Основна концепция на ELECTRE. Разновидности на метода

2.2.1 Основна концепция на ELECTRE. Разновидности на метода

В задачата за многокритериален анализ се определя, че алтернатива a превъзхожда алтернатива b, когато съществуват достатъчно аргументи в подкрепа на твърдението, че алтернатива a е поне толкова добра, колкото алтернатива b и няма достатъчно силни аргументи за противното. При това са дадени и нивото на познание относно предпочитанията на ЛВР, и качеството на информацията за всички съответни критерии за всяка алтернатива.

1. 
   Построяване на аутранкиращата релация.
   
2. 
   Използване на данните от тази релация.
   

Последната група методи включват класифицираща процедура, чийто резултат е ранкирането на всички алтернативи, разглеждани в релация една с друга. Ранкирането на алтернативите предлага най-задоволителното цялостно разрешение на конфликти между алтернативите, които съществуват на нивото на индивидуалните критерии. Това позволява някои алтернативи да останат несравними в крайния резултат от ранкирането (частична наредба), а също така прави процедурата чувствителна към съществуването на “клонинги”, т.е. множество от алтернативи много близки една до друга и представящи се по почти идентичен начин по отношение на всички останали алтернативи. В рамките на тази група методи ELECTRE ІІ е стара версия, използваща истински критерии, ELECTRE ІІІ и ІV работят с псевдо-критерии, като ELECTRE ІІІ се употребява, когато е възможно и желателно да се определи количествено относителната важност на критериите, а ELECTRE ІV – когато това не може да бъде направено.

ELECTRE І е първият представител на модела. Той е създаден от Roy през 1968г. за решаването на многокритериални задачи за избор. Целта на метода е да бъде получено подмножество или ядро от алтернативи N, такова че всяка алтернатива, която не е в N е аутранкирана от поне една алтернатива в N. Това не е задължително множеството на най-предпочитаните алтернативи, но е множеството, в което със сигурност може да бъде постигнат най-добрият компромис.

Целта в ELECTRE І е множеството от всички алтернативи да бъде разделено на две подмножества N и A \ N, такива че:

1. 
   Всяка алтернатива от A \ N е аутранкирана от поне една алтернатива в N, т.е.
   
2. 
   Алтернативите в N са несравними в рамките на дефинираната релация.
   

Методът ELECTRE ІІ (Roy и Bertier, 1971г., 1973г.)се отличава от ELECTRE І по това, че не просто установява ядро, съдържащо най-предпочитаните алтернативи, а подрежда всички алтернативи от най-добрата към най-лошата. Това дава пълна наредба на недоминираните алтернативи, докато ELECTRE І предлага само непълна наредба в множеството на недоминираните алтернативи. Тук, както и при ELECTRE І алтернатива a е предпочетена пред алтернатива b само ако са удовлетворени и двете условия – на съгласие и на несъгласие. Но в ELECTRE ІІ се използват две различни аутранкиращи релации – на силно предпочитание S^F и на слабо предпочитание S^f, всяка определена с различни прагове, като за релацията S^F е изпълнено, че има по-голям праг на съгласие и по-малък праг на несъгласие от тези на релацията S^f.

ELECTRE ІІІ (Roy, 1978г.) използва псевдо-критерии със съответстващите им прагове на предпочитание и неразличимост, за да се намалят последствията от възможни неточности или неопределеност на данните. Този метод ще бъде разгледан по-подробно.

Методът ELECTRE ІV (Roy и Hugonnard, 1982г.) също е базиран на псевдо-критерии. Неговата цел е да ранкира алтернативите, но без да използва тегла на критериите. Моделът отхвърля теглата, като приема, че не трябва да има структура на предпочитание, базирана на по-голяма или по-малка важност на критериите. По този начин нито един критерий не може да доминира в процеса на вземане на решение.

Методът ELECTRE ІS (Roy и Shalka, 1985 г.) е адаптация на ELECTRE І към логиката на условията на неопределеност, позволяващ използването на псевдо-критерии. Както и при ELECTRE І изборът на най-добра алтернатива изисква разделянето на множеството на алтернативите на две подмножества – първото – ядрото N, състоящо се от всички алтернативи, които не са аутранкирани от нито една от другите алтернативи и A/N – съставено от алтернативите, аутранкирани поне от една от другите алтернативи. Най-добрата алтернатива се избира измежду тези, съдържащи се в ядрото.

Това е метод, който свързва алтернативите с предефинирани категории. При това сравнението се извършва не по двойки между алтернативите, както при другите методи ELECTRE, а между алтернативите и дефинираните граници на категориите. Приема се, че критериите са монотонно растящи, като с увеличаване на стойността на критерия се увеличава и предпочетанието. ELECTRE – Tri е единственият метод от групата, в който не се извършва директно сравнение по двойки. За всяка алтернатива получената аутранкиращи отношения са свързани с категориите, а не с останалите алтернативи. Поради това ELECTRE – Tri е по-малко чувствителна към съществуването на т.нар. “клонинги”, т.е. алтернативи, намиращи се много близо една до друга по отношение на стойностите на критериите си.

Основните характеристики на метода ELECTRE ІІІ са следните:

• 
  задачата за вземане на решение изисква да се ранкират всички алтернативи
  
• 
  използват се псевдо-критерии
  
• 
  възможно и желателно е да се определи количествено относителната важност на критериите.
  

1. 
   Конструиране на аутранкиращата релация.
   

Основна характеристика на анализа на съгласието, който се прилага в метода ELECTRE ІІІ, е възможността за избор на най-добра алтернатива от групи от конкурентни алтернативи, на базата на множество критерии. Всички алтернативи имат конкретна стойност за всеки от зададените критерии. Резултатите за всички алтернативи по отношение на критериите могат да бъдат представени чрез матрица на алтернативите А:

а₁₁ ………………….а_1l

а_k1………………….а_kl

Процесът на избор изисква всеки критерий да получи някаква стойност от множеството на предпочитанията. В допълнение множество от тегла W трябва да представя тежестта на относителните предпочитания, които ЛВР указва за всеки от критериите. Така всеки критерий се свързва с тегло w_j (j = 1, 2, …, n, n – бр. критерии). Определянето на теглата е от изключително значение за правилната употреба на метода. Обикновено за целта от ЛВР се изисква да определи точно върху подходяща скала относителните си приоритети за множество от критерии. На базата на тази информация се извлича множество от тегловни коефициенти, отразяващи разбиранията на ЛВР за относителната важност на отделните критерии. С методите ELECTRE могат да се използват различни методи за определяне на теглата на критериите.

След попълването на матрицата А и вектора W се продължава с избирането на най-добра алтернатива чрез директно сравняване на алтернативите по двойки.

Нека са дефинирани критериите g_j, j = 1, 2 ,…, n и множество от алтернативи A. Традиционният модел на предпочитанията допуска следните две възможности за релации между две алтернативи (a, b)A:

Чрез използване на праговете ELECTRE ІІІ методът се стреми да построи аутранкираща релация S, като aSb означава, че “a е поне толкова добра, колкото b” или “a не е по-лоша от b”. Трябва да се тества всяка двойка алтернативи, за да се провери дали твърдението aSb е валидно или не. Получават се следните възможности:

not (aSb) and bSa

not (aSb) and not (bSa) – съответства на несравнимост

• 
  Принцип на съгласието – изисква повечето от критериите, след определяне на относителната им важност, да са в подкрепа на твърдението.
  
• 
  Принцип на несъгласието – изисква нито един от критериите, които не поддържат твърдението да не е силно против него.
  

• 
  j –тия критерий е в съгласие с твърдението aSb тогава и само тогава, когато aS_jb, т.е. ако g_j(a)  g_j(b) + q_j. Така дори ако стойността на алтернатива a по отношение на j –тия критерий е по-малка от тази на алтернатива b с разлика до прага на безразличие за същия критерий q_j, това не противоречи на твърдението aS_jb и то е в съгласие.
  
• 
  j –тия критерий е в несъгласие с твърдението aSb тогава и само тогава, когато bP_ja, т.е. ако g_j(b)  g_j(a) + p_j. Така ако b e силно предпочетена пред a по отношение на j –тия критерий е явно, че не е в съгласие с твърдението aSb.
  

Елементите C(a,b) на матрицата на съгласие C се изчисляват за всяка двойка алтернативи (a, b)A. Нека w_j е теглото за критерий j. Тогава:

Относителната стойност на множеството на съгласие се оценява чрез индекса на съгласие c. Той е равен на сумата от произведенията на теглата на критериите и индексите на съгласие, съдържащи се в матрицата на съгласие C. За алтернативите a и b индексът на съгласие c_ab може да бъде:

Матрицата на съгласие е матрица на алтернативите. Тя има следния вид:

За изчисляване на елементите на матрицата на несъгласие D също се въвежда индекс на несъгласие d_j(a,b), но индексът на несъгласие се определя за всеки критерий j. Това означава, че за всеки критерий се получава матрица на несъгласие. Тъй като индексите на несъгласие определят матрицата D оттук следва, че D е тримерна.

За дадени алтернативи a и b индексът на несъгласие показва степента, в която алтернатива a е по-лоша от алтернатива b. Той указва максималната разлика между стойностите (по двойки) на всички критерии, принадлежащи на множеството на несъгласие. Индексът може да бъде:

Матрицата на несъгласие има вида:

Информацията, съдържаща се в матрицата на съгласие C се различава фундаментално от тази в матрицата на несъгласие D. Различията между важността на критериите, определяна чрез техните тегла се представя в C. Матрицата D съдържа различията между стойностите на критериите.

Най-добрата алтернатива се избира чрез разглеждане на комбинацията от стойностите на съгласие и несъгласие за всяка двойка алтернативи. Това е и последната фаза от етапа “Конструиране на аутранкиращата релация”. За всяка двойка алтернативи (a,b)A съществуват мярка на съгласие и мярка на несъгласие. От тяхната комбинация трябва да се получи мярка за степента на аутранкиране. Това е т.нар. “матрица на достоверност” или “матрица на вероятностите”, оценяваща твърдението “a е поне толкова добра, колкото b”. Достоверността за всяка двойка (a,b)A се дефинира по следния начин:

, където

J(a,b) е множеството от критерии, такива, че: d_j (a,b) > C(a,b).

Тази формула показва, че ако силата на съгласието е по-гояма от тази на несъгласието, тогава стойността на съгласие не трябва да се променя. В противен случай не можем да бъдем сигурни в твърдението aSb и стойността на C(a,b) трябва да се модифицира по съответния начин. С това завършва и първият етап на метода ELECTRE ІІІ.

Първо, нека ₀ е максималната стойност в S(a,b) за всяка двойка алтернативи, т.е.:

₀ = max_a,bA {S(a,b)}
Нивото на прекъсване за първо ранкиране ₁ се избира като стойност близка до ₀ и такава, че:
₁ = ₀ – s(₀), където s(₀) се нарича дискриминационен праг и

s(₀) = *₀ + , където  = -0.15,  = 0.3.
За дадена двойка алтернативи (a,b) a превъзхожда b на ниво на прекъсване ₁ ако са изпълнени следните условия:
aS^1b ако S(a,b) >₁ и S(a,b) – S(b,d) > s( S(a,b))
С други думи, a превъзхожда b ако:

1. 
   Вероятността за аутранкиране на a над b е по-голяма от нивото на прекъсване и
   
2. 
   Вероятността, че a превъзхожда b е по-голяма от тази, че b превъзхожда a и разликата между тези вероятности е по-голяма от дискриминационния праг.
   

