Чисто усукване определение чистото усукване



Дата31.12.2017
Размер229.42 Kb.
ГЛАВА 6
ЧИСТО УСУКВАНЕ
6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Чистото усукване е такъв вид деформиране, при което напречните сечения се завъртат едно спрямо друго под действие само на външни усукващи моменти. Те имат равнини на действие, перпендикулярни на надлъжната ос на гредата. Усукващите моменти са предизвикани от сили, перпендикулярни на оста на гредата, но непресичащи я.

Усукването на криволинейните греди възниква и при други видове натоварване. При греди с тънкостенни напречни сечения усукване възниква при действие на напречен товар, приложен извън дефиниран за тях център на огъване. Тогава усукването е комбинирано с огъване. Ако огъващият момент има малки стойности спрямо тези на усукващия, то усукването може да се разглежда като чисто.

Натоварени на усукване са валове, винтови пружини и други елементи на конструкциите.



Фиг. 6.1: Греда, натоварена на чисто усукване

Във всяко напречно сечение от разрезните усилия само усукващият момент е различен от нула , т.е.

. (6.1)
6.2. ПОСТРОЯВАНЕ НА ДИАГРАМАТА НА УСУКВАЩИТЕ МОМЕНТИ

Разглежда се натоварената на усукване греда от фиг. 6.1. Прилага се познатият метод на сечението. Избира се произволно част от гредата, намираща се отляво или отдясно на сечението. Усукващият момент е положителен, когато гледайки срещу отрязаната част, той е в посока, обратна на часовниковата стрелка.



Фиг. 6.2: Усукващ момент в произволно сечение на гредата

За избраната част от гредата се записва равновесното условие векторната сума от всички ускуващи моменти, действащи върху нея, да бъде равна на нула. От това условие може да се направи заключението, че усукващият момент в дадено сечение числено е равен на взетата с обратен знак алгебрична сума на външните усукващи моменти от едната страна на сечението.
Да се построят диаграмите на усукващите моментиза показаните греди в зад. 6.1 и зад.6.2.
Задача 6.1


30 kNm



10 kNm

TC=20 kNm





A

C




B

x

x

x

2 m


3 m

10


10




T

+




-



20

MMMMl


20

Фиг. 6.3: Примерна греда, натоварена на чисто усукване


При този вид натоварване в мястото на запъването единствената неизвестна, която е различна от нула, е усукващият момент . Той се определя от условието

.

За всеки от двата участъка се прави разрез в произволно сечение и се разглежда едната от двете части. Препочита се тази, върху която товарите са по-малко.


I
10 kNm
участък:

x

T1


.
I I участък:


MC=20 kNm

T2








3-x



.
При построяване на диаграмата T на усукващите моменти положителните стойности се нанасят над реперната линия.

Задача 6.2

12 kNm/m’



10 kNm

TA=14 kNm






C




A

B

x

x

x

2 m


2 m





14

MMMMl

T

+


-

-




1.167 m


10

MMMMl


10

20

GIt1 (x)

-



4


+

8,167


Фиг. 6.4: Примерна греда, натоварена на чисто усукване
В участък AB действа равномерно разпределен усукващ момент с интензивност . Той може да се замени с усукващ момент с големина, равна на произведението на тази интензивност и дължината на участъка, в случая .

Записва се условие за определяне на опорния усукващ момент



.

I участък:



14 kNm

12 kNm/m’


x




T1

.
I I участък:


10 kNm



T2








2-x



.
6.3. ГРЕДА С КРЪГОВО ИЛИ С ПР ЪСТЕНОВИДНО НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕ

Напрегнатото и деформираното състояние на гредите, натоварени на усукване, зависи много от вида на напречното им сечение.



6.3.1. НАПРЕЖЕНИЯ В НАПРЕЧНОТО СЕЧЕНИЕ

Извършени са експерименти с праволинейна греда, имаща кръгло напречно сечение. Върху повърхността й е нанесена мрежа от линии. Едните от тях са успоредни на оста на гредата, а другите са окръжности, лежащи в равнини, перпендикулярни на оста. Така се получават правоъгълници върху цилиндрична повърхнина. Всяко напречно сечение има характерни точки върху окръжността. През тях се построяват радиални линии.

