Лекция 3 Примери за разпределение на хидростатично налягане



Дата02.09.2017
Размер77.34 Kb.
Лекция 3

Примери за разпределение на хидростатично налягане
1. Равновесие на тежък несвиваем флуид (течности).

Тежък несвиваем флуид означава, че основната масова сила, действаща върху флуидните частици е теглото, a свиваемостта на флуида може да бъде пренебрегната. За несвиваеми флуиди плътността е постоянна величина: ρ = const. Такива флуиди са течностите.

Пример за равновесие на такъв флуид е съд с течност (фиг.5), в който се изследва изменение на налягането в различните точки от флуидното пространство.

Избира се координатна система съгласно чертежа. В нея координатната равнина xOy е в хоризонталното сечение на повърхността, а оста z е ориентирана по височина в съда.




Масовите сили, действащи на флуида са: X = 0; Y = 0 ; Z = g (специфичната масова сила - теглото е ориентирана по оста z ).

От основното уравнение на хидростатиката за оста x се получава:



Аналогично за оста y:



Тези две равенства показват че в направленията на осите x и y налягането остава постоянно. Това означава, че в хоризонтална равнина (равнина xOy) налягането е постоянно. На фигурата схематично е обозначено сечение 1-1, което е хоризонтално сечение в съда и налягането в цялото сечение е постоянно.

За оста z решението на уравнението на хидростатиката дава следните изрази:

и след преобразуване

След еднократно интегриране на това диференциално уравнение се получава: (9)

където С е интеграционна константа, която трябва да се определи от граничните условия.

Граничното условие за определяне на константата С се задава от условията на повърхността на съда (z = 0). Когато съдът е отворен върху повърхността на течността действа атмосферното налягане po т.е:

за z = 0 р = ро(барометрично налягане).

Като се заместят тези стойности в уравнение (9) се получава:



po = ρ g 0 + C и следователно C = po.

Тогава уравнението за разпределение на налягането по височина в съда се задава от израза:

p = po + ρgz (10)

Ако се вземе пред вид, че специфичното тегло на веществата се задава чрез γ = , то уравнение (10) може да се запише във вида:



p = po + γz

Приложение на хидростатиката. На основата на законите на хидростатиката са построени различни хидравлични уреди и машини, течностни манометри, хидравлични преси, хидравлични акумулатори, различни системи на хидро-пневмозадвижване и управление и др. В повечето случаи тези устройства представляват скачени съдове, в които се намира течност – вода, спирт, масло, живак и др.

Скачени съдове. Скачени съдове са такива, между които налятата течност може да преминава свободно. Нека течността в двата скачени съда се намира в равновесие, като по свободната й повърхнина в двата съда действа атмосферното налягане (отворени повърхнини). Тогава двете повърхности се намират в едно и също хоризонтално сечение (сечение 1-1).


Когато в двата съда има различни течности (различна плътност) нивото на течността на свободната повърхнина е различно (фиг.7). Това се определя от различните масови сили на двата вида течност (плътността). Сечение 1-1 е хоризонтално и е в среда с еднакви параметри (еднаква плътност). За него налягането може да се представи с нивата в двата съда (израз 10):

p1 = p0 + z1.ρ1.g = p0 + z22.g

От това равенство може да се определие съотношението на стълбовете течност от двата типа:



Когато единият съд е затворен и в него действа налягане p1, а другия е отворен с налягане po o2) то нивата в двата съда е различно (фиг.8). Ако течността се намира в равновесие под действието само на силите на земното привличане, изобарните повърхнини са хоризонтални равнини. Тогава налягането, което действа например по хоризонталната равнина 1-1, може да се пресметне по уравнение (10) записано за отворения съд:

p1 = p0 + ρhg

По този начин може да се измери налягането в затворения съд (по височината на стълба течност в съда със свободна повърхност.



Течностни манометри. Очевидно е, че разликата във височините на свободните повърхнини на течностите в два скачени съда определя разликата между наляганията, които действат по повърхнините в двата съда. На този принцип се строят и използват тъй наречените течностни манометри.

Най-простият течностен манометър се състои от вертикална U-образна прозрачна тръба, която е частично напълнена с течност – живак, вода, алкохол и др (фиг. 9). Ако върху свободната повърхнина в затворен съд действа налягане р1, то може да се измери с U-образен манометър, при което са възможни различни схеми на свързване. Приема се, че по свободната дясна страна на манометъра действа познато налягане р0, което в повечето случаи е атмосферното р0.



Течностните манометри са известни още като диференциални манометри, защото измерват разлики в налягания, от които обаче лесно може да се определи абсолютната стойност на едното налягане, ако другото е познато. Разбира се, от значение е и плътността на течността в манометъра. При малки разлики в наляганията за получаване на подходящи височини h е необходимо да се използват течности с по-малка плътност (вода, спирт и др.), а при по-големи разлики в налягането течности с по-голяма плътност (живак).

