Lхі национална олимпиада по математика общински кръг София, 18 декември 2011 година Критерии за оценяване



Дата23.07.2016
Размер462.65 Kb.
LХІ Национална олимпиада по математика - общински кръг

София, 18 декември 2011 година
Критерии за оценяване

4. клас

  1. Даден е равнобедрен триъгълник с основа а м и бедра b см, където:

а е равно на 36 . 8 + 8 . 69, а b е неизвестното число от равенството

70 000 –  = 4 140 + 735 : 7. Намерете на колко дециметра е равна обиколката на триъгълника. 7 точки

Намерено: а = 8.(36 +69) = 8.105 = 840 2 т.

70 000 –  = 4 140 +105 1 т.

70 000 –  = 4 245 1 т.

b = 70 000 – 4 245 = 65 755 1 т.

Основата е равна на 840 м = 8400 дм 0,5 т.

Сборът на двете бедра е равен на 2.65 755 = 131 510 см = 13 151 дм 1 т.

Обиколката на триъгълника е 8400 + 13151 = 21 551 дм 0,5 т.



Забележка: Ако е направена техническа грешка при изчисленията, но после разсъжденията са верни, да се дават точките за верните разсъждения.

  1. В края на 2010 година в два съседни града А и Б живеели общо 52 536 души, а в град С – с 13 647 по-малко. В края на 2011 година 1134 жители на град А се преселили в град Б, а 378 жители на град Б се преселили в град С. Тогава броят на жителите на градовете А и Б се изравнил. Колко са били жителите на всеки от трите града в края на 2010 година и в края на 2011 година? 7 точки

Намерено:

52 536 – 13 647 = 38 889 жители в град С в края на 2010 г. 1 т.

38 889 + 378 = 39 267 жители в град С в края на 2011 г. 1 т.

52 536 – 378 = 52 158 жители общо в градовете А и Б в края на 2011 г. 1 т.

52 158 : 2 = 26 079 жители е имало в град А и в град В в края на 2011 г. 1 т.

26 079 – 1134 = 24 945 и 24 945 + 378 = 25 323 жители е имало в град В в края на 2010 г. 2 т.

26 079 + 1134 = 27 213 жители е имало в град А в края на 2010 г. 1 т.


  1. От цифрите от 1 до 9 са избрани три различни цифри а, b и с. Написани са всички трицифрени числа, във всяко от които участват и трите цифри.

а) Намерете сбора на написаните трицифрени числа, ако сборът на цифрите а, b и с е 19. 4 точки

б) Намерете сбора на цифрите а, b и с, ако сборът на написаните трицифрени числа е 2886. 3 точки

Написани шестте трицифрени числа, които могат да се образуват с цифрите а, b и с: 1 т.

а) Сборът на единиците на шестте числа е равен на 2.19 = 38. Пишем 8 1 т.

и имаме 3 наум. Сборът на десетиците на шестте числа е 38 + 3 (наум) = 41. Пишем 1 1 т.

и имаме 4 наум. Сборът на стотиците е 38 + 4 = 42. Следователно сборът е равен на 4218 1 т.

Забележка: Ако е намерен вярно сборът без обяснения се дава пълен брой точки.

б) Написано, че удвоеният сбор на цифрите а, b и с е равен на 26 2 т.

Намерен сборът на цифрите а, b и с, равен на 13 1 т.

Забережка: Ако направо е написано, че а + b + с = 13, се дава пълен брой точки.

5. клас


  1. Намерете разликата между най-голямото и най-малкото от числата х, у и q, ако , у е числото, за което е изпълнено, че и обиколката на правоъгълник с дължина 2 дм 7 мм и широчина 13 см е равна на q м. 7 точки

Намерено:

; 2 т.

; 1 т.

; 1 т.

2 дм 7 мм = 0,207 м, 13 см = 0,13 м 1 т.

q = 2.(0,207 + 0,13) = 0,674 1 т.

xq = 1,73 – 0,674 = 1,056 1 т.


  1. На шосето между градовете А и В има бензиностанция, която е на 90 км от град А. В 10 ч 10 мин лека кола тръгнала от бензиностанцията към град В. След 45 минути леката кола била изминала 60 км.

а) Определете с каква скорост се е движила леката кола; 2 точки

б) В 10 ч 40 мин от същата бензиностанция тръгнал товарен камион със скорост 56 км/ч. Двете превозни средства се движили с постоянна скорост, без да спират и да сменят посоката на движение. Намерете разстоянието между градовете А и В, ако леката кола пристигнала в град В в 12 ч 10 мин и намерете на колко километра от град А е възможно да се намира камионът в този момент. 5 точки

Намерено:

а) 45 мин = 0,75 ч 1 т.

v = 60 : 0,75 = 80 км/ч е скоростта на леката кола 1 т.

б) 12 ч 10 мин – 10 ч 10 мин = 2 ч е пътувала леката кола до град В 0,5 т.

2. 80 = 160 км е пътят от бензиностанцията до В 0,5 т.

160 + 90 = 250 км е разстоянието от А до В 0,5 т.

12 ч 10 мин – 10 ч 40 мин = 1 ч 30 мин = 1,5 ч е пътувал камионът 1 т.

1,5. 56 = 84 км е изминал камионът 0,5 т.

Ако камионът е пътувал в посока към В, в 12 ч 10 мин той се е намирал на разстояние 90 + 84 = 174 км от град А. 1 т.

Ако камионът е пътувал в посока към А, в 12 ч 10 мин той се е намирал на разстояние 90 – 84 = 6 км от град А. 1 т.


  1. На чертежа ABCD и MNPQ са квадрати с равни страни, а KCFQ е квадрат със страна 7 см. Намерете лицето на оцветената фигура, ако лицето на триъгълника ВСQ е равно на 42 кв. см. 7 точки

Намерено:

1 т.

см 1 т.

кв. см 1 т.

BF = FP = DK = MK = 12 – 7 = 5 см 1 т.

кв. см 1 т.

кв. см. е лицето на оцветената фигура 2 т.

6. клас

  1. Намерете числата а, b и с, ако , и . Ако числата а, b и с се изобразяват върху числовата ос съответно с точките А, В и С, намерете образ на кои числа може да е точка М, за която MС = АВ. 7 точки

Намерено:

2 т.



1 т.

2 т.

AB = 6 м.ед. Следователно точка М може да е образ на числата или . 2 т.



  1. Два автомобила Опел и Фиат се движат по асфалтов път със скорост 80 км/ч. Фиатът се движи на дистанция 240 м преди Опела.

а) Ако Фиатът спре за почивка, колко минути след това Опелът ще го настигне? 1 точки

б) Ако в даден момент Опелът започне да се движи с 10 % по-голяма скорост, колко минути след това той ще настигне Фиата, който продължава да се движи с непроменена скорост? 2 точки

в) Ако двата автомобила завият по павиран път и намалят скоростта си на 50 км/ч, на каква дистанция един от друг ще се движат те по павирания път? 4 точки

Намерено:

а) 0,24 : 80 = 0,003 ч = 0,18 мин 1 т.

б) 0,1.80 = 8 км/ч ще е разликата между скоростите на Опела и Фиата 1 т.

0,24 : 8 = 0,03 ч = 1,8 мин е времето, за което Опелът ще настигне Фиата

1 т.

б) Намерено:



Когато Фиатът тръгне по павирания път и намали скоростта си на 50 км/ч, Опелът ще се движи още 240 м със скорост 80 км/ч. 1 т.

Опелът ще измине 240 м за 0,18 мин. 1 т.

За 0,18 мин Фиатът ще измине 0,18.50 = 540 м 1 т.

След това и Опелът ще намали скоростта си на 50 км/ч и дистанцията между двамата няма да се променя и ще остане 540 м. 1 т.



  1. За числата а, b и с е изпълнено, че . Едното от числата е положително, другото е отрицателно, а третото е равно на нула.

а) Определете кое от числата е равно на нула, кое е положително и кое е отрицателно. (Обосновете отговора си.) 4 точки

б) Намерете числата, различни от нула, ако абсолютната стойност на отрицателното число е 5 пъти по-голяма от положителното число. 3 точки

а) Обосновано:

Ако (противоречие с условието – не може две от числата да са 0) или (противоречие с условието – не може да има две равни числа). Следователно а не е 0. 1 т.

Ако – противоречие с условието – не може две числа да са 0. Следователно и b не е 0. Тогава с = 0. 1 т.

При с = 0, получаваме, че . 1 т.

Тъй като . Тогава . 1 т.

б) Намерено:

1 т.

От 1 т.

Тогава 1 т.

по 3 т.


7. клас


задача1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.



отговорБГАВГББГАВАВГГВ


(А) = (4)(Б) = (6)(В) = (2)(Г) = (1)
16.
За всеки верен отогвор – по 1 т. общо 4 т.


  1. задача17.18.19.20.21.22.

    а)б)а)б)а)б)а)б)

    отговор2472 75 22 и 44:5:1720 лв.

    точки за верен отговор2222442333
    Дадени са уравненията и . Решете уравненията и проверете дали те са еквивалентни. 12 точки

а) Получено:

или 3 т.

2 т.

Уравнението е еквивалентно на 2 т.

Първото уравнение има единствен корен, равен на . 1 т.

Второто уравнение е еквивалентно на 2 т.

То няма решение, тъй като модулът не може да е равен на отрицателно число. 1 т.

Следователно двете уравнения не са еквивалентни. 1 т.



  1. Ъглополовящите АМ и ВР в триъгълника АВС сключват съответно със страните ВС и АС ъгли, равни на 75. Намерете ъглите на триъгълника АВС. (Разгледайте всички възможни случаи.) 12 точки

Означаваме и . 1 т.

1 сл. .

Два от ъглите на ВРС са равни на два от ъглите на АМС ( и ).

Следователно и третите им ъгли са равни , т.е. . 2 т.

От външен за триъгълника АМВ следва, че  + 2 = 75, т.е.  = 25. 1 т.

Тогава и . 1 т.

2 сл. .

Аналогично се доказва, че .

 + 2 = 105, т.е.  = 35.

Тогава и . 2 т.



3 сл. .

От външен за триъгълника АМВ следва, че  + 2 = 75, а от триъгълника АРВ следва, че 2 +  = 105. 2 т.

Като съберем почленно двете равенства получаваме, че 3 + 3 = 180   +  = 60. 1 т.

Тогава . 1 т.

От  + 2 = 75   = 75  ( + ) = 15, а  = 45. Следователно и . 1 т.

8. клас


  1. Даден е правоъгълен триъгълник АВС, за който точка О е средата на хипотенузата му АВ, а и . Ако и , намерете:

а) ъглите на триъгълника АОМ; 3 точки

б) отношението НА : НО : НВ. 4 точки

Намерено:

а) 1 т.

2 т.


б)

2 т.


HO = 3x, HB = 7x 1 т.

НА : НО : НВ = 1 : 3 : 7 1 т.


  1. а) Дадени са уравненията и , . Докажете, че ако първото уравнение има реални корени, то и второто уравнение има реални корени, които са реципрочни на корените на първото. 3 точки

б) Решете уравнението в зависимост от параметъра а. 4 точки
а) Доказано:

Дискриминантите на двете уравнения са равни. Следователно ако първото уравнение има реални корени, то и второто уравнение има реални корени. 1 т.

Корените на първото уравнение са и , а на второто са и . 1 т.

и

. Следователно и са реципрочни, както и и . 1 т.

б) Тъй като и , то сборът им ще е равен на нула, ако едновременно и двата тричлена са равни на 0. Следователно търсим общ корен на уравненията и 0,5 т.



От подточка а) следва, че ако и са корените на първото уравнение, а и са корените на второто уравнение, то уравненията ще имат общ корен ако ( ) или , откъдето следва, че . 0,5 т.

1 сл. 1 е корен на двете уравнения. Тогава 87 – 82 – а = 0, т.е а = 5. В този случай двете уравнения нямат друг общ корен. 1 т.

2 сл. –1 е корен на двете уравнения. Тогава 87 + 82 – а = 0, т.е а = 169. И в този случай двете уравнения нямат друг общ корен. 1 т.

3 сл. и са реципрочни помежду си.



. Но при а = –87, дискриминантата е равна ва , т.е. корените не са реални числа и а = –87 не е решение.

Следователно при а = 5 първоначалното уравнението има корен 1, при а = 169 има корен –1, а при всички останали стойности на параметъра няма решение. 1 т.



  1. а) Пресметнете и намерете най-малкото цяло число b, за което . 4 точки

б) Докажете, че произведението на 4 последователни цели числа, увеличено с 1 е точен квадрат и пресметнете стойността на израза . 3 точки

а) Намерено:



1 т.

1 т.

1 т.

Тъй като и , то най-малкото цяло число b е 7. 1 т.

б) Доказано, че:

1 т.



1,5 т.



0,5 т.

9. клас


  1. Дадено е уравнението: , където а е параметър.

а) Решете уравнението за а = 1. 3 точки

б) При кои стойности на параметъра а уравнението има единствен реален корен? 4 точки

Намерено:

а) При и уравнението е еквивалентно на 2 т.

Корените на последното уравнение са 1 и 4, като 1 не е допустима стойност и не е решение. Следователно уравнението има единствен корен, равен на 4. 1 т.

б) Уравнението е еквивалентно на . 1 т.

При и получаваме уравнението с корени 4 и а. 1 т.

Първоначалното уравнение има единствен реален корен, ако:



а = 4, или а = 1, или а = 2а 1, т.е. а = 1, или 4 = 2а 1, т.е. а = 2,5. 2 т. (за всяка стойност на параметъра по 0,5 т.)

  1. Даден е квадратният тричлен , а и са корените на уравнението .

а) Намерете коефициентите р и q, ако и . 3 точки

б) Намерете корените и , ако е цяло число, а и са прости числа. 4 точки

Намерено:

а) От формулите на Виет и . 1 т.

Тогава от получаваме , 1 т.

а от следва, че , т.е. . 1 т.

б) 1 т.

е просто число, ако:

1 сл. = 1 и е просто число. Но е също просто число, а и са с различна четност, т.е. едно от тях е равно на 2. Ако - не е просто. Ако - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 1 т.

2 сл. = 1 и е просто число. Както в предния случай, едно от числата и е равно на 2. Ако - не е просто. Ако е просто число. Следователно и . 1 т.

3 сл. = 1 и е просто число. Тогава - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 0,5 т.

4 сл. = 1 и е просто число. Тогава - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 0,5 т.


  1. Фирма „Автомобил за всеки” продава употребявани автомобили. Дадената графика проследява как се променя цената на автомобил от определен клас (в проценти от първоначалната му цена) в зависимост от възрастта му. Тя се състои от четирите отсечки АВ, ВС, CD и DЕ.

а) С колко % се понижава цената на автомобил от този клас след 7 години употреба? 2 точки

б) Каква е възрастта на автомобил от такъв клас, ако цената му в автокъщата е 15 300 лв, а като нов той е струвал 27 000 лв? 2 точки

в) Запишете аналитичното представяне на функцията за , където р е колко процента от първоначалната цена е цената на автомобил след п години употреба. 3 точки

а) Отсечката CD отразява промяната на цената на автомобил на възраст от 5 до 10 години. За този период от 5 години цената се понижава с 20 % (от 50% на 30%). За 2 години в този период цената ще се понижи с . Следователно след 7 години употреба цената на автомобила ще бъде 42% от първоначалната, т.е. се е понижила с 58 %. 2 т.



Забележка: За отговор в интервала от 40% до 45 %, но различен от 42 % - 1 т.

б) . Цената на автомобила е от първоначалната.

1 т.

Възрастта му ще определим от отсечката ВС. Между втората и петата година, т.е. за 3 години цената на автомобила се понижава с 20 % (от 70% до 50%). Следователно за една година тя се понижава с . Възрастта на автомобила е 4 години. 1 т.



в) За функцията е линейна и нека има вида . Точките А(0; 100) и В(2; 70) са от графиката й. Следователно 100 = b и 70 = 2a + 100, т.е. а = 15.

. 1 т.

За функцията е линейна и нека има вида . Точките В(2; 70) и С(5; 50) са от графиката й. Следователно 70 = 2c + d и 50 = 5c + d, откъдето получаваме и , а . 1 т.

За функцията е линейна и нека има вида . Точките С(5; 50) и D(10; 30) са от графиката й. Следователно 50 = 5е + f и 30 = 10e + f, откъдето получаваме и , а .

. 1 т.

10. клас


  1. Намерете най-малкото цяло число х, за което:

а) стойността на израза е неотрицателна; 3 точки

б) е изпълнена системата . 4 точки

Намерено:

а) Корените 4, и на уравнението и подредени на числовата ос. 1 т.

Решенията на неравенството са 1,5 т.

Най-малкото цяло решение на неравенството е 3. 0,5 т.

б) Решения на първото неравенство са . 1 т.

При и второто неравенство е еквивалентно на



и е изпълнено за . 2 т.

Решения на системата са . 0,5 т.

Най-малкото цяло решение (и единствено) на неравенството е 4. 0,5 т.


  1. а) Ако , намерете най-голямата и най-малката стойности на всяка от функциите , и ; 4 точки

б) Намерете стойностите на параметрите a и b, за които уравнението има единствен реален корен в интервала , а уравнението има два реални корена в същия интервал. 3 точки

а) Намерено:



и 1 т.

и 1,5 т.

и 1,5 т.

б) Начертани графиките на функциите и 1 т.

Намерени стойностите на параметъра а, за които уравнението има единствен реален корен в интервала , а именно а = 0 и .

1 т.


Намерени стойностите на параметъра b, за които уравнението има два реални корена в интервала , а именно . 1 т.

  1. Разглеждаме всички квадратни функции , за които .

а) Докажете, че графиката на всяка от тях има по две пресечни точки с абсцисната ос; 2 точки

б) Докажете, че графиките на всички функции имат обща точка М и намерете координатите й; 2 точки

в) Намерете най-малкото лице, което може да има триъгълник с върхове точка М и двете пресечни точки на графиката на някоя от разглежданите функции с абсцисната ос. 3 точки

Доказано:

а) за всяко р. Следователно уравнението има два реални корена и и графиката пресича абсцисната ос в точките А( ; 0) и В( ; 0). 2 т.

б) Нека и са графиките на две от разглежданите фунции. Тяхната пресечна точка е с координати (1; 2011). Обратно точката М с тези координати лежи на графиката на всяка от функциите, защото . 2 т.

в) 1 т.

1 т.

- най-малкото лице, което може да има такъв триъгълник. 1 т.

11. клас


  1. В стая, в която температурата на въздуха била 0С, включили радиатор и температурата започнала постепенно да се повишава. След един час термометърът показвал 5С, а в края на третия час температурата в стаята била 10С. Ако с е означен ръстът на температурата през п-тия час от включването на радиатора, за всяко е в сила, че , където q е положително реално число.

а) Намерете q. 3 точки

б) Докажете, че през петия час температурата в стаята се е покачила с по-малко от 1 градус и в края на петия час термометърът е показвал по-малко от 12С. 4 точки

Намерено:

а) и . 1 т.

Но , 1 т.



. От уравнението намираме . 1 т.

б) .

1 т.

, което е вярно неравенство. 1 т.



2 т.


  1. Дадена е аритметичната прогресия

а) Ако и , намерете за кое п сборът е най-малък. 3 точки

б) Разликата на прогресията е равна на 1. Намерете стойностите на , ако за всяко п е изпълнено, че . 4 точки

а) Съставена системата и намерено 1 т.

