Лекция 1 Механика на флуидите Предмет на механиката на флуидите

1. Предмет на механиката на флуидите

Механиката е част от физиката, която изучава простите механични форми на движение на телата и силовото взаимодействие в материални среди. Поради различното агрегатно състояние на веществата, механичното движение на телата се обуславя от различни закономерности, което е причина за разделяне на механиката на две основни направления: механика на твърдите тела и механика на непрекъснатите среди (течности, газове и твърди деформируеми среди). Течностите и газовете се обединяват под общото название флуиди и тяхното движение се изучава от механиката на флуидите. В този смисъл, механиката на флуидите се явява част от механиката на непрекъснатите среди.

Тъй като механиката като физична дисциплина има три основни раздела: статика, кинематика и динамика, то и механиката на флуидите има тези три раздела, които имат исторически формирали се наименования: хидростатика, кинематика на флуидите и хидродинамика (газодинамика).

Трябва да се отбележи, че съществуват множество въпроси и задачи, свързани с движението на флуиди, на които не може да се даде удовлетворителен отговор в настоящия момент. Същевременно съществуват множество случаи, в които може да се използва натрупан специфичен опит и теоретични и експериментални изследвания, за да се управлява по ефективен начин даден процес или да работи правилно дадена машина. В тези случаи много полезно се явява използването на механиката на непрекъснатите среди и по-конкретно механиката на флуидите.

Механиката на флуидите изучава течностите и газовете и тяхното взаимодействие с твърдите тела. Основни методи за изследване на движението на флуидите са феноменологичните макроскопични модели, основани на общи многократно потвърдени от опита закономерности и хипотези. На основата на тези общи закономерности се изгражда математическата теория на механиката на флуидите, без да се разглежда микроскопичния строеж на веществата. Използват се трите основни закона на механиката: за съхранение на масата, количеството на движение и енергията.

2. Основни принципи и хипотези

Строеж на телата и хипотеза за непрекъснатост

а) Строеж на телата

При изучаване на движенията на телата трябва да се отчитат реалните им свойства и вътрешен строеж. Както е известно, телата се състоят от атоми и молекули. Ядрата на атомите на веществата имат размери от порядъка на 10^-13 см, а радиусът на молекулата на водорода например е около 1.36 10^-8 см. Това показва, че радиусите на атомните ядра са много малки в сравнение с размера на молекулите. Но тъй като масата на веществата е съсредоточена в ядрата на атомите, то пространството, което заемат веществата е почти празно (масата е съсредоточена в много малки по размери обеми, които могат да се разглеждат като материални точки). От друга страна, броят на частиците във веществата е огромен. Така например, при обикновени условия (температура 0^о С, атмосферно налягане) в един см³ въздух се съдържат N = 2.687 10¹⁹ молекули. Това поставя специални изисквания при формулиране на изходните принципи и хипотези за изучаване на физическите характеристики и явления при движение на телата.

Физическите тела се представят в класическата статистическа механика във вид на система от голям брой частици, взаимодействащи помежду си и с граничещите с тях тела. За такива тела се предполагат справедливи класическите закони на механиката за система от материални точки. Предполага се, че всяка частица от системата взаимодейства с външните граници само когато е в непосредствена близост до тях. Взаимодействието между две частици не допуска директен допир (удар) между тях, но позволява тяхното безкрайно отдалечаване една от друга. Силата на взаимодействие между частиците зависи от разстоянието между тях. В общия случай изменението на тази сила се представя във вида, както е показано на фиг.1.

Означенията на фигурата имат следния смисъл: a – равновесно разстояние, за което силата F приема стойност 0. При d < a, F е сила на отблъскване, а при d > a - сила на привличане (F = 0 при d → ∞). При отдалечаване на частиците силата на привличане намалява много бързо и при разстояния d > 2do тя представлява едва 1% от максималната сила. Силата на привличане е съществена за изясняване на агрегатното състояние на веществата. Величината d_а (с порядък около порядъка на величината a) се нарича диаметър на атома, макар и масата на атома да е съсредоточена в ядрото със значително по-малко размери. Следователно, моделът на атома представлява маса съсредоточена в точка, затворена в безинерционна еластична среда с почти сферична форма с диаметър d_а, която понякога се нарича 'електронен облак'.