Налягането в сечение 1-1 се определя от познатия израз (10):



p1= p0 + ρhg

p1-p0 = ρgh = γh ;

Това налягане е известно още като манометрично налягане:

pм = p1p0 = γh
2. Равновесие на тежък свиваем флуид ( равновесие на газове )

Тежък свиваем флуид има когато основната масова сила е теглото на флуида и когато не може да се пренебрегне свиваемостта му. Такива флуиди са газовете. Типичен тежък свиваем флуид е въздуха. Въпросът, който трябва да се реши е разпределение на налягането в атмосферата на земята. Задачата се решава в координатна система показана на фиг.10.




Масови сили за разглежданата задача са: X = 0; Y = 0; Z = -g

Уравнение (5) за различните оси от координатната система приема вида:



Решението за оси x и y се тълкува по аналогичен начин, както за равновесието на тежък несвиваем флуид. Налягането в хоризонтални сечения (xOy) е постоянна величина p = const. Третото уравнение (за ос z) е същото както при случая на тежък несвиваем флуид, но то не може да се реши по същия начин, защото плътността не е постоянна величина.



и трябва да се зададе зависимостта на плътността от налягането : ρ=f(p). Тази зависимост не е предмет на механиката на флуидите. Тя се определя от термодинамичното състояние на атмосферата. Ако се разглежда изотермично състояние на атмосферата (постоянна температура) то зависимостта на плътността и налягането се дава с уравнението на изотермата:

(11)

където p и ρ са текущите стойности на налягането и плътността, а p0 и ρ0 – стойностите им за някакво известно състояние.

От това уравнение се получава:

и за уравнението на хидростатиката се получава:

След преобразуване се получава:



, където е положено:

Интегрирането се извършва в границите от z0 до z или от p0 до p:




при z0 = 0 (на морското равнище) се получава:

Това е известната формула за определяне на атмосферното налягане при зададена надморска височина, ако се приеме, че е известно атмосферното налягане на морското равнище. Когато това уравнение се реши спрямо височината z може приблизително да се определя надморската височина при измерено налягане на атмосферата за определеното място.


Равновесие на флуиди при наличие на негравитационни сили (течности)

Освен теглото на флуида, като масова сила може да се разглежда и друг тип натоварване върху флуидните частици. Най-често като такива сили се разглеждат инерционните сили при движение на флуидите (в случаите, когато не се извършва деформация на флуида). Типичен пример за равновесие с наличие на негравитационни сили е ускорителното движение на флуид в затворен съд (цистерна) – фиг. 11.




Масовите сили действащи на флуида са: X= - a – инерционната сила, която е с обратен знак на движението; Y = 0; Z = g – земното ускорение (определя теглото).

Общото уравнение на хидростатиката записано в диференциален вид е:



или:

ρ.(-a.dx + g.dz) = dp

След интегрираме на това диференциално уравнение се получава:



p = ρ (-ax + gz) + C (12)

Интеграционната константа С се определя от граничните условия. Те могат да се зададат за свободната повърхнина на течността в съда: за x = x0 и z = z0 налягането е p=p0 (атмосферното налягане). След заместване на тези стойности в общото решение (12) се получава:



p0 = ρ (-ax0 + gz) + C или C = p0 + gax0ρgz0 - на свободната повърхнина. Тогава решението се получава:

p = p0 – ga (x-x0) + ρg(z-z0)

Уравнениеto на свободната повърхност се получава като в общото решение се замени налягането с налягането на свободната повърхнина p0:



p0 = p0 – ga (x-x0) + ρg (z-z0)

или -ρa (x-x0) + ρg (z-z0)

Това е уравнение на равнина успоредна на оста y. Наклонът на повърхнината спрямо осите x и z се определя от израза:

Линията, която представя свободната повърхнина е перпендикулярна на равнодействащата на масовите сили.




Закон на Архимед. Плаване на телата

Всяко тяло, потопено в течност (флуид), губи част от своето тегло. От съществено значение за положението на тялото, намиращо се във флуидно пространство е плътността на тялото и на флуида. На фиг. 12 е показано тяло с плътност ρt и обем V, намиращо се във флуид с плътност ρf. Теглото на тялото е:




Gt = ρt g V = γt . V, където γt е специфично тегло на тялото (γt = ρt . g). Когато едно тяло е потопено във флуид (течност), флуидът действа върху тялото със сила противоположна на теглото. Големината на тази сила се определя от закона на Архимед, който гласи че флуидът действа върху тялото със сила равна на теглото на изместената от тялото течност (флуид). Тази сила намалява теглото на потопеното тяло. Ако силата с която течността действа на тялото е по-голяма от теглото му, то плава върху повърхността на флуида. Действителната стойност на теглото на тялото потопено в течността се определя от:

Gt = Vt g (ρt - ρf ) = Vtt – γf)

От израза се вижда, че когато плътността на течността е по-голяма от плътността на тялото теглото на тялото става отрицателно и тялото ще плува върху повърхността. Когато двете плътности са еднакви, тялото ще е в неопределено положение (тялото е в безтегловност във флуида).


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница