Закон на разпределението, квантили, числени характеристики

Упражнение 3

Плътност на разпределение: ) Свойства: 1) за всяко х; 2) . 3)	Функция на разпределение. , . Свойства: 1) и непрекъсната за всяко х, 2) е ненамаляваща за всяко х 3) , ; 4)
Връзки между двете функции: ,

• 
  квантил от ред р - възможната стойност , за която . Решава се уравнението .
  

квантил от ред 0,5, т.е.

Долен квартил – квантил от ред 0,25

Горен квартил – квантил от ред 0,75.

• 
  критична точка от ред р - възможната стойност , за която . Очевидно, .
  

е константа, то .

е константа, то .

.

за произволна случайна величина

, ако и са независими.

а) Да се пресметне константа C и да се начертае графиката на функцията .

б) Да се намери функцията на разпределение на  и да се начертае графиката й.

в) Да се намерят основните числени характеристики (математическо очакване, дисперсия и средно квадратично отклонение) на случайната величина  и обяснят практическото им значение

г) да се намери асиметрията на величината..

д) Да се намери до колко секунди се обслужват 50% от клиентите (квантил от ред 0,5)

е) Колко най-малко секунди чакат 25% от клиентите (критичната точка от ред 0,25).

ж) Да се намери модата.

з) Да се намери вероятността клиент да бъде обслужен 0т 40 до 50 секунди.

и) На гишето чака 10 души. Колко минути средно ще чака новопристигнал клиент?

Тъй като в интервала функцията , то първият интеграл е равен на нула. Същото важи и за третия. В интервала функцията и следователно т.е.

Сега функцията е напълно определена и има вида

За по-точното построяване на графиката са пресметнати координатите на няколко точки, за които абсцисите са от интервала (0,5;1], където функционалните стойности са различни от нула:

x
0,5	2,885390
0,6	2,404492
0,7	2,060993
0,8	1,803369
0,9	1,602994
1,0	1,442695

1) Нека x  0,5. Тогава =;

2) Нека 0,5  x  1. Тогава

=.

3) И накрая нека x1. В този случай =

И така, окончателно функцията на разпределение има вида

(*)

Графиката на е показана на фиг.2.
в) Математическото очакване, дисперсията и средноквадратичното отклонение се намират, като се приложат съответните дефиниционни равенства или следствията от тях.

Първият и третият от интегралите отдясно са равни на 0, тъй като в тези интервали вероятностната плътност е зададена равна на 0. Тогава И така . Значението на математическото очакване е средното време за обслужване на един клиент. Следователно, един клиент се обслужва средно за секунди.

Дисперсията пресмятаме по формулата .

се намира по аналогичен начин.

Следователно,

Тъй като , то окончателно за търсените числови характеристики на разглежданата случайна величина се получава =0,72134752, =0,020668395, =0,143765069.

Практически средно квадратичното отклонение показва, че отклонението от средното време за чакане е

централният момент от трети ред .

От тук получаваме, че , следоварелно разпределените на величината има положителна асиметрия (фиг. 1)

д) Случайната величина е времето за обслужване не един клиент. Търсим такова число t, че 50% от клиентите да бъдат обслужени за време, по-малко от t, т.е. . Съгласно дефиницията на квантил, то числото t е квнтилът от ред 0,5, който се нарича също медиана на случайната величина и се бележи с M_e или Q₂. Той е решение на уравнението , което има вида . Последователното получаваме ; ; ; . Следователно, 50% от клиентите чакат по-малко от секунди.

е) Тук се търси критичната точка от ред 0,25, която съвпада с квантилът от ред 0,75, т.е. трябва да решим уравнението . Следователно, 25% от клиентите ще чакат повече от секунди.

ж) Модата M_o представлява такава абсциса, при която функцията вероятностна плътност има локален максимум. От аналитичният израз на тази функция или от фигура 1 е ясно, че функцията няма локален максимум. Следователно тази случайна величина няма мода.

и) Прилага се формулата

.

И така, вероятността един клиент да бъде обслужен от 40 до 50 секунди е 0,31.

З) Новопристигналият клиент ще чака средно минути.


III. Задачи за Самостоятелна работа.

1. 
   Непрекъснатата случайна величина е дадена с плътността си на разпределение
   

б) Да се намери функцията на разпределение и начертаят графиките на функцията и плътността на разпределение;

в) да се намери средно квадратичното отклонение и асиметрията на разпределението;

г) Да се изчислят , медианата , квартилите и , квантилът и критичната точка .

д) Да се изчислят математическото очакване и дисперсията на величините и .

е) Величината  служи за модел на времето, необходимо за свързване с бюро за услуги. Да се изясни практическия смисъл на намерените стойности.

2. 
   Туристическа агенция наема квартири за почивка като седмичният наем (в десетки лв) е непрекъсната случайна величина с плътност на разпределение .
   

б) Да се намери средната стойност на седмичен наем на квартира и средно квадратичното отклонение;

в) Каква е сумата, която не се надвишава от наема, определен за 25% от квартирите?

г) Каква е сумата, която се надвишава от наема, определен за 30% от квартирите?;

д) За всяка наета квартира агенцията плаща депозит в размер на 10% от седмичния наем , определен за квартирата. Да се намери средната стойност, която агенцията трябва да отделя за депозит на квартира.

3. 
   Времето в минути, което пътник губи за закупуване на билет, е непрекъсната случайна величина, плътността на която е . Да се намери:
   

б) математическото очакване и средно квадратичното отклоение;

в) модата и медианата;

г) Пътник пристига на гарата 3 минути преди тръгването на влака и се е наредил на опашка за билет. Каква е вероятността да изпусне влака?

д) До колко минути чакат за билет 10% от пътниците.

е) Повече от колко минути чакат 25% от пътниците?.

4. 
   Модел на продължителността на работа на даден елемент (в години) е случайната величина с функция на разпределението , .
   

б) Да се намери средната продължителност на работа на елементите и средноквадратичното отклонение.

в) Да се намери вероятността елемент да работи безотказно повече от 4 години.

г) В едно устройство са монтирани два такива елемента. Устройството работи, ако и двата елемента са в изправност. Каква е вероятността устройството да работи повече от две години.

5. 
   Продължителността на работа на дадено устройство (в месеци) се моделира с непрекъснатата случайна величина , чиято плътност на разпределението е .
   

б) Да се намери средната продължителност на работа на елементите и средноквадратичното отклонение.

в) Да се намери функцията на разпределение и начертаят графиките на функцията и плътността на разпределение.

г) Да се намери вероятността елемент да работи безотказно повече от 5 месеца.

д) В гаранционната карта е предвидено устройството да се замени с ново, ако излезе от строя за по-малко от месец експлоатация. Да се определи какъв процент от произведените устройства се заменят с нови.

6. 
   Двама приятели редовно говорят по телефона. Продължителността на разговорите им (в часове) е случайна велична, плътността на разпределение на която е .
   

б) Да се намери функцията на разпределението и начертаят графиките на функцията и плътността на разпределение;

в) Да се намери средната продължителност на разговорите.

г) До колко минути е продължителността на разговорите в 30% от случаите?

д) Каква е средната такса за 1 разговор, ако всеки 5 минути разговор се заплащат по 10 стотинки. Колко е месечната такса, ако се провеждат средно 40 разговора?

7. 
   В голям магазин за строителни материали се продават пирони. Теглото (в килограми) на продаваните дневно пирони е случайна величина с плътност на разпределение .
   

б) До колко килограма дневно се продават в една четвърт от случаите.

в) Да се намери вероятността теглото на продадените пирони в даден ден да бъде между 4 кг и 5 кг.

г) Цената на 1 кг пирони е 3 лв. Какъв е средния дневен приход от продажба на пирони в магазина.

а) Да се намери плътността на разпределение и начертаят графиките на функцията и плътността на разпределение;

б) Да се изчислят , и ;

в) Да се намерят модата, медианата и квартилите, квантилът и критичната точка .

г) Величината  служи за модел за престоя на автобусите на спирките по дадена линия (в минути). Да се изясни практическия смисъл на намерените стойности.
Вариант 9. Непрекъснатата случайна величина е дадена с плътността си на разпределение .

а) да се намери константата ;

б) Да се намери функцията на разпределение и начертаят графиките на функцията и плътността на разпределение;

в) да се намери средноквадратичното отклонение ;