РЕДУКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕНА СИСТЕМА СИЛИ
Задача:
На фиг. 1 е дадена пространствена система сили, приложена върху хомогенен паралелепипед.
1. Редуцирайте системата сили за т. и определете до кой основен случай на редукция се привежда тя;
2. Начертайте на отделен чертеж в подходящ мащаб главния вектор и главния момент и нанесете ъгъла между тях;
3'. Решете задачата като добавите теглото на тялото към дадената пространствена система сили – за студентите, работещи по заданието на доц. П. Павлов и гл.ас. Алб. Дойчева;
3''. Изчислете момента на силата за ос, образувана от точки и (с посока от към) – за студентите, работещи по заданието на К. Гацов и Хр. Кунчев.
Фиг. 1
|
m
m
m
kN
kN
kN
kNm
kNm
kN/m3
|
Решение:
Редуцирането на дадена система сили за избрана точка означава, че трябва да бъдат определени главен вектор и главен момент за същата точка.
1. Определяне на главния вектор
Системата сили, приложена върху паралелепипеда е пространствена и главния вектор ще бъде определен чрез събиране на проекциите му по три взаимноперпендикулярни оси –, , :
,
където:
;
;
.
Тук,.… са проекциите на отделните сили по оси , , и първо те трябва да бъдат определени.
-
Силата е в общо положение спрямо осите ,, и за да получим проекциите й ще бъдат използвани посочните косинуси , , на вектор , който е колинеарен с . Тогава:
; ; .
Посочните косинуси се определят с изразите:
; ; ,
където е големината на вектора :
m.
По-нататък:
; ; .
- проверка на посочните косинуси:
!
Окончателно:
kN; kN; kN,
като отрицателните знаци показват, че и имат посоки, обратни на посоките на оси и (Фиг.2).
Фиг. 2
-
За определянето на проекциите върху осите на силата отново ще бъдат използвани посочни косинуси. Сега, е колинеарен с вектор , чиито посочни косинуси са:
; ; .
Големината на е:
m,
и посочните косинуси са:
; ; .
- проверка на посочните косинуси:
!
В крайна сметка (Фиг.2):
kN; ; kN.
-
Силата е успоредна на ос, което означава, че тя има проекция само по (Фиг.2):
; kN; .
Проекциите на главния вектор по осите са:
kN;
kN;
kN;
Големината на главния вектор на системата сили е:
kN.
2. Определяне на главния момент на системата сили за т. //
ще бъде получен чрез сумиране на проекциите му по оси ,,:
.
Моментът е успореден на ос , т.е. той има проекция само по .
Моментът на двоицата , обаче, е в общо положение спрямо осите ,,(Фиг.3), което означава, че той има проекции по трите оси и първо те трябва да бъдат получени.
Фиг.3
Двоицата лежи в равнина, образувана от точки ,,. В такъв случай, векторът е колинеарен с нормалния вектор на равнината (Фиг.3) и проекциите на могат да бъдат получени чрез използването на посочните косинуси на . (Посоката на вектора е определена с правилото на дясната ръка – пръстите са по посоката на едната сила от двоицата, като дланта е към другата сила, а палецът дава посоката на вектора).
Посочните косинуси могат да бъдат изчислени с помощта на векторното произведение на два произволно избрани вектора, принадлежащи на равнината – в случая, избраните вектори са и , което значи, че т. е приета за точка, около която моментът върти. Векторното произведение има вида:
,
където , , са единичните вектори на осите ,, , съответно (Фиг.3). Важно е да се разбере, че векторното произведение е , а не , защото по време на ротацията си около т., моментът първо пресича вектор и след това вектор (Фиг.3). По-нататък:
,
което означава, че
; ; ,
и големината на нормалния вектор на равнинатае:
.
Фиг. 4
Тогава, посочните косинуси са:
; ; .
- проверка на посочните косинуси:
!
За проекциите на по осите ,,, се получава:
kNm; kNm;
kNm,
а тяхното положение е дадено на фиг.4.
Сега вече, записваме изразите за моментите на дадената система сили спрямо оси ,, , като положителните посоки на въртене за осите са получени с правилото на дясната ръка (Фиг.5):
kNm;
kNm;
kNm.
Fig.5
За големината на се получава:
kNm.
3. Определяне на случая на редукция
Определянето на случая на редукция става чрез скаларното произведение между главния вектор и главния момент:
. ,
където е ъгълът между тях.
В изчисленията дотук и бяха получени различни от нула. Тогава, ако тяхното скаларно произведение също е различно от нула (ъгълът е различен от 900), дадената система сили се редуцира до динама (силов винт). Ако, обаче, тяхното скаларно произведение е равно на нула (ъгълът е равен на 900), редукцията може да бъде продължена до равнодействаща.
Изчислявайки се получава:
. kN2m,
което е различно от нула и това означава, че случаят на редукция е ДИНАМА.
След това, за определяне на ъгълът между главния вектор и главния момент, горният израз е преобразуван по отношение на :
.
Главният вектор, главният момент и ъгълът между тях са показани на фиг.6.
Фиг.6
4'. Решение на задачата след добавяне на теглото на паралелепипеда към дадената пространствена система сили – за студентите, работещи по заданието на доц. П. Павлов и гл.ас. А. Дойчева
Теглото на паралелепипеда е сила, приложена в неговия център на тежестта, имаща вертикална директриса и насочена надолу (Фиг.7). Големината й се определя с формулата:
,
където е обемът на паралелепипеда, а kN/m3 е обемното тегло.
m3,
kN.
Фиг. 7
Сега отново трябва да получим главен вектор и главен момент на дадената система сили като към нея прибавим теглото на тялото.
Силата е вертикална и влияе само на проекцията върху ос на главния вектор (Фиг.8):
kN;
kN;
kN;
kN.
Отново заради вертикалната си директриса, е успоредна на и не дава момент за тази ос (Фиг.8). Тогава:
kNm;
kNm;
kNm;
kNm.
Фиг. 8
След това пак се определя случая на редукция като се пресмята:
. kN2m,
което е различно от нула, т.е. системата сили отново се редуцира до ДИНАМА.
Накрая се определя ъгълът между главния вектор и главния момент:
.
4''. Определяне на момента на силата за ос (с посока от към) – за студентите, работещи по заданието на К. Гацов и Хр. Кунчев
Моментът на сила за ос е равен на проекцията върху същата ос на момента на силата за произволна точка от оста. В нашия случай това е т. и тогава:
.,
където е единичният вектор на оста (Фиг.9).
, , са посочните косинуси на оста спрямо осите ,,, като изразите за тяхното определяне са:
; ; ,
където m.
; ; .
- проверка на посочните косинуси:
!
kNm.
се получава с отрицателен знак, което означава, че той се нанася в т. с посока, обратна на посоката на оста (Фиг.9).
Фиг. 9
Сподели с приятели: |