Годишник на Минно-геоложкия университет "Св. Иван Рилски"
том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 101-104 ВЪРХУ ЕКВИВАЛЕНТНОСТТА НА СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВЪЗНИКВАЩИ В ЕЛЕКТРОМАГНИТНАТА ЗАДАЧА ЗА ДВЕ ТЕЛА
Разглеждат се два типа системи от уравнения на движението, възникващи в електромагнитната задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и е показана тяхната еквивалентност.
В представената статия се разглеждат два типа системи от уравнения на движението, възникващи в електромагнитната задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и формулирани в (Angelov, 2002).
Най-напред да припомним някои означения и резултати (Angelov, 2002; Angelov, 2000).
Уравненията на движение въведени от J. L. Synge
Означаваме както в (Synge, 1940) с
пространствено-временните координати на движещите се частици, с - техните собствени маси, с - техните заряди, - скоростта на светлината. Координатите на векторите на скоростта са
.
Координатите на единичните допирателни вектори са
,
където
,.
Следователно .
Означаваме скаларното произведение в пространство-то на Минковски с , а с - скаларното произведение в 3-мерното евклидово подпространство.
Уравненията на Synge са:
(1)
където . Да отбележим, че в (1) се сумира по. Елементите на електромагнитния тензор - , се получават от закъсняващите потенциали (на Lienard-Wiechert)
, т.е.
.
Означаваме с изотропния вектор (вж. [1], [2]):
където , или
(*)
.
Пресмятайки както в (Angelov, 1990) можем да напишем уравненията от (1) във вида
(2.)
(2.4)
където , .
Означаваме ,
където
,
и
където точката означава диференциране по t.
Както в (Angelov, 2000), където се доказва, че 4-то и 8-то уравнения са следствие от останалите, получаваме система от 6 уравнения. Сега можем да формулираме задача с начални условия по следния начин: да се намерят неизвестните скорости , които удовлетворяват уравненията на движение , както следва:
Припомняме, че в горните уравнения
,
докато в , а закъсняващата функция удовлетворява функционалните уравнения (*) за .
За функциите са дадени:
,
където
.
Това означава, че за дадените траектории за трябва да се намерят траектории удовлетворяващи горната система от уравнения при . (Припомняме, че , където са началните координати).
Задача на Кеплер в полярни координати
Сега ще разгледаме равнинно движение в координатната система за горните уравнения. Предполагаме, че първата частица е фиксирана в началото , т.е.
. Следователно, по необходимост, . Преминавайки в полярни координати полагаме , където .
След преобразувания направени в (Angelov, 2002) получаваме следната система от втори ред:
(4)
при и начални условия
.
От друга страна, започвайки от началната форма на уравненията на Synge (Angelov, 2000), получаваме за кеплеровата задача следните уравнения на движение:
Но . Тогава с интегриране от 0 до tполучаваме
или
(6)
където
,
.
Системите (6) и са еквивалентни, тъй като дясната страна на е непрекъсната вектор-функция на t (което е необходимо и достатъчно условие за еквивалентност на двете системи). Наистина вектор-функцията е непрекъсната, тъй като
Разбира се ,
.
Тогава от (с за краткост) получаваме:
(7)
Умножавайки първото уравнение с , второто с и сумирайки, получаваме уравнението
,
т.е. .
С други думи получихме връзката .
Умножавайки първото уравнение на (7) с , а второто със и сумирайки, и след това първото уравнение с , второто с и сумирайки, получаваме системата , или (като заместим ):
(8)
Очевидно системите (8) и (4) са една и съща система, с точност до прехвърляне на събираеми, тъй като .
ЛИТЕРАТУРА
Synge J.L. 1940. On the electromagnetic two-body problem. Proc. Roy. Soc. (London), ser. A, 177, 118-139.