ИНТЕРПОЛАЦИЯ НА ТАБЛИЧНИ ДАННИ Когато е необходимо да се намерят междинни стойности в таблицата (А.1), с цел разширяването й, се използва т.нар. интерполация. Най-проста е линейната интерполация и за нея е валидна релацията
(А.3)
Тази интерполация се прилага в случаите на бавно изменение на зададената функция, т.е. при първа производна близка до константа.
По-точна се явява формулата за квадратична интерполация на Бесел:
(А.4)
Получените стойности от (А.З) и (А.4) се нанасят в таблица, която е разширен вариант на (А.1).
АПРОКСИМАЦИЯ НА ТАБЛИЧНИ ДАННИ Използва се за намиране на функция, която да бъде близка до зададената чрез таблица в целия интервал. Чрез тази функция също може да се пресметнат междинни стойности в таблицата (А.1).
Интерполационен полином на Лагранж.Нека са зададени на брой точки (интерполационни възли) (А.1). Търси се полином , който да удовлетворява равенствата:
(А.5) , .
Полиномът има вида:
(А.6) .
Ако точките , са равноотдалечени, т.е. , и е въведено означението , то
(А.7)
Формулата (A.7) се нарича интерполационна формула на Лагранж за равностоящи възли.
Интерполацията е един от основните подходи за апроксимация.Този подход се основава на изискването апроксимиращата функция да има същите стойности във възлите, както табличните данни. Често това условие не е необходимо, а се търси сравнително проста функция, минимизираща разликата с табличните данни за целия интервал на изменение. Един от основните методи при този подход е методът на най-малките квадрати. Същността му при дискретно зададени функции чрез таблица (А.1) е минимизиране на сумата
(А.8) ,
където е търсената функция. Средно-квадратичната грешка е
(А.9) .
Построение на полином по метода на най-малките квадрати Нека функцията е зададена чрез таблицата (А.1). Търси се полином от степен
(А.10) ,
който да минимизира сумата .
Неизвестните са коефициентите на полинома - . Разглежда се сумата , . Намират се стационарните й точки, които са решения на системата: .
Последната система може да се запише във вида:
,
където . Детерминантата на тази матрица е винаги различна от нула и системата има единствено решение.
Обикновено при минимизирането на сумата не всички точки са изчислени с еднаква точност и поради тази причина оказват различно влияние върху резултата. В този случай за по-голяма точност се налага да се въведат тегла , . Тогава се минимизира сумата
(А.11) .
Най-често теглата се избират така, че , .
