Лекция №4. Апроксимация на зависимост между две величини (апроксимираща крива). Метод на най-малките квадрати. Линейна и квадратична регресия.
Нека имаме две случайни величини х и у. Търсим линейна апроксимация Y(х) на зависимоста между тях от вида:
(1)
Или обратно:
(2)
Линейната апроксимация се нарича линейна регресия, а неизвестните параметри могат да се пресметнат ако минимизираме средноквадратичната грешка. Затова метода за определяне на неизвестните параметри се нарича метод на най-малките квадрати. За минимизиране на средноквадратичните отклонения на апроксимираните стойности Y от действителните стойности у трябва да нулираме производните:
(3)
От горните равенства (3) може да се определят неизвестните параметри на линейната апроксимация a0 и a1 чрез статистическите параметри на двете случайни величени x и y, а именно: средни стойности, дисперсии, ковариация и корелация, както следва:
(4)
където дисперсиите са дават от:
(5)
Ковариацията се определя от формулата:
(6)
Корелацията се определя от формулата:
(7)
Очевидно е валидно следното свойство:
(8)
Зад.1 Нека зависимоста на критичната деформация (деформация при скъсване) от съдържанието на въглерод в стоманата се дава от следните експериментални резултати:
X, въглерод %
|
|
0.1
|
0.2
|
0.3
|
0.4
|
0.5
|
0.6
|
0.7
|
Y, кгс/кв.мм
|
39.7
|
44.1
|
57.6
|
62.3
|
71.9
|
74.9
|
83.6
|
Изчислете коефициентите на корелация r2 и на линейна регресия a0 и a1 и проверете графично апроксимацията на експерименталните точки от получената права линия.
Отг. r2 =0.998 ; a0=32.6; a1=73.5
Апроксимация на корелационна зависимост между две случайни величини с
крива от втори порядък. Квадратична регресия.
Ще търсим квадратична апроксимация У(х) на зависимоста между у и х от
вида:
(9)
Неизвестните параметри d0, d1 и d2 в квадратичната апроксимация се изчисляват чрез минимизиране на средната квадратична грешка и отново могат да се изразят чрез статистическите параметри, но сега изчисленията са по-сложни.
За упростяване на изчисленията въвеждаме нови променливи:
(10)
За новите променливи уравнението от втори порядък се дава с нови параметри c0, c1, c2, както следва:
(11)
Където връзката между старите и новите параметри се дава от изразите:
(12)
От своя страна параметрите c0, c1, c2 се определят от следните детерминанти:
(13)
където матриците А, А0, А1, А2 се определят както следва:
(14)
От своя страна елементите на матриците се дават от следните формули:
(15)
n е броя на експерименталните точки
Зад. 2 Експерименталното изследване на температурната зависимост на електропроводимоста на медна сплав от температурата дава следните резултати:
X Температура, град*10^2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
Y електропроводност
|
|
66
|
32
|
26
|
20
|
16
|
Апроксимирайте тази зависимост с крива от втори порядък и сравнете графично получената крива с експерименталните точки.
За изчисляване на детерминантите използвайте вградената функция MDETERM().
Последователноста на изчисленията е следната: Първо се изчисляват новите променливи (10), след това коефициентите (15), след това детерминантите от матриците (14), след това коефициентите (13) и накрая истинските коефициенти (12).
Отг. Y=18.15 – 0.0296x + 0.000107x2
Сподели с приятели: |