В основата на теоретичните предпоставки за изграждане на научната дисциплина механика на непрекъснатите среди е фундаменталното понятие ‘непрекъсната среда’ (континуум). Когато флуидната среда се разглежда в микроскопичен мащаб, обемите от флуидното пространство съдържат огромно количество частици (молекули, атоми), които са разпределени равномерно в тези обеми. Това е така дори за обеми с много малки размери (клонящи към нула в смисъла на математическите приближения, прилагани в диференциалното и интегрално смятане). Основание за това дава обстоятелството, че линейните размери при микроскопичното разглеждане на явленията и математическото им интерпретиране са винаги достатъчно големи в сравнение с междумолекулните разстояния и амплитудите на трептене при течностите и дължината на свободния пробег на молекулите при газовете. Така може да се направи предположението, че масата на флуида е разпределена непрекъснато в цялото пространство, заемано от флуида. Тази хипотеза се потвърждава от множеството експериментални и теоретични изследвания и наблюдения извършвани в продължение на столетия и за голяма част от практическите задачи е напълно приемлива.

Микроскопичното поведение на различните вещества показва, че някои свойства и характеристики се различават много в зависимост от агрегатното състояние на веществата. Така например, някои свойства на течностите и газовете коренно се различават от свойствата на твърдите тела, което определя и различния подход при изучаване на поведението им при механични въздействия. По-важните от тези свойства са:

- деформируемост (лесно подвижност)

Това свойство се определя от физическата структура на веществата и силите на взаимодействие между частиците на веществата. Освен тези сили в телата действат сили, обусловени от топлинното движение (трептене) на частиците. Тези сили се стремят да преодолеят кохезионните сили и да откъснат (раздалечат) частиците една от друга.

При твърдите тела разстоянията между частиците са по-малки или около стойността d_о. Това е устойчиво състояние, защото опитите да се увеличи разстоянието между частиците (от топлинното движение на частиците) води до увеличаване на силите на привличане. Преминаването от твърдо в течно състояние е свързано с преодоляване на бариерата на изменение на междумолекулните сили в областта на разстоянието d_о. Междумолекулните сили съществено намаляват, но остават все още достатъчно големи, за да държат молекулите на определени места, които могат лесно да се променят под действието на външни сили (например теглото). Затова течностите се деформират лесно, но запазват обема си. Преминаването на течностите в газообразно състояние е свързано с почти пълното изчезване на действието на кохезионните сили между молекулите на веществото. Разстоянието d_о е около (3-4).10^-8 см, като за газовете то е d ~ 10 d_о, а за течностите и твърдите тела – колебание около d_о.

Докато твърдото състояние на веществата може да се приеме като фаза, устойчива срещу промяна на формата, флуидите поради малките стойности на кохезионните сили не притежават устойчивост срещу промяната на формата. Тази обща характеристика на течностите и газовете да се деформират лесно определя едно от основните им свойства – лесноподвижност (деформируемост) или способност да текат (текучест).

- Полепваемост по стените.

Това свойство е резултат от адхезионните сили между молекулите на стените, ограждащи флуидното пространство и частиците на флуида. Поради тези сили, когато флуид се движи около твърда стена, слоят частици (молекули), които са непосредствено до стената, са неподвижни (имат скорост нула). Това свойство се нарича полепваемост и е присъщо на всички реални флуиди.
3. Плътност на флуидите

Плътността е мярка за концентрацията (плътността) на вещество в обема, заемащ флуида. Дефинира се като отношение на масата на флуида към обема, който заема:

където е Δm e масата, a ΔU - обемът на флуида.

Когато плътността на флуида не е еднаква за целия обем се дефинира плътност на флуида в дадена точка от флуидното пространство. Тогава тя е функция на координатите на разглежданата точка: ρ = ρ(x,y,z). Плътността в този случай се дефинира като граница на средната плътност на обем обхващаш дадената точка, когато големината на обема клони към нула:

Измерителна единица за плътност е [kg/m³].

В термодинамиката по-често се използва величина обратна на плътността:

, която се нарича специфичен обем с измерителна единици [kg³/kg].

Съществува още една величина с подобна физическа същност като плътността, която е известна като относително тегло:

където ΔF e теглото на флуида.

където V е обемът на областта заета от флуидната система, m – масата на веществото съдържащо се нея.

Обратна на тази величина е плътността :

[kg/m³] (1.2)

Освен тези величини във физиката се използва и специфично тегло , което е мярка за теглото на единица обем от веществото:

1 kgf = 9.81 N ; (1.3)

За определяне на съдържанието на вещество в термодинамиката се използва още една величина – количество вещество. Тя се явява мярка за количеството на структурните частици (молекули, атоми) вещество. Измерителна единица за тази величина е молекулната маса М, която има точно определена стойност за всяко вещество. 1 М (мол) е количество вещество което съдържа толкова структурни единици, колкото се съдържат в 0.012 kg въглерод (С). Казано по друг начин, 1 М е толкова грама от дадено вещество, колкото е броят на протоните и неутроните в една частица от веществото (атом или молекула). Така например, за кислорода О₂, чиято молекула съдържа 32 частици в ядрата на двата атома от молекулата му 1 М (молекулната маса) е 32 грама.

Количеството вещество се измерва с величината n, брой молове от даденото вещество:

където m е масата, [kg] и М – молекулната маса за даденото вещество.

4. Температура

Температурата е физическа величина, явяваща се мярка за нагретостта на телата. Тя определя направлението на топлообмена между телата. Ако има две тела А и В, с температури Т_А и Т_В и Т_А > Т_В, то при допир между тях, тяло А ще отдава топлина, а тяло В ще получава топлина. Чрез този физически процес може да се извършва подреждане на телата по тяхната нагретост или температура.

За измерване на температурата не може да се използва еталонна мярка, както е при много други физически величини. Поради това, измерването на температура става посредством други физически параметри, които са пропорционални на температурата. За целта се използва специално вещество или техническо устройство, което се нарича термометрично тяло. То трябва да отговаря на някои важни изисквания:

-физическото свойство, което се използва за измерване на температурата трябва да има регулярна зависимост от температурата. Най-добре е тази зависимост да е линейна.

- термометричното тяло трябва да поглъща малко количество топлина в процеса на измерване, за да не влияе на измерването. Ако се поглъща голямо количество топлина ще бъде променено температурното състояние на измервания обект и измерването няма да бъде точно.

Съществуват различни температурни скали. Съответствието между някои от най-често използваните температурни скали може да бъде изведено от схемата на фиг.1.2:

Основни реперни термодинамични явления, определящи построяването на различните термодинамични скали са фазовите преходи при нормални условия на едно от най-разпространените вещества на земята – водата. За начално на голяма част от скалите се приема температурата на превръщане на водата от твърдо в течно състояние.

Ето някои съотношения между температурните скали, които могат директно да се определят от схемата на фиг.1.2:

T = t^oC+273,15^o

(преобразуване от скала на Целзий към скала на Келвин)
(преобразуване от скала на Фаренхайт към скала на Келвин)

(преобразуване от скала на Целзий към скала на Фаренхайт)

Температурата за идеални газове може да се представи и посредством апарата на молекулно-кинетичната теория:

където к е коефициент, а m и w са масата и скоростта на частиците на веществото (газа).

Свиваемостта е величина, която определя изменението на обема на флуида, когато върху него е приложено външно налягане. Дефинира се като отношение на изменението на плътността към изменение на налягането: Δρ / Δр. Физическата величина, която характеризира свиваемостта е коефициентът на свиваемост:

Често за характеризиране на свиваемостта се използва обратната величина:

а² = , която дефинира скоростта на разпространение на звуковите вълни във флуида (скорост на звука). От представения израз може да се направи заключението, че в среди, които се деформират лесно (голямо Δρ) скоростта на звука е ниска и обратно. Така например във въздуха звукът се разпространява със скорост 340 м/с (силно свиваем флуид), докато във водата тази скорост е над 1500 м/с (слабо свиваем флуид).

Газовете и течностите се различават много по отношение на свиваемостта. Течностите при големи налягания се деформират (намаляват обема) много малко. При газовете неголеми налягания предизвикват големи свивания (намаляване на обема). Поради тази причина течностите в много случаи могат да се разглеждат като несвиваеми флуиди.

6. Вътрешно триене (вискозитет)

Вискозитетът е свойство на флуидите да оказват съпротивление срещу деформацията. Той се проявява във вид на вътрешно триене при относителното преместване на съседните флуидни частици или слоеве. Следователно вискозитетът е характеристика, с която се описва степента на подвижност (деформируемост) на флуидите или свойството им да текат. Колкото по-голяма стойност има вискозитетът, толкова по-трудно се деформира флуидът и толкова по-трудно подвижен е той.

При движение на флуидите около твърди повърхнини скоростта в слоя непосредствено контактуващ със стената е нула (u = 0) вследствие свойството полепваемост. С отдалечаване от повърхността скоростта нараства плавно до достигане на установената за флуидния поток скорост. На фиг. 2 е показан профилът на изменение на скоростта във височина над неподвижната повърхнина u = u(n). Тук n е нормалата към разглежданата повърхност.

Това разпределение на скоростта в напречно направление показва, че има приплъзване между отделните слоеве на течението, обусловено от вътрешното триене и е съпроводено с появата на сили, действащи в равнината на течението. Такива сили и съответните им напрежения (силите отнесени към единица площ) се наричат тангенциални сили (напрежения), тъй като действат в разглежданата равнина (в тангенциално направление).

Логично е да се предположи, че тези сили (напрежения) са пропорционални на изменението на скоростта във вертикално направление. Мярката за това изменение на скоростта е производната du/dn, известна във векторния анализ като градиент на скоростта. Връзката между тангенциалното напрежение и градиента на скоростта се задава със закона (хипотезата) на Нютон:

където коефициентът на пропорционалност μ се разглежда като физическа константа и се нарича вискозитет.

По-късно този закон е формулиран в кинетичната теория на газовете като закон за пренос на импулса на молекулите.

От горния израз се вижда, че когато скоростта е нула (u = 0) или скоростта е постоянна (du/dn=0), то тангенциалното напрежение е нула τ = 0. Следователно, тангенциални напрежения се появяват само при движещи се флуиди с неравномерно разпределение на скоростта.

Коефициентът μ се нарича динамичен коефициент на вискозитет. Той не зависи от налягането и характера на течението, а се определя само от физичните свойства на флуида. Измерителната единица за динамичен вискозитет е [N.s/m²] .

Като мярка за вътрешното триене на флуидите се използва и отношението

което се нарича кинематичен вискозитет, тъй като има размерност, включваща само кинематични величини.

Зависимостта на вискозитета от налягането е почти пренебрежима за течностите и за повечето от газовете. Вискозитетът обаче в голяма степен зависи от температурата – при газовете се увеличава, а при течностите намалява с увеличаване на температурата.

Повечето от флуидите срещани в практиката се подчиняват на закона на Нютон. Срещат се и такива, които не се подчиняват на този закон, поради което те се наричат ненютонови флуиди (аномални течности). Такива са суспензиите от твърди частици, глинестите и бетонни разтвори, тежките фракции на нефта, колоидни разтвори и други.

Един вече широко развит раздел на хидродинамиката, основно третиращ проблемите за изясняване на връзката между тангенциалните напрежения и скоростта на деформация на различните видове среди, напоследък се отделя в самостоятелна наука с название реология.

Идеален флуид. Много често решаването на хидродинамични задачи с отчитане на вътрешното триене е съпътствано със значителни трудности. В редица други случаи вътрешното триене не играе съществена роля и може да се пренебрегне. Тези именно съображения са наложили въвеждане на понятието идеален флуид, за който се смята, че е лишен от вискозитет, топлопроводност и дифузия и има абсолютна подвижност. Разбира се, в понятието идеален флуид вискозитетът може да се пренебрегне като източник на съпротивление, но не и като фактор, който обуславя предаването на движението от слой на слой и формира по този начин скоростното поле на течението.

Идеални флуиди в природата няма. Те представляват опростен модел на реално съществуващите флуиди. Приемането на флуида за идеален, респективно пренебрегването на съпротивлението от вътрешното триене при движението му, създава редица улеснения в аналитичното изследване на флуидните течения.

По начина на движение на флуидните частици в реален флуид потока бива ламинарен и турболентен. При ламинарно или слоесто течение внесени в потока оцветени частици остават през цялото време на движение отделени едни от други (не се извършва смесване на слоевете от потока). При турболентно течение частиците извършват произволни хаотични движения по бързо променящи се преплетени траектории. Това предизвиква образуването на локални завихряния на флуида наричани ‘турболенти’, откъдето идва и наименованието на този вид движение на флуида.

От типа на течението зависят параметрите характеризиращи процесите на пренос на количество на движение, топлина и енергия във флуидния поток. Съществуването на два принципно различни режими на движение на флуидите е установено експериментално в края на 19 век при изследване на течението в тръби и канали.

Турболентното движение на флуиди е съпроводено с интензивно смесване на частиците на флуида. Затова, в случаите, когато трябва да се извърши бързо изравняване на концентрация на разтвор или топлината и енергията да се предаде по-интензивно е необходимо потока да бъде турболентен.

От многобройни експерименти е установено, че прехода от ламинарен към турболентен поток се извършва при определени условия, които се определят от безразмерна величина, наречена критерий на Рейнолдс:

,

където u е скоростта на потока, L - характерен размер (диаметър на канал, дължина на обтичана пластина) и ν – кинематичен вискозитет на флуида.