Гредата е натоварена на чисто усукване. След деформирането й е установено, че:

- всички линии, успоредни на оста на гредата, се завъртат на един и същ ъгъл спрямо началното им положение, а правоъгълниците, нанесени върху повърхността, се превръщат в успоредници;










φ











γ

Фиг. 6.5: Деформиране на греда, натоварена на чисто усукване


- напречните сечения остават кръгли, равнинни и разстоянията между тях не се изменят;

- всяко сечение се завърта спрямо началното си положение на ъгъл φ, наречен ъгъл на завъртане, т.е. сечението се завърта спрямо оста като корав твърд диск;

- радиалните линии върху напречните сечения остават прави (не се изкривяват), а дължините на радиусите не се променят.

На основата на тези експерименти може да се направи изводът, че е в сила хипотезата на Bernoulli (хипотеза за равнинните сечения) – равнинните сечения остават такива и след деформацията. От теоремата за взаимност на тангенциалните напрежения следва, че равни на тях са напреженията в надлъжните сечения. Нормалните напрежения са равни на нула.

Естествено възниква въпросът какви напрежения се пораждат в напречните сечения на греда, натоварена на чисто усукване.

Разглежда се произволно напречно сечение на гредата, разположено на разстояние от левия й край. Показано е на Фиг. 6.6.

Усукващият мо мент в това сечение е означен с и е единственото различно от нула разрезно усилие. Той трябва да се представи като сума от моменти за центъра С на сечението на сили, лежащи в равнината му и перпендикулярни на радиусите, минаващи през приложните им точки. Такива сили са свързани с тангенциални напрежения. Може да се направи изводът, че в гредата, натоварена на чисто усукване, възникват условия на чисто срязване, а в напречните сечения действат само тангенциални напрежения.

Върху елементарната площадка от Фиг. 6.6 действа елементарна сила , чийто момент спрямо оста на гредата е равен на Усукващият момент Т в сечението сe представя във вида:



. (6.2)

За да се извърши това интегриране, трябва да се познава законът за разпределение на тангенциалните напрежения в напречното сечение.

От гредата, натоварена на усукване, с две напречни сечения се отделя част с дължина и дебелина . Лявото сечение се приема условно за неподвижно. Под въздействие на усукващите моменти дясното сечение се завъртa спрямо него на ъгъл , а всяка образуваща - на ъгъл спрямо началното си положение. Ъгълът се нарича относително усукване. На фиг. 6.7 е показано положението на диференциалния елемент, на образуващата и на радиуса преди и след деформирането.




B1


γ



D


ρ

B

C

dA



dx


Фиг. 6.7: Диференциален елемент от греда, натоварена на усукване

Дължината на дъгата може да се представи по два начина:



(6.3)

. (6.4)

След приравняване на десните части на тези два израза се определя ъгловата деформация



. (6.5) Съгласно със закона на Хук при срязване

. (6.6)

В зависимост (6.6) се замества ъгловата деформация от (6.5) и изразът за тангенциалните напрежения добива вида



. (6.7)

След заместване на в израза (6.2) се получава



. (6.8)
е полярен инерционен момент и е геометрична характеристика на напречното сечение.

Тогава от (6.8) се получава зависимостта



. (6.9)

След заместване на от (6.9) в израза (6.7) за се получава



. (6.10)

Видно е, че функцията на тангенциалните напрежения е линейна спрямо отстоянието от центъра на тежестта С до произволна точка от сечението.

Тангенциалните напрежения при чисто усукване са правопропорционални на разстоянието от центъра на тежестта С на сечението до разглежданата точка и са равни за точките, равноотдалечени от центъра на тежестта на сечението. При от (6.10) се получава . Най-големи стойности тангенциалните напрежения приемат при :

. (6.11)

На Фиг. 6.8 е показано разпределението на тангенциалните напрежения по радиус на кръгoво и на пръстеновидно напречно сечение.



Фиг. 6.8: Диаграми на тангенциалните напрежения


Съпротивителен момент на напречното сечение при усукване или полярен съпротивителен момент се дефинира като отношение на полярния инерционен момент на напречното сечение, разделена на радиуса му, т.е.

(6.12)

За разлика от осовите инерционни моменто съпротивителният момент няма адитивни свойства!

Максималните тангенциални напрежения в сечението се представят чрез съпротивителния момент по следния начин:



. (6.13)

Експериментите показват, че всички изведени формули за греда, подложена на чисто усукване, при кръгло напречно сечение, са в сила и за греда с пръстеновидно напречно сечение. Във връзка с икономия на материал и по-доброто му използване пръстеновидното напречно сечение е най-рационално за пръти, подложени на чисто усукване. Коефициентът на използване на материала там е по-висок, когато е по-малка относителната дебелина на тръбата.


6.3.2. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПОЛЯРНИЯ ИНЕРЦИОНЕН МОМЕНТ И НА ПОЛЯРНИЯ СЪПРОТИВИТЕЛЕН МОМЕНТ

Разглежда се кръгло напречно сечение с радиус . Отделя се ивица с дебелина .Показана е на Фиг. 6.6. Тя се разделя на елементарни участъци, всеки от които има площ . Всички те са на разстояние от центъра на сечението С.

Тогава за полярния инерционен момент на тази ивица се получава

(6.14)

Площта на разглежданата ивица може да се определи по формулата:



. (6.15)

След заместване на израза (6.15) в израза (6.14) се получава



. (6.16)

За определяне на полярния инерционен момент на цялото сечение се извършва интегриране, а именно:



. (6.17)

Ако с е означен диаметърът на сечението, то полярният инерционен момент, изразен чрез него, е:



. (6.18)

Съгласно с (6.12) съпротивителният момент се определя по формулата:



. (6.19)

Съгласно с формула (6.10) за греда с кръгово напречно сечение тангенциалните напрежения за точки, намиращи се близо до центъра, са много малки. Причината е тази, че за тях стойността на отстоянието е малка. Затова понякога гредите, натоварени на чисто усукване, имат пръстеновидно напречно сечение.

За пръстеновидно сечение с външен радиус и вътрешен радиус полярният инерционен момент и съпротивителният момент се определят така:

. (6.20)

След полагането се получава



; . (6.21)
6.3.3. ВИДОВЕ ЗАДАЧИ ЗА ГРЕДА, НАТОВАРЕНА НА ЧИСТО УСУКВАНЕ
При греди, натоварени на чисто усукване, в случая на неголеми деформации трябва да е изпълнено условието:

. (6.22)

е изчислителният усукващ момент. Той е равен на максималния по абсолютна стойност усукващ момент в разглеждания участък. В израза (6.22) този момент се замества по модул.

С се означава оразмерителният усукващ момент. С него се характеризира носимоспособността на усукване. Определянето му става по формулата:



. (6.23)

Тангенциалното напрежение се пресмята по формулата , като е границата на провлачане. Тя има различни стойности според вида на материалa. Например, за стомана S 275 ; за стомана S 355 ; за стомана S 420 . Тогава за тези стомани стойността на границите на провлачане са: за стомана S 275 ; за стомана S 355 ; за стомана S 420 .

С се означава частен коефициент на сигурност. Неговата стойност е 1,05.

Коефициентът пред съпротивителния момент е за стомана S 275; за стомана S 355; за стомана S 420.

След заместването на орамерителния момент от израза (6.23) в условието (6.22) се получава следното неравенство:

. (6.24)

Този израз се използва при следните задачи за натоварени на чисто усукване греди с известни граница на провлачане на материала и частен коефициент на сигурност:

-Задача 1 - проверка дали гредата може да издържи натоварването. дадени натоварването и геометричните размери. Изчислява се изразът от лявата страна на (6.24) и ако неравенството е изпълнено, то проверката излиза.

-Задача 2 – оразмеряване. Дадено е натоварването и изразът (6.24) се преобразува във вида;



. (6.25)

След това се изчислява съответният радиус на кръглото или на пръстеновидното напречно сечение.

-Задача 3 – определяне на максимално допустимото натоварване. Външното натоварване е функция на неизвестен параметър. От него зависи и изчислителният усукващ момент. Неравенството (6.24) се привежда във вида:

(6.26)

и от него се определя неизвестният параметър.


Задача 6.3. Гредата от задача 6.1 е изготвена от стомана S 275 и има кръгло напречно сечение. Да се определи радиусът на това сечение така, че да е изпълнено условие (6.16). Закръглението да се извърши до . Да се построи диаграмата на тангенциалните напрежения в застрашеното сечение.

От диаграмата на усукващите моменти се определя сечението с максимален по абсолютна стъойност усукващ момент. Еднакво застрашени са всички сечения в участък , понеже диаграмата на усукващия момент, показана на фигура 6.3., е константа. Видно е, че . За този вид стомана . Тогава съгласно с (6.19)



.

Съпротивителният момент се замества с израза (6.19) и се получава неравенството . От него се получава . Приема се . Тогава . От (6.23) . Проверява се условието (6.22), т.е. . Така оразмеряването е извършено.

За построяване на диаграмата на тангенциалните напрежения в застрашеното сечение според (6.13) се изчислява . Тогава диаграмата на тангенциалните напрежения за произволно сечение от участъка има вида:

Задача 6.4. Гредата от задача 6.2 е с пръстеновидно напречно сечение и отношение между вътрешния и външния му радиус . Да се извърши оразмеряване на гредата, ако е изработена от стомана . Закръглението да се извърши до . Да се построи диаграмата на тангенциалните напрежения в застрашеното сечение.

Застрашено сечение в тази греда е с , т.е. .

За стомана . Съпротивителният момент от формула (6.21) се замества в (6.25) и се получава неравенство за определяне на : и . Приема се . За вътрешния радиус на сечението се получава . Тогава съпротивителният момент . Оразмерителният усукващ момент съгласно с (6.23) е . Неравенство (6.23) приема вида: . Така оразмеряването е извършено. Максималната стойност на тангенциалното напрежение в застрашеното сечение се определя съгласно с формула (6.13): To е по-малко от . Полярният инерционен момент на сечението се определя според (6.21): . Тогава стойността на тангенциалното напрежение на разстояние от центъра на сечението съгласно с (6.10) е .



6.4. ЧИСТО УСУКВАНЕ НА ГРЕДИ С НЕКРЪГОВО НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕ

Определянето на напреженията при тези греди е сложна задача, която не може да се реши с методите на Съпротивление на материалите. Причината за това е, че при греди с некръгли напречни сечения механизмът на деформирането е друг и не е в сила хипотезата за неизменност на равнинните сечения. Напречните сечения се изкривяват, вследствие на което съществено се променя картината на разпределение на напреженията. Тогава за определяне на ъгловите деформации трябва да се отчита не само взаимното завъртане на сеченията в равнините им, а също и деформациите, свързани с изкорубването. Решението се извършва с методите на Теория на еластичността. За практически цели в машиностроенето, авиостроенето и други области на техниката са изследвани греди с различни форми на напречното сечение.

Могат да се отбележат някои особености на законите за разпределение на напреженията при напречни сечения с некръгова форма. Ако напречното сечение има външни ъгли, то в тях тангенциалните напрежения трябва да са равни на нула. Ако външната повърхност при усукване е свободна, то тангенциалните напрежения в напречни сечения, насочени по нормалата към контура, също ще бъдат равни на нула.

С методите на Теория на еластичността са получени формули за някои най-често срещани сечения. За много типове сечения, прилагани на практика, точното теоретично решение е доста сложно. В такива случаи може да се прилага анлагоята, установена от Prandtl, между повърхнината на функцията на напреженията при гредата и повърхнината на мембрана, натоварена на опън с равномерно разпределен товар. Тази аналогия позволява да се получат достатъчно точни резултати на базата на експерименти.



Ludwig Prandtl (1875-1953) е немски физик, професор в Полтехниката в Hannover и Goettingen.

В практически задачи често срещана е натоварена на чисто усукване греда с правогълно напречно сечение. Теорията на еластичността потвърждава проведените експеримент и показва, че тангенциалните напрежения са най-големи в средата на по-дългата страна. Ако между неговата ширина е по-малка или равна на височината му , разпределението на тангенциалните напрежения е показано на Фиг.6.9.



Фиг. 6.9: Диаграма на тангенциалните напрежения


При това напречно сечение най-напред се пресмята коефициент . След това според него от таблица 6.1. се отчитат коефициентите . Ако стойността на коефициента не фигурира в таблицата, то се извършва линейна интерполация между най-близките по-малка и по-голяма стойности на в таблицата.



1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,25

2,5

3




0,208

0,263

0,316

0,374

0,432

0,492

0,567

0,645

0,801



0,140

0,191

0,255

0,331

0,396

0,458

0,531

0,612

0,780



1,000

0,944

0,887

0,843

0,811

0,795

0,785

0,775

0,753

Табл. 6.1: Коефициенти


Установено е, че при правогълни сечния с много малко отношение стойностите на коефициентите и клонят към .

Полярният инерционен и съпротивителният момент се определят съгласно с формулите:



. (6.27)

Стойностите на тангенциалните напрежения в характерните точки и се изчисляват така:



. (6.28)
6.5. ДЕФОРМИРАНО СЪСТОЯНИЕ
Изразът (6.9) се записва във вида:

. (6.29)

След това се интегрира и се получава



. (6.30)

За определяне на интеграционната константа се използва гранично условие. Ако гредата има само един участък, то в мястото на запъването завърането е равно на нула.

Ако гредата, натоварена на чисто усукване, има повече участъци, то за всеки от тях изразът за усукващия момент ще е различен. Следователно, съгласно (6.30), различни ще са изразите за функциите на завъртанията . Например, в случая на два участъка условие (6.30) ще бъде записано във вида:

; (6.31)

. (6.32)

Двете интеграционни константи и се определят от следните гранични условия:



  • в мястото на запъването завъртането е равно на нула;

  • завъртанията в сечения, намиращи се безкрайно близо отляво и отдясно на границата между двата участтъка, са равни.


Задача 6.5. За гредата от задача 6.2 в двата участъка инерционните моменти са различни, като отношението между тях е дадено . Да се построи диаграмата на - кратната стойност на функцията на завъртанията .
Изразите и за функциите на усукващите моменти в двата участъка се заместват в (6.31) и (6.32) съответно. Получава се

;

.

В мястото на запъването стойността на функцията на завъртанията е равна на нула. Това е сечение от първи участък, т.е. в сила е . От това условие следва: , . На границата на двата участъка функциите на завъртанията имат равни стойности, т.е. . Това условие има вида . Оттук се получава .

Тогава изразите за - кратната стойност на функциите на завъртанията в двата участъка са:

; .

Графиките на тези функции са начертани на Фиг. 6.4. От зависимост (6.9) е видно, че функцията на завъртанията има екстремум в сечението, за което функцията на усукващия момент е равна на нула. Затова при начертаване на кривата на функцията характерни стойности на са ; , а също и .

Дефинира се - коефициент на усукване в дадено сечение (относително усукване). Дименсията му е . е мярка за деформацията при усукване. е коравина при усукване. Видно е, че когато тя има големи стойности, деформацията при усукване е малка.

При проектиране на валове, натоварени на чисто усукване, е необходимо те не само да удовлетворяват условието за якост, а и да имат достаъчна коравина. Големият ъгъл на относително усукване при валове вреди на работата им, особено при голяма дължина и при изменение на усукващия момент Т. Затова на практика за тях се задава гранична стойност на относителното усукване и се проверява дали относителното усукване на оразмерената якостно греда не надвишава тази стойност. Ако тази проверка не излиза, е необходимо да се увеличат размерите на напречното сечение. Допустимият ъгъл на относително усукване е от порядъка на (при трансмисионни валове) до (при карданните валове на автомобилите).


6.6. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМИ ГРЕДИ, НАТОВАРЕНИ НА ЧИСТО УСУКВАНЕ

Всички разгледани по-горе греди са статически определими. Те са запънати само в единия край и имат само един неизвестен опорен усукващ момент. Той се определя от следното равновесно условие – сумата от моментите за оста на гредата да е равна на нула. След това се прилага методът на сечението, записват се изразите за функциите на усукващите моменти за всеки участък и се начертават диаграмите им.

По друг начин се решава задачата, ако натоварената на чисто усукване греда е запъната в двата си края. Такава греда е показана на Фиг.6.10.

t


TA


TC




C

A


B

x

a


b




Фиг. 6.10: Статически неопределима греда, натоварена на чисто усукване

Тя има два неизвестни усукващи момента, а равновесното условие е едно – равенство на нула на сумата от моментите за оста на гредата. Ако от броя на неизвестните опорни моменти се извади броя на равновесните условия, се получава степента на статическа неопределимост. В случая два неизвестни опорни момента едно равновесно условие = един път статически неопределима задача. Задачата е външно статически неопределима.

За решаването на този вид задачи трябва да се добави допълнително условие, основано на характера на деформиране на гредата. Взаимното завъртане на сечения А и С трябва да е равно на нула. Това може да се запише по следния начин:



  • Ако двата участъка на гредата са с еднакъв полярен инерционен момент :

. (6.33)

  • Ако участъкът има полярен инерционен момент , а участъкът - :

. (6.34)

Задача 6.6. За показаната греда да се построи диаграмата на усукващите моменти, ако напречното сечение в левия участък е кръгло с диаметър , а в десния участък - пръстеновидно – с външен радиус и отношение на вътрешния към вътрешния радиус .

TA

A

TC

20 kNm/ m


B

C

x


x


3 m

2







11,43

11,43

28,57

Т

+


-

Фиг. 6.10: Статически неопределима греда


Най-напред се записва равновесното условие за гредата:

.

Съгласно с (6.17) се изчислява полярният инерционен момент , а според (6.21) - .

За произволно сечение (на разстояние от левия край) за всеки от двата участъка се записват изразите за усукващите моменти:

; .

След това се записва условие (6.34) . То има вида . Интегрира се и се получава стойността на опорния усукващ момент .

Тогава изразите за функциите на усукващите моменти в двата участъка са:

; .

Начертават и диаграмата на усукващите моменти.









База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница