Задача: На фиг. 1 е дадена пространствена система сили, приложена върху хомогенен паралелепипед



Дата13.10.2018
Размер0.55 Mb.
ТипЗадача
РЕДУКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕНА СИСТЕМА СИЛИ
Задача:

На фиг. 1 е дадена пространствена система сили, приложена върху хомогенен паралелепипед.

1. Редуцирайте системата сили за т. и определете до кой основен случай на редукция се привежда тя;

2. Начертайте на отделен чертеж в подходящ мащаб главния вектор и главния момент и нанесете ъгъла между тях;

3'. Решете задачата като добавите теглото на тялото към дадената пространствена система сили – за студентите, работещи по заданието на доц. П. Павлов и гл.ас. Алб. Дойчева;

3''. Изчислете момента на силата за ос, образувана от точки и (с посока от към) – за студентите, работещи по заданието на К. Гацов и Хр. Кунчев.






Фиг. 1


m

m

m
kN

kN

kN

kNm

kNm

kN/m3


Решение:

Редуцирането на дадена система сили за избрана точка означава, че трябва да бъдат определени главен вектор и главен момент за същата точка.


1. Определяне на главния вектор

Системата сили, приложена върху паралелепипеда е пространствена и главния вектор ще бъде определен чрез събиране на проекциите му по три взаимноперпендикулярни оси –, , :

,

където:


;

;

.

Тук,.… са проекциите на отделните сили по оси , , и първо те трябва да бъдат определени.



  • Силата е в общо положение спрямо осите ,, и за да получим проекциите й ще бъдат използвани посочните косинуси , , на вектор , който е колинеарен с . Тогава:

; ; .

Посочните косинуси се определят с изразите:

; ; ,

където е големината на вектора :

m.

По-нататък:

; ; .

- проверка на посочните косинуси:



!

Окончателно:



kN; kN; kN,

като отрицателните знаци показват, че и имат посоки, обратни на посоките на оси и (Фиг.2).





Фиг. 2



  • За определянето на проекциите върху осите на силата отново ще бъдат използвани посочни косинуси. Сега, е колинеарен с вектор , чиито посочни косинуси са:

; ; .

Големината на е:

m,

и посочните косинуси са:

; ; .

- проверка на посочните косинуси:



!

В крайна сметка (Фиг.2):



kN; ; kN.

  • Силата е успоредна на ос, което означава, че тя има проекция само по (Фиг.2):

; kN; .
Проекциите на главния вектор по осите са:

kN;

kN;

kN;

Големината на главния вектор на системата сили е:

kN.


2. Определяне на главния момент на системата сили за т. //

ще бъде получен чрез сумиране на проекциите му по оси ,,:

.

Моментът е успореден на ос , т.е. той има проекция само по .

Моментът на двоицата , обаче, е в общо положение спрямо осите ,,(Фиг.3), което означава, че той има проекции по трите оси и първо те трябва да бъдат получени.





Фиг.3

Двоицата лежи в равнина, образувана от точки ,,. В такъв случай, векторът е колинеарен с нормалния вектор на равнината (Фиг.3) и проекциите на могат да бъдат получени чрез използването на посочните косинуси на . (Посоката на вектора е определена с правилото на дясната ръка – пръстите са по посоката на едната сила от двоицата, като дланта е към другата сила, а палецът дава посоката на вектора).

Посочните косинуси могат да бъдат изчислени с помощта на векторното произведение на два произволно избрани вектора, принадлежащи на равнината – в случая, избраните вектори са и , което значи, че т. е приета за точка, около която моментът върти. Векторното произведение има вида:

,

където , , са единичните вектори на осите ,, , съответно (Фиг.3). Важно е да се разбере, че векторното произведение е , а не , защото по време на ротацията си около т., моментът първо пресича вектор и след това вектор (Фиг.3). По-нататък:

,

което означава, че

; ; ,

и големината на нормалния вектор на равнинатае:

.


Фиг. 4
Тогава, посочните косинуси са:

; ; .

- проверка на посочните косинуси:



!

За проекциите на по осите ,,, се получава:



kNm; kNm;

kNm,

а тяхното положение е дадено на фиг.4.


Сега вече, записваме изразите за моментите на дадената система сили спрямо оси ,, , като положителните посоки на въртене за осите са получени с правилото на дясната ръка (Фиг.5):

kNm;

kNm;

kNm.


Fig.5
За големината на се получава:

kNm.



3. Определяне на случая на редукция

Определянето на случая на редукция става чрез скаларното произведение между главния вектор и главния момент:



. ,

където е ъгълът между тях.

В изчисленията дотук и бяха получени различни от нула. Тогава, ако тяхното скаларно произведение също е различно от нула (ъгълът е различен от 900), дадената система сили се редуцира до динама (силов винт). Ако, обаче, тяхното скаларно произведение е равно на нула (ъгълът е равен на 900), редукцията може да бъде продължена до равнодействаща.

Изчислявайки се получава:



. kN2m,

което е различно от нула и това означава, че случаят на редукция е ДИНАМА.

След това, за определяне на ъгълът между главния вектор и главния момент, горният израз е преобразуван по отношение на :

.

Главният вектор, главният момент и ъгълът между тях са показани на фиг.6.



Фиг.6
4'. Решение на задачата след добавяне на теглото на паралелепипеда към дадената пространствена система сили – за студентите, работещи по заданието на доц. П. Павлов и гл.ас. А. Дойчева
Теглото на паралелепипеда е сила, приложена в неговия център на тежестта, имаща вертикална директриса и насочена надолу (Фиг.7). Големината й се определя с формулата:

,

където е обемът на паралелепипеда, а kN/m3 е обемното тегло.

m3,



kN.


Фиг. 7
Сега отново трябва да получим главен вектор и главен момент на дадената система сили като към нея прибавим теглото на тялото.

Силата е вертикална и влияе само на проекцията върху ос на главния вектор (Фиг.8):

kN;

kN;

kN;

kN.

Отново заради вертикалната си директриса, е успоредна на и не дава момент за тази ос (Фиг.8). Тогава:

kNm;

kNm;

kNm;

kNm.


Фиг. 8
След това пак се определя случая на редукция като се пресмята:

. kN2m,

което е различно от нула, т.е. системата сили отново се редуцира до ДИНАМА.

Накрая се определя ъгълът между главния вектор и главния момент:

.

4''. Определяне на момента на силата за ос (с посока от към)за студентите, работещи по заданието на К. Гацов и Хр. Кунчев
Моментът на сила за ос е равен на проекцията върху същата ос на момента на силата за произволна точка от оста. В нашия случай това е т. и тогава:

.,

където е единичният вектор на оста (Фиг.9).

, , са посочните косинуси на оста спрямо осите ,,, като изразите за тяхното определяне са:

; ; ,

където m.

; ; .



- проверка на посочните косинуси:

!
kNm.

се получава с отрицателен знак, което означава, че той се нанася в т. с посока, обратна на посоката на оста (Фиг.9).


Фиг. 9





Каталог: UACEG site -> acadstaff -> userfiles
userfiles -> Curriculumvita e трифон Славчов Германов Професор, д-р-инженер
userfiles -> Определението за карта1 Станислав Василев
userfiles -> Determination of ecological flow after the intake for the small-scale hydropower plant "manastirska"
userfiles -> Годишник на университета по архитектура, строителство и геодезия – софия 2002-2004 annuaire de l’universite d’architecture, de genie civil et de geodesie – sofia
userfiles -> Задача по пиис на Иван Петров Иванов студент от специалност ссс, I курс, 10 група, ф. №11222
userfiles -> Рубрика Повишаване на изискванията за безопасност на водните системи и екипировка


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница