Упражнение 1 Теореми за вероятностите, формула за пълната вероятност, формула на БеЙс I. Кратки теоретични постановки и формули

1. 
   Вероятност на произведение (съвместна поява на събития):
   

• 
  За n събития: .
  
• 
  За независими събития: .
  

2. 
   Вероятност на сума (поява на поне едно от събитията)
   

• 
  За n събития е по-удобна формулата .
  
• 
  За несъвместими събития: .
  

3. 
   Ако образуват пълна група несъвместими събития и А е призволно събитие, то:
   

• 
  (формула за пълната вероятност)
  
• 
  , (формули на Бейс).
  

{изтеглената карта е петица}. Да се намерят вероятностите ,

Зависими ли са събитията и ?

Тъй като и , то събитията A и B са независими.

Вероятността може да се получи и с прилагането на една от формулите на де Морган така
2. Известно е, че винаги настъпва поне едно от събитията , или и че и са независими събития. Освен това , , . Да се намерят: а) ; б) .

Решение:

Понеже винаги се сбъдва поне едно от събитията A, B и C, то и .

Тъй като събитията A и B са независими, то изпълнени са равенствата ; .

а) ;

б)

събитията и C са несъвместими. Но тогава несъвместими са също двойките събития (A и C) и (B и C). Тогава .
3. Имам 3 монети по 2 стотинки и 2 по 10 стотинки. Взимам две монети. Да се намерят вероятностите на събитията:

а) Двете монети са по 10 стотинки (събитие)

Б) Двете имат една и съща стойност (събитие).

В) Ако първата е 2 стотинки, каква е вероятността двете да са с еднаква стойност.

Г) Ако двете са с еднаква стойност, каква е вероятността първата да е две стотинки?

Решение:

Означаваме събитията: A₁={Първата изтеглена монета е от 10 ст.}, A₂={Втората изтеглена монета е от 10 ст.},

Това условие на задачата може да се реши и така: Щом знаем, че двете избрани монети имат една и съща стойност, разглеждаме всички такива възможни съчетания. Ако номерираме монетите от 2 стотинки с числата 1, 2, 3, то съчетанията за монетите от 2 стотинки са (1; 2), (1; 3), (2; 3), а за тези от 10 стотинки имаме (10; 10), т.е. всичко на брой 4 съчетания. От тях 3 са благоприятни, т.е. .

Означаваме събитията: A={Работникът отива на работа с кола}; C={Вали}. Тогава и по условие ; ; Събитията и образуват пълна група от събития, при това ,

Същият резултат се получава, ако приложим формулата за пълната вероятност:

1. 
   В цех на завод се произвежда определен тип изделия. Всяко изделие има дефект с вероятност 0,1. Изделията се проверяват от контрольор, който открива дефект с вероятност 0,9, а стандартно изделие обявява за дефектно с вероятност 0,05.
   

Б) Изделието е квалифицирано като дефектно. Каква е вероятността действително да е дефектно?

В) Каква е вероятността изделието да бъде квалифицирано неправилно?

Г) На ден контрольорът проверява 5 изделия. Каква е вероятността поне едно от тях да бъде квалифицирано неправилно?

2. 
   В наблюдателна станция са монтирани 4 радиолокатора с различни конструкции. Вероятността за откриване на обект с помощта на първия локатор е 0,86, на втория – 0,89, на третия – 0,90, на четвъртия – 0,95.
   

Б) След включването на един от радиолокаторите е регистриран обект. Каква е вероятността да е бил включен третият локатор.

В) С първия локатор е извършено трикратно наблюдение. Каква е вероятността да е регистриран само един обект; 2) да са регистрирани 2 обекта.

Г) Колко наблюдения трябва да се направят с първия локатор, че да се гарантира откриването на обект с вероятност 0,99.

3. 
   Брояч регистрира частици от три типа А, В и С. Вероятността за поява на тези частици е , , , а вероятността броячът да регистрира наличието на частици от тези три типa е съответно , и .
   

Б) Броячът е регистрирал частица. Каква е вероятността тя да е от тип В.

В) Направени са 3 опита. Каква е вероятността само в един от опитите да бъде регистрирана частица; 2) в два от опитите да бъде регистрирана частица.

Г) Колко опита трябва да се направят, за да се твърди с вероятност 0,95, че поне ведъж ще бъде регистрирана частица.

4. 
   За упражняване на севриса си тенисист използва кошница с 30 топки, от които само 10 са нови. Вероятността за точен удар с нова топка е 1/3, а със стара топка – 1/4.
   

Б) .Да се намери вероятността взетата топка да е стара, ако е известно че ударът е сполучлив.

В) Направени са три опита. Каква е вероятността тенисистът да има 1) точно две попадения; 2) три попадения.

Г) Колко опита трябва да направи тенисистът, че с вероятност 0,9 да има поне едно попадение.

5. 
   Служител отива на работа пеша, с велосипед или с кола съответно с вероятности 0,1, 0,6 и 0,3. Ако отива пеша или с велосипед, вероятността да закъснее е 0,1, а ако отиде с кола – 0,35.
   

Б) Известно е, че един ден служителят е закъснял. Каква е вероятността този ден той да е дошъл на работа с велосипед.

В) Каква е вероятността в три последователни дни служителят да закъснее два пъти.

Г) Известно е, че ако през работната седмица (5 дни) има поне едно закъснение, служителят бива глобен. Каква е вероятността в продължение на една седмица служителят да бъде глобен?

6. 
   Да предположим, че вероятността да бъде открито туберколозно заболяване с рентгеново изследване е 0,9, а вероятността при изследването здрав човек да бъде неправилно обявен за болен от туберколоза е 0,01. Средният процент на заболяванията от туберколоза в дадена област е 0,6%.
   

Б) Каква е вероятността жител, обявен за болен, действително да е носител на туберколоза?

В) Каква е вероятността от 5 изследвани пациенти поне един да е обявен за болен от туберколоза.

Г) Каква е вероятността от 3 изследвани пациенти точно един да е обявен за болен от туберколоза.

7. 
   Имаме две урни. В първата има 3 бели и 6 черни топки, а във втората – 2 бели и 3 черни топки. От първата урна изтегляме по случаен начин три топки и топките, които преобладават по цвят, прехвърляме във втората урна. След това от втората урна изтегляме една топка.
   

Б) Изтеглената топка е бяла. Каква е вроятността от първата урна да са били прехвърлени две бели топки.

В) Изтеглената топка е черна. Каква е вероятността от първата урна да са били прехвърлена повече от една черна топка.

Г) Опитът е повторен 3 пъти. Каква е вероятността поне веднъж да бъде изтеглена бяла топка.

8. 
   Имаме две урни. В първата има 3 бели и 6 черни топки, а във втората – 2 бели и 3 черни топки. От първата урна изтегляме по случаен начин две топки и ги прехвърляме във втората урна. След това от втората урна изтегляме една топка.
   

Б) Изтеглената топка е бяла. Каква е вроятността от първата урна да са били прехвърлени две бели топки.

В) Изтеглената топка е черна. Каква е вероятността от първата урна да са били прехвърлена повече от една черна топка.

Г) Опитът е повторен 3 пъти. Каква е вероятността поне веднъж да бъде изтеглена бяла топка

А) нито една от групите, изследващи първия район, да не открие съществуващ залеж.

Б) нито една от групите да не открие залеж.

В) поне една от групите, да открие залеж.