1. 
   Оценяване
   

От aS^1b ако S(a,b) >₁ и S(a,b) – S(b,d) > s( S(a,b)) следва, че силата или слабостта на всяка алтернатива a на ниво на прекъсване ₁ се определя по следния начин:

• 
  Силата p на алтернативата a от множеството на алтернативите A на ниво на прекъсване ₁ се дефинира така:
  

• 
  Слабостта f на алтернативата a от множеството на алтернативите A на ниво на прекъсване ₁ се дефинира така:
  

• 
  Оценката q за алтернативата a в релация с множеството от алтернативи A на ниво на прекъсване ₁ се дефинира:
  

За първото избрано ниво на прекъсване ₁ подмножеството D₁ от най-добрите алтернативи в A се получава по следния начин:

Ако |D_k| > 1 и _k = 0, то на основата на наличната информация не е възможно да се вземе решение между алтернативите, останали в D_k и всички те имат еднакъв ранг.

При преминаване от k- та в (k+1)- та стъпка нивото на прекъсване _k се заменя с _k+1 чрез използването на следната трансформация:

_k+1 = Max_{{S(a,b)< k – s(k)}}S(a,b) , където

Целият този процес се нарича “низходяща дестилационна верига” и постига първата непълна наредба на алтернативите.

Тази процедура е обратна на предходната, т.е. алтернативите се ранкират от най-лошите към най-добрите.

За първото избрано ниво на прекъсване ₁ подмножеството U₁ от най-лошите алтернативи в A се получава по следния начин:
U₁ = {aA / q ^1_A(a) = q_1A = Min q ^1_A(x) }
Това е множеството от алтернативи в A, които имат най-малка оценка q. Процедурата продължава с тези алтернативи от U₁, като стремежът е да се различат те помежду си на базата на нова аутранкираща релация, дефинирана на следващо ниво на прекъсване ₂, такова че:
₂= ₁ – s(₁)
Този процес се повтаря, докато се достигне k- та стъпка. На нея първата дестилация се състои от една алтернатива, т.е. |U₁| = 1 или има повече от една алтернативи. Ако |U₁| > 1 , процедурата продължава за алтернативите в U₁, като  се намалява прогресивно. На всяка стъпка тези алтернативи, които нямат минимална оценка q, се елиминират до достигане на k- та стъпка, в която дестилацията се състои от единствена алтернатива или ако има повече от една алтернативи, то те са неразличими. Това множество, наречено първа дестилация P₁ съдържа най-лошата алтернатива или групата от най-лоши неразличими помежду си алтернативи на базата на първа дестилационна процедура.

Ако |U_k| > 1 и _k = 0, то на основата на наличната информация не е възможно да се вземе решение между алтернативите, останали в U_k и всички те имат еднакъв ранг.

При преминаване от k- та в (k+1)- та стъпка нивото на прекъсване _k се заменя с _k+1 чрез използването на трансформацията:
_k+1 = Max_{{S(a,b)< k – s(k)}}S(a,b) , където

s() = * + , където  = -0.15,  = 0.3.
При втората дестилация U₂ се изпълнява същата процедура, но U₂ съдържа всички алтернативи от множеството A₁, които са от A , но не са в дестилация P₁, т.е.:
A₁ = A / P₁
Този път ₀ се избира да е равно на максималната стойност S(a,b) от останалите алтернативи, т.е. от тези в A₁. След прилагането на дестилационната процедура се получава втора дестилация P₂, съдържаща най-лошата алтернатива или групата от най-лоши неразличими помежду си алтернативи от множеството A₁. Същата дестилационна процедура се прилага за множеството от алтернативи A₂= A₁ / P₂, за да се достигне до дестилация P₃. Алгоритъмът продължава до изчерпване на всички алтернативи за ранкиране.

Този процес се нарича “възходяща дестилационна верига” и постига втората непълна наредба на алтернативите.

Тя се попълва по следния начин:

Алтернативите отново се сравняват по двойки, но с оглед на позициите им една спрямо друга в двете дестилационни вериги.

• 
  Ако при двете дестилации двете алтернативи са подредени заедно, т.е. и в двата случая имат един и същи ранг една спрямо друга, то те са идентични.
  
