Апроксимация, устойчивост по начални данни, монотонност и сходимост на явния метод на Ойлер.
Грешка на апроксимацията.
По (25) и (22) имаме:
,
ако . Нека . Тогава
(26) .
Следователно локалната грешка на апроксимация и грешката на апроксимация върху мрежата са от първи ред по отношение на .
Устойчивост по начални данни и монотонност.
Изследваме ги върху моделната задача
,
.
За да бъде изпълнено неравