19
където квадратните скоби обозначават операторите А и В. Изключваме променливата в изразите (1.16.) и (1.17.) и получаваме:
Израза се нарича
оператор за затворен кръг (closed-loop operator) на системата, а
израза АВ –
оператор за отворен кръг (open-loop operator). В общият случай операторът за отвореният кръг не притежава свойството комутативност, т.е.
За пример ще разгледаме система с една обратна връзка показана на фиг. 1.13. В нея предполагаме, че оператора А има
фиксирано тегло а В се явява оператор за единична задръжка (unit-delay operator)
, който задържа изходният сигнал по отношение на входния на една стъпка дискретизация. Изхода на оператора за затворения кръг се изразява чрез:
Използваният бином представлява израза
, като оператора за затвореният кръг може да бъде записан във вида:
Замествайки изразa (1.19.) в (1.18.) получаваме
Тук квадратните
скоби отново обозначават факта, че е оператор, за който следва
Където е входният сигнал на задържане на
l единица дискретизация.
Следователно изходният сигнал може да се представя като безкрайно претеглена сума на текущи и предишни
стойности на входният сигнал 20
На фиг. 1.14. ясно се вижда, че динамичната реакция на системата се определя от теглото
Може да се разглеждат два случая:
Фиг.1.13. Граф за протичане на сигнал за филтър с безкрайна импулсна характеристика (IIR-filter – infinite-duration impulse response filter) от първи ред
Фиг.1.14. Реакция на системата показана на фиг.1.13. за
три различни тегла на (а) Устойчива система, (б) линеен случай, (в) експоненциална разходимост.
21
•
В даденият случай изходният сигнал е експоненциално
сходящ (vergent).
Това значи, че
системата е устойива (stable). Реакцията на фиг.1.14,
а е за положителни стойности на
•
В дадения случай изходния сигнал е
разсходящ (divergent). Това значи, че системата е
неустойива (unstable). Ако
, разходимостта е линейна (фиг. 1.14, б); ако
- експоненциална
(фиг.1.14, в).
Случая съответства на система с безкрайна памет, в смъсъл че входа на системата зависи от състоянието на системата в безкрайно далекото минало.
Сподели с приятели: