Алгоритъм за пресмятане на собствените стойности и вектори на комплексна хамилтънова матрица

Нека

J = ,

т.е.  е множеството на всички комплексни 2nx2n хамилтънови матрици.

Определяме множеството

² = {N  C^2nx2n | N = M², M },

което всъщност представлява множество от всички хамилтънови 2nx2n матрици, повдигнати на квадрат.

Матрицата, която се явява квадрат на хамилтънова матрица, удовлетворява условията за J-симетричност, т.е. тя може да има един от следните два вида:

1. 
   N
   (R^nxn)
   = , A, B, C  C^nxn, B = -B^T, C = -C^T
   
2. 
   N = , A, B, C  C^nxn, B = -B^*, C = -C^*.
   

Ако M   и (M) = {₁, -₁, …, _n, -_n} (_i – собствените стойности), то

(M²) = {, , …, , }.

Тези наблюдения определят основата на следващия SR алгоритъм за изчисляване на собствените стойности ₁, ₂, ..., _n на M  :

1. 
   Определяме
   

2. 
   Изчисляваме унитарната матрица Q, така че
   

3. 
   Използваме QR алгоритъм за пресмятане на
   

4. 
   За i от 1 до n пресмятаме _i = , вземайки квадратен корен, разположен в лявата половина на интервала. В множеството е изпълнено, че
   

Пункт 2 от плана на SR алгоритъма е единственото действие в този процес, което изисква незабавно пояснение.

Ще разгледаме една стъпка от алгоритъма, чрез коятоще покажем как унитарният симплект Q  R^2nx2n може да бъде определен.

Ще опишем първоначалната матрица, както следва:

N = = (n = 4).
(Нулевите диагонали в B и C са вследствие антисиметричността). Оказва се, че блокът C от тази матрица може да бъде занулен чрез използване на редица от хаусхолдерови и гивънсови симплектични подобни трансформации.

Първото действие е да занулим C₃₁ и C₄₁, използвайки хаусхолдеровата матрица H_k = H(k+1, W), при k=1, използвайки работен алгоритъм H при y=A.e_k, z=C.e_k. Тук e_k=(0, …, 0, 1, 0, …, 0)^T.

Работният алгоритъм H накратко се използва за определяне на вектора
W = (w_k, …, w_n)^T, така че, ако

H(k, W). = , тогава x_i=0 за i=k+1, …, n.

Пресмятаме :=.

Построяваме W  Cⁿ по следния начин:

w_k:=(|z_k|+).e

w_i:=, за i=k+1, …, n .

Построяваме матрицата на Хаусхолдер

H_k = H(k+1, W) = , където

P = , W  C^n-k.

Размяната на местата на y и z може да бъде използвана за определяне на матрицата H_k, така че v_i=0, за i=k+1, …, n.

Може да се забележи, че когато подобната трансформация е изпълнена с първата матрица, само редовете и стълбовете 2, 3 и 4 от A, B и C влияят на резултата:
N = = H₁NH = .
Зануляването на позиции (13) и (14) на С следва от антисиметричността на тази матрица.

Следващото действие е да занулим c₂₁C, използвайки гивънсова подобна трансформация. Това може да бъде осъществено чрез използване на работен алгоритъм J, при който се построява матрица J_k = J(k+1, ) при y=A.e_k, z=C.e_k, k=1.

Алгоритъмът накратко се състои в следното:

1. 
   Пресмятаме  = .
   
2. 
   Ако =0, тогава cos  = 1, sin  = 0,
   

3. 
   Построяваме матрицата J_k=J(k+1, ), която има следния вид:
   

C = diag(E_k, cos , E_n-k-1)’

S = diag(0_k, sin .e^i, 0_n-k-1).

Тук аргументът  = arg a_k+1k – arg c_k+1k.

След извършване на трансформацията може да се забележи, че само вторият ред и стълб на А, B и С са повлияни от резултата:

N = = J₁NJ = .

Следващото действие от SR алгоритъма е да занулим a₃₁ и a₄₁ от матрицата А. Това може да стане чрез използване на работния алгоритъм Н, но с една корекция при постройката на матрицата G_k=H(k+1, W). Тук вече y=C.e_k, z=A.e_k, k=1 и векторът W се избира по друг начин:

w_k = (|z_k+1| + ).e

w_i = z_i, i=k+2, …, n.

Резултатът от трансформацията е следният:

С това завършва зануляването в първия стълб на N (при к=1).

След n-2 стъпки с работния алгоритъм Н, прилаган съответно за матриците А и С и n-1 стъпки с работния алгоритъм J за матрицата С, матрицата N добива желания вид. Следователно, за унарната матрица Q можем да твърдим, че има следния вид:

Q^* = J_n-1.(G_n-2.J_n-2.H_n-2)…(G₂.J₂.H₂).(G₁.J₁.H₁).