Лекция 5 Някои операции от векторния анализ



Дата13.10.2018
Размер71.34 Kb.
ТипЛекция
Лекция 5

Някои операции от векторния анализ

Ще бъдат приведени някои операции от векторния анализ, които се използват много често при описанието на флуидни течения.



  1. Поток на вектора на скоростта

Във векторния анализ поток на вектор (векторно поле) а = f (x,y,z) през повърхност (S) се дефинира посредством повърхностен (двоен) интеграл по зададената повърхнина:

където an е нормалната компонента на вектора в точката от разглежданата повърхнина

Съгласно тази дефиниция потокът на вектора на скоростта има вида:

(17)

Ако се анализира размерността на тази величина ще се установи, че това е секундният обемен разход (дебит) на флуида през повърхността S



.

Ако повърхността е затворена и няма вътрешни източници или изтичания, то:



при наличие на източници

при изтичане

2. Градиент на скаларна функция

Голяма част от операциите във векторния анализ се записват удобно посредством оператора на Намилтон . Такива са операциите ‘градиент’, ‘дивергенция’, ‘ротация’ и други.

Градиент на скаларна функция се записва като обикновено умножение на вектор (оператора на Хамилтон) със скалар:

(18)

От израза се вижда, че градиентът на скаларна функция е вектор. Компонентите на този вектор са производните на скаларната функция по съответните оси на координатната система.

Физическото тълкуване на градиент на скаларна функция е, че това е вектор, насочен в направление на най-бързото изменение на функцията в пространството, а големината му дава скоростта на изменения на функцията в това направление. Компонентите на вектора ‘градиент’ определят изменението на функцията по отделните оси на координатната система, поради което се записват с производните на функцията по тези оси.
3. Дивергенция на вектор

Дивергенция на вектор се дефинира като скаларно произведение на оператора и вектора



Записана за скоростното поле операцията дивергенция има вида:



(19)
4. Формула на Остроградски – Гаус (за вектора на скоростта)

Ако S е затворена повърхнина в пространство с дефинирано векторно поле (например полето на скоростите на флуида) формулата на Остроградски – Гаус се записва във вида:



, (20)

където U е обемът затворен от повърхнината S. Чрез тази формула повърхностен интеграл във векторно пространство се преобразува в обемен интервал от дивергенция по векторната величина.

Записана във вид чрез проекции на векторното поле формулата на Остроградски – Гаус изглежда по следния начин:


5. Циркулация на скоростта

Ако АВ е отрязък от крива линия във векторно пространство, то циркулация на вектора по този отрязък се задава с израза:



. Това е циркулация на скоростта по контура АВ

За затворена крива циркулацията се задава със затворения интеграл: (21)


6. Ротация (вихър) на вектор

Циркулацията на вектор се задава като векторно произведение на оператора на Хамилтон и дадения вектор: Δ х а. Векторно произведение на два вектора има вида:



Векторното произведение на с вектора тогава е:


. Това е векторна величина, която се нарича вихър (ротор) на вектора. Когато векторното поле е полето на скоростите във флуидното пространство се получава вихър на скоростта
(22)

Физическият смисъл на вихъра на вектора на скоростта може да се изясни с помощта на фигура 14. Разглежда се въртене на твърдо тяло по оста z с ъглова скорост ωz.

Произволна точка от тялото M при въртенето се движи с периферна скорост V. Тази скорост се определя от механиката:

V = ωz.r ,

с компоненти:

u = ωz y ; v = ωz x w = 0

От тези изрази може да се определят производните: : тогава

по аналогичен начин:

Следователно вихърът на вектора на скоростта на флуидните частици може да се определи чрез ъгловата скорост

Понякога вихровото движение се свързва с турболентното течение. Това не е точно. И ламинарните, и турболентните течения могат да бъдат вихрови или безвихрови.

Особено значение в механиката на флуидите имат безвихровите течения, за които ротацията на скоростта е нула:



Това е възможно когато съществува функция φ(x,y,z), за която:



, тогава например: и горният израз за ротацията на скоростта действително се превръща в нула.

Такова течение се нарича потенциално.

Тогава:

Функцията φ се нарича потенциал на вектора на скоростта

Ако векторът на скоростта има потенциал, то

За потенциални течения циркулацията на скоростта по крива между т.А и т.В е:



, т.е. циркулацията е разлика в потенциалите.
7. Оператор на Лаплас

Операторът на Лаплас се дефинира като скаларно произведение на оператора на Хамилтон:



(23)

Приложен към скаларна функция операторът на Лаплас има вида:



В сила са следните правила:




Основна теорема на кинематиката (Първа теорема на Хелмхолц)

В механиката на твърдото тяло съществува основна, съгласно която скоростта на произволна точка М се получава като геометричната сума от скоростта на постъпателното движение на тялото (заедно с началната точка О) и скоростта на въртене около тази точка:



където е ъглова скорост, - радиус вектор на точка М.

В хидродинамиката има аналогична теорема: , където - скорост на флуидните частици, разглеждани като точки от квазитвърдо тяло и - скорост на деформация на квазитвърдото тяло.

Доказателството на тази теорема се извежда с помощта на разложение на скоростта на частиците в ред на Тейлор. За дадена точка от пространството МО (фиг.15) с координати x0, y0, z0 в началния момент и компоненти на скоростта u0, v0, w0 в следващ момент флуидната частица се премества в положение M(x, y, z). В сила са равенствата:

x1= xx0; y1 = yy0; z1 = zz0, които са компоненти на радиус-вектора на преместване

За скоростите u, v, w може да се използва разложение в ред на Тейлър (записват се членовете само с първи порядък на производните):



(24)

По нататък се разглежда само първото уравнение, а получените изрази по аналогия се записват за останалите компоненти на скоростта. Към първото уравнение се прибавя и изважда израза:



, с което уравнението не се променя.

тогава: +.................

Този израз може да се запише във вида:

В механиката на флуидите се използват следните означения за част от използваните в горния израз математически изрази:

(25)

Тези величини определят деформацията на флуида във флуидното пространство и се наричат относителни деформации на флуида. Това са девет компоненти и образуват тензор (матрица) на деформациите.

Като се вземат пред вид и изразите за компонентите на вектора ротация на скоростта:

и компонентите на скоростта (24) се записват във вида:

u = u0 + (ωyz1 ωzy1) + (S11x1 + S21y1 + S31z1)

v = v0 + (ωzx1ωxz1) + (S12x1 + S22y1 + S13z1) (26)

w = w0 + (ωxy1ωyx1) + (S13x1 + S23y1 + S33z1)

От своя страна вторите слагаеми в дясната част на тези равенства представляват компонентите на векторно произведение:

Първите две слагаеми в дясната част определят скоростта на флуидните частици движещи се като кваэитвърдо тяло.

За характеризиране на деформациите във флуида се въвежда следната функция:

Производните на функцията имат вида:



Както се вижда, тези производни представляват последните слагаеми в израза за скоростта (26). Но също така производните на една скаларна функция по осите на координатната система могат да се разглеждат като компоненти на вектора ‘градиент’. Затове изразите (26) могат да се запишат във векторен вид по следния начин:





F се нарича функция на деформацията, а gradF е скорост на деформацията

Най-общо скоростта на деформацията се задава с тензора S



където (27)
Физически смисъл на компонентите на тензора на деформациите.

Кубическо разширение

Разглежда се сферичен участък от флуида с обем U и радиус R в момент t. В следващ много близък момент сферата се деформира и в общия случай се преобразува в елипсоид с оси a, b и c.

Големината на полуосите на елипсоида се определя от различната скорост с която се движат частиците в различните области в сферичния обем:

; ;

или

Относителното изменение на радиуса по различните оси (за единица време):

Ако частицата остава сферична:



Тогава за обема:



Както се вижда, относителното изменение на радиуса на сферичен обем от флуида се изразява с диагоналните елементи на тензора на деформациите. Тези компоненти определят така нареченото обемно разширение на флуида.


Скорост на тангенциални (ъглови) деформации

За физическо обяснение на S12, S13, S23 се разглежда деформацията на равнинен правоъгълник в някоя от координационните равнини – например x0y (S12) – фиг. 16.



Ъгловата деформация се обуславя от ъгъла γ с който се изменя правия ъгъл на първоначалната фигура (правоъгълник). Тъй като се разглеждат много малки изменения то ъгълът може да се представи чрез:



Общата ъглова деформация се определя от деформацията на ъгъла за единица време. Средният ъгъл на деформация е или:






Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница