Теореми за средните стойности(Рол, Лагранж и Коши). Формула на Тейлор



Дата20.08.2018
Размер68.88 Kb.

Въпрос5 - -

Теореми за средните стойности(Рол, Лагранж и Коши).

Формула на Тейлор.

Дефиниция. Ще казваме, че функцията f(x) има локален максимум в някоя вътрешна точка от своята дефиниционна област, когато съществува такава околност на съдържаща се в дефиниционната област на f(x), че за всяко от тази околност да имаме f(x).

Аналогично f(x) ще има локален минимум в точката , когато тя е вътрешна за дефиниционната област на функцията и когато за всяко от някоя околност на точката е изпълнено неравенството f(x).

Локалните максимуми и локалните минимуми ще наричаме с общото име локални екстремуми.

Теорема на Ферма. Ако функцията f(x) е диференцуема в една вътрешна точка от своята дефиниционна област и ако тя има локален екстремум в тази точка, то

Доказателство: Нека f(x) има локален максимум в точката (случаят с локален минимум е аналогичен). Тогава f(x), за всяко от някоя околност на точката . Щом f(x) е диференцуема в то тя притежава както лява, така и дясна производна в тази точка и при това те са равни на производната в нея (вж w4). Нека сега да ги разгледаме:

, a .

Виждаме, че за и същеременно часното , тъй като a , т.е. .За и същеременно ,, защото а и следователно .

Но както казахме . И така имаме едновременно и .

Теорема на Вайерщрас. Ако една функция е непрекъсната в крайния и затворен интервал , то тя притежава една най-голяма и една най-малка стойност.

Теорема на Рол. Ако една функция е непрекъсната в крайния и затворен интервал и е диференцуема в отворения интервал и ако освен това , то съществува поне една точка , намираща се между а и b, за която

Доказателство: Тъй като е непрекъсната в един краен и затворен интервал, то тя е ограничена. Да означим съответно с L и l точната и’ горна и долна граница в интервала , те се достигат, както знаем от теоремата на Вайерщрас.

Ако l=L то от , за , ще бъде константа в и нейната производна ще бъде нула за и теоремата ще бъде доказана.

Нека lL. От теоремата на Вайерщрас следва, че съществуват две точки и и, като поне една от тях принадлежи на интервала . В противен случай или обратното и от получаваме, че l=L, случай който вече разгледахме.

Нека е вътрешна за . От следва, че функцията има локален минимум в тази точка, поради което съгласно теоремата на Ферма ще имаме, че и теоремата ще бъде доказана.

Нека е крайна за , тогава ще бъде, както вътрешна, така и точка на локален максимум и следователно пак от теоремата на Ферма ще имаме, че .И така във всички случаи съществува точка , за която

Теорема на Лаганж(за крайните нараствания). Ако функцията е непрекъсната в крайния и затворен интервал и е диференцуема в отворения интервал, то съшествува поне една точка , за която

Доказателство: Да въведем Функцията е непрекъсната в интервала и диференцуема в интервала , като при това и Получихме, че удовлетворява всички условия на теоремата на Рол и следователно ще съществува поне една точка , за която Но

Теоремата е доказана.



Теорема на Коши(обобщена теорема за крайните нараствания). Ако функциите и са непрекъснати в крайния и затворен интервал и диференцуема в отворения интервал и ако за то съществува поне една точка , за която

Доказателство: Да отбележим, че знаменателят тъй като в противен случай и би удовлетворявала условията в теоремата на Рол и би следвало, че съществува точка , за която , което е противоречие с условието за Образуваме си помощната функция И е непрекъсната в интервала и диференцуема в интервала , като при това и И тук удовлетворява условията на теоремата на Рол и следователно ще съществува тогава някаква точка , за която т.е.

Теоремата е доказана.

Следствие(което ще използваме за формулата на Тейлор): Нека и са две функции, дефинирани и пъти диференцуеми в някоя околност D на една точка , като при това ,,......, при Да предположим освен това, че

,



Тогава за ,но имаме където .

Доказателство: Като вземем предвид, че и прилагаики теоремата на Коши получаваме където .Сега от ще имаме където следователно и .

И така, като продължим в същия дух на разсъждения, прилагайки пъти теоремата на Коши ще достигнем до равенството където .



Формула на Тейлор
Нека Вземем един полином от -та степен

(1)

Да го диференцираме последователно пъти, получаваме

Като заместим в горните равенства с 0, ще получим



Т.е. коефициентите на полинома се изразяват чрез стойностите на и неговите производни в точката 0. Това означава, че (1) може да се запише във вида:

(3)

Нека сега да приемем произволна точка а да играе ролята на точката 0. За целта да положим и Функцията

е полином на променливата h от n-та степен и от (3) ще имаме

(4)

От друга страна,

и следователно



Което ни дава право да запишем равенство (4) във вида:

(5)

или което е все едно, така:

(6)

Равенство (5), както и равносилното му (6), се нарича формула на Тейлор. Защо е интересна тази формула? Интересна е защото може да бъде видоизменена по такъв начин, че да запази своята сила не само за полиноми, но и за твърде широка категория от функции.Това е така, тъй като е верна следна



Теорема на Тейлор: Нека функцията притежава първа, втора и т.н. до -ва производна в някоя околност на точката а.Ako е една точка от тази околност, то валидно е равенството

където .



Доказателство: Образуваме си функцията

Диференцираме и получаваме







Ясно е тогава, че

Да разгледаме също и функцията за нея имаме производните

Следователно Сега да си припомним следствието от теоремата на Коши и да го приложим за функциите и , получаваме където . Като вземем предвид, че и получаваме



или най сетне



където .

Това равенство се нарича обща формула на Тейлор. Събираемото

Се нарича остатъчен член във формата на Лагранж и се бележи с . Ако е полином от n-та степен то за всяко , така че остатъчният член ще изчезне.

Формулата на Тейлор има и модификация. Да положим и a . Сега получаваме



това също е формула на Тейлор.

При формулата на Тейлор се нарича формула на Маклорен

където .

Остатъчен член във формата на Коши
Нека за функцията е валидана формулата на Тейлор. Както вече знаем остатъчният член във формата на Лагранж има вида Ще покажем, че ако e непрекъсната в разглежданата околност на точката а, може да се запише във вида

(7) .

Наистина, инрегрираики последователно по части, имаме







=

Но

и ще имаме за следното

от тук следва и исканото равенство (7).

Нека сега към интеграла в (7) приложим теоремата за средните стоиности и ще получим, че



където . Нека и ще имаме тогава или, ако

Когато използуваме този начин на записване и изразяване на , казваме, че сме записали остатъчния член във формата на Коши.









Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница