяло е универсална функция, затова намирането на явната й зависимост от честотата и температурата е важна задача пред теорията на топлинното излъчване.

* Австрийският физик И. Стефан (1835 – 1893), анализирайки експериментални данни (1879 г.), и Л. Болцман, използвайки термодинамически метод (1884 г.), решават тази задача само частично, установявайки зависимост на интегралната мощност на излъчването от температурата. Съгласно закона на Стефан – Болцман

(1.14) R(T) = σ . T ⁴,

където:

R(T) – интегрална мощност на излъчване;

σ – константа на Стефан

σ = 5.71 . 10⁸ [W/m².⁰K⁴]

T – термодинамична температура [⁰K].

Законът на Стефан – Болцман, определяйки зависимостта на R и T, не дава отговор относно спектралния състав на топлинното излъчване на черното тяло. От експерименталните криви на зависимостта на спектралната плътност r(λ,T) от λ при различни температури (фиг. 1.4) следва, че разпределението на енергията по спектъра за черното тяло не е равномерно.

Всички криви имат явно изразен максимум, който с повишаване на температурата се измества в посока на по-късите вълни. Площта, ограничена от кривата на зависимостта r(λ,T) от λ и абсцисата, е пропорционална на R на черното тяло и, следователно, по Закона на Стефан – Болцман, на Т⁴.

* Немският физик В. Вин (1864 – 1928) е установил зависимостта на дължината на вълната λ_max, съответстваща на максимума на функцията r(λ), от температурата.

Съгласно закона за изместването на Вин

(1.15) λ_max = С₁ . Т^-1,

т. е. дължината на вълната, съответстваща на максималното значение на спектралната плътност на мощността на излъчване на черно тяло, е обратнопропорционална на термодинамическата температура.

В (1.15)

С₁ – константа на Вин;

С₁ = 2.9 . 10^-3 м ⁰К (експериментално).

(1.15) се нарича закон за изместването, защото показва изместването на положението на максимума на спектралната плътност в посока към късите дължини на вълните с нарастване на температурата.

* Вторият емпиричен закон на Вин позволява определяне на максималното значение на функциите на фиг. 1.4.

Той гласи:

където:

Термодинамическият подход към решаването на задачата за намиране на универсалната функция на Кирхов, използван в законите на Стефан – Болцман и Вин, не дава представа за механизма на излъчване от нагрятото тяло.

Освен това всички константи в тях са получени по емпиричен път, т. е. липсват им теоретическа обосновка и завършеност.

* Следващият опит за строго теоретическо извеждане на зависимостта R(λ,T) принадлежи на английските учени Д. Релей и Д. Джинс (1877 – 1946), които използват методите на статистическата физика спрямо топлинното излъчване, възползвайки се от класическия закон за равномерното разпределение на енергията по степените на свобода. Формулата на Релей – Джинс за спектралната плътност на мощността на черното тяло, като функция от температурата и честотата (дължината на вълната) на излъчването, има вида:

(1.17) ,

където е средната енергия на осцилатора със собствена честота f.

С използване на зависимостта (1.9), (1.17) може да бъде представена и във вида:

(1.18) .

Изразът (1.18) се съгласува с експерименталните данни само в областта на големите дължини на вълните (ниските честоти) и за високите температури. В областта на високите честоти формулата на Релей – Джинс рязко се разминава с експерименталната и със закона на Вин (фиг. 1.5)

Този резултат е получил наименованието “ултравиолетова катастрофа”. И така, в рамките на класическата физика не се е оказало възможно да се обясни теоретически реалното разпределение на енергията в спектъра на топлинното излъчване на черното тяло.

Немският физик М. Планк се отказал от установилото се виждане в класическата физика, съгласно което енергията на всяка една система може да се променя като непрекъсната функция във времето. Съгласно издигнатата от Планк квантова хипотеза елементарните атомни осцилатори излъчват енергията не непрекъснато, а на определени порции – кванти, при това енергията на кванта е пропорционална на честотата на колебанието:

(1.19) ,

където h = 6.625 . 10^-34 [J.s] – константа на Планк.

Планк е извел за универсалната функция на Кирхов формулите:

(1.20) ;

,

които по блестящ начин се съгласуват с експерименталните данни за разпределението на енергията в спектъра на излъчване на черното тяло в целия честотен (вълнови) диапазон и при всякакви температури. Теоретичния извод на тази формула Планк е изложил на 14.12.1900 г. на заседание на Немското физическо общество. Този ден е станал рождена дата на квантовата физика. Самият Макс Планк до края на дните си (1947 г.) не е повярвал в обективното съществуване на КВАНТА като носител на енергия. Той разсъждавал приблизително така: “Аз построих теория, позволяваща да се получи съвпадение с експеримента”.

За потвърждение на правилността в теоретичен аспект и практическата приложимост на квантовата теория и изведения от М. Планк закон за универсалната функция на Кирхов, ще бъде показано, че законите на Стефан – Болцман, Релей – Джинс и Вин могат да бъдат получени от формулата на Планк.

* По определение интегралната мощност на излъчване е

където по теорията на Планк

Отчитайки константите, независещи от λ

За да се изчисли този интеграл, ще се подстави:

Тогава:

Следователно

Удивително е, че след подставяне на константите к, с и h се получава точното значение на константата на Стефан σ.

* В областта на ниските честоти, за които h_f << k . T (енергията на кванта е много малка по сравнение с енергията на топлинното движение), формулата на Планк (1.20) се привежда към формулата на Релей – Джинс (1.17). За доказателство на това е достатъчно да се разложи експоненциалната функция във формулата на Планк и да се вземат предвид първите два члена от реда на разлагането за разглеждания случай h_f << k T.

* Законът на Вин може да се получи по λ на формулата на Планк при приравняване на производната към нула. Вторият закон на Вин може да бъде получен чрез диференциране на формулите (1.20) по Т. При това изчислените константи С₁ и С₂ са близки до експерименталните.

По такъв начин формулата на Планк не само добре се съгласува с експерименталните резултати за спектралното разпределение на енергията на излъчване на телата, но и съдържа в себе си частните закони на топлинното излъчване. Следователно формулата на Планк е пълното и коректно решение на основната задача на теорията на топлинното излъчване, поставена от Кирхов. Нейното решение става възможно благодарение на революционната квантова хипотеза на Макс Планк.

4. ТОПЛИННО ИЗЛЪЧВАНЕ НА РЕАЛНИ (СИВИ) ТЕЛА

Сумарната енергия, излъчена от реално тяло с повърхност S за време t при температура Т, ще бъде

(1.21) W = a_T . σ . T⁴ . S . t

За реалните тела a_T < 1, при това тази величина зависи от природата на тялото, състоянието на неговата повърхност, формата на тялото и температурата. Значенията на “а” при Т = 1500 ⁰К за някои вещества са приведени в таблица 1.1.

Таблица 1.1.

С нарастване на температурата и грапавината на повърхността на тялото величината на „а” расте. Например за волфрама при Т = 3400 ⁰К, а = 0.34, а при Т = 1500 ⁰К, а = 0.15.