• 
  Ако при едната дестилация алтернатива a е преди алтернатива b в дестилационната верига, а при другата дестилация местата на същите алтернативи във веригата са разменени, то те са несравними.
  
• 
  Ако в едната дестилационната верига алтернатива a е преди алтернатива b, а в другата е преди b или имат еднакви позиции, то алтернатива a превъзхожда алтернатива b.
  
• 
  Ако в едната дестилационната верига алтернатива a е след алтернатива b, а в другата е след b или имат еднакви позиции, то алтернатива b превъзхожда алтернатива a.
  

• 
  праговете на безразличие за всеки критерий (q_j)
  
• 
  праговете на предпочитание за всеки критерий (p_j)
  
• 
  вето праговете за всеки критерий (v_j)
  
• 
  теглата на критериите (w_j)
  
• 
  дискриминационните прагове (s()).
  

Всякя от шестте версии на ELECTRE реализира една от трите основни процедури:

• 
  селекция;
  
• 
  ранкиране;
  
• 
  разпределяне.
  

1. 
   Методите ELECTRE І и ELECTRE ІS включват процедура за селекция, чийто резултат е изборът на една алтернатива или група от алтернативи, които принадлежат на т.нар. “ядро” от предпочитани алтернативи. Също така се идентифицират тези алтернативи, които са несравними с останалите. Въпреки това при прилагането на този подход може да бъде изключена от ядрото идеалната втора алтернатива, защото е аутранкирана от най-предпочитаната алтернатива, която е в ядрото. Въпреки, че тази алтернатива може силно да превъзхожда всички останали алтернативи, намиращи се извън ядрото, процедурата неотклонно ще я изключва от него. Такава ситуация може да бъде открита чрез използването на тест за чувствителност. Друга особеност е, че ако в процеса на решаване на задачата ЛВР оттегли от разглеждането една алтернатива от ядрото, ще бъде необходимо цялата процедура за селекция да бъде повторена, защото такова изключване на алтернатива може да наруши изцяло баланса на ядрото. И накрая процедурата дефинира по-неясно в сравнение с останалите границата между добрите и лошите алтернативи. Roy и Bouyssou (1993г.) наричат процедурата, използвана в ELECTRE І и ELECTRE ІS задача от тип .
   
2. 
   ELECTRE – Tri свързва всички алтернативи с предефинирани категории. Това позволява всяка алтернатива да бъде оценена абсолютно, а не относително, спрямо останалите алтернативи включени при решаването на задачата. Отсъствието на сравневие по двойки позволява разглеждането на голям брой алтернативи без това да води до голямо нарастване в обема на необходимите изчисления. Използването на предварително ниво, предшестващо ранкиращата процедура, би могло да послужи за отсяване на алтернативите, които след това да бъдат ранкирани. Изборът на указаните в процедурата алтернативи е много важна стъпка при прилагането на метода. Тъй като те се включват от ЛВР, съществува възможност от отхвърляне на алтернативи поради субективизъм. Roy и Bouyssou (1993г.) наричат процедурата, използвана в ELECTRE – Tri задача от тип .
   
3. 
   ELECTRE ІІ, ELECTRE ІІІ и ELECTRE ІV включват класифицираща процедура, в резултат на която всички алтернативи са подредени и разгледани с техните взаимовръзки. Тази процедура предлага най-удовлетворителното цялостно разрешаване на конфликти между алтернативите, които съществуват на нивото на индивидуалните критерии. Това е случаят, при който се допуска алтернативите да останат несравними една с друга при крайното ранкиране (непълна наредба). Същата характеристика прави процедурата чувствителна към съществуването на “клонинги” – множество от алтернативи много близки една до друга и представящи се по почти идентичен начин спрямо всички останали алтернативи. Roy и Bouyssou (1993г.) наричат процедурата, използвана в ELECTRE ІІ, ELECTRE ІІІ и ELECTRE ІV задача от тип .