1 т.

Извод, че няма най-малка стойност. 1 т.

б) .

Следователно търсим стойностите на , за които неравенството е изпълнено за всяко естествено число п.

1 т.

Корените на уравнението са и .



Ако , т.е. , решенията на неравенството са . Всяко естествено число n е решение на неравенството, ако , т.е. .

1,5 т.


Ако , т.е. , решенията на неравенството са . За да бъде всяко естествено число решение на неравенството, трябва , т.е. .

Окончателно . 1,5 т.



  1. Лицето на триъгълника АВС е равно на , където ВС = а, АС = b.

а) Намерете ъглите на триъгълника. 3 точки

б) При ротация с център С и ъгъл 30 отсечката АВ се изобразява в А1В1. Ако , докажете, че лицето на общата част на триъгълниците АВС и А1В1С е равно на . 4 точки

а) Нека . Тогава 1 т.

От и



, . 2 т.

б) Нека .

Последователно се доказва, че:

;

;

. 1 т.

От АС = ВС = 1.

В

1 т.


От

1 т.




1 т.

12. клас


  1. Дадено е уравнението , където а е параметър.

а) Решете уравнението при а = 3. 2 точки

б) Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има точно две отрицателни решения. 5 точки

а) При а = 3 получаваме . 1 т.

Корените на уравнението се получават от уравненията и .

Първото уравнение няма решение, а от другите следва, че и .

1 т.

б) След полагане на получаваме



1 т.

Един от корените на уравнението е х = 1. Следователно уравнението ще има точно две отрицателни решения, ако квадратното уравнение има единствен корен в интервала (0; 1), различен от . 1 т.

1 сл. D = 0. . При а = 6 уравнението има двоен корен, равен на 3 – не е решение ( ). При а = 2 уравнението има двоен корен, равен на 1. Но от - не е отрицателно число. Следователно а = 2 не е решение. 1 т.

2 сл. D > 0. Уравнението ще има единствен корен в интервала (0; 1), ако



. 1 т.

Числото е корен на уравнението , ако . При уравнението има единствен корен от интервала (0; 1), но той е и първоначалното уравнение ще има само един отрицателен корен 1. Следователно не е решение. Окончателно . 1 т.



  1. Окръжността k е вписана в правоъгълния триъгълник АВС , а окръжността с радиус, равен на , се допира външно до k и до катетите на триъгълника.

а) Намерете радиуса на окръжността k. 3 точки

б) Ако , докажете, че . 4 точки

а) Нека окръжностите k и k1 са съответно с центрове О и О1 и радиуси r и r1. Тогава О1М = МС = r1, О1С = , OP = PC = r, OC = . 1 т.

Но О1O = r +r1 = . 1 т.


. 1 т.

б) От триъгълниците AQO и BQO следва, че и . 1 т.



1 т.

2 т.

  1. Ръбът AD на триъгълната пирамида ABCD е перпендикулярен на основата АВС.

а) Докажете, че ортоцентърът на триъгълника АВС се проектира върху равнината (BCD) в ортоцентъра на триъгълника BCD. 4 точки

б) Намерете обема на пирамидата, ако , а ръбът AD сключва с равнината (BCD) ъгъл, чийто косинус е равен на . 3 точки

а) Нека върхът А се проектира върху равнината (BCD) в точка А1, а ортоцентърът Н на триъгълника АВС – в точка Н1.

От (теорема за трите перпендикуляра). 1 т.

Нека АМ се проектира върху равнината (BCD) в А1М. Тъй като А1МВС .

Следователно и . 1 т.

От Н ортоцентър на триъгълника АВС следва, че , а от .

Тогава от теоремата за трите перпендикуляра следва, че . Но и и следователно е ортоцентър на триъгълника BCD. 2 т.

б) , тъй като е проекцията на DA върху равнината (BCD). 0,5 т.



(височина в равностранния триъгълник АВС).

. 1 т.

От правоъгълния триъгълник AMD получаваме



От . Тогава . 1 т.

. 0,5 т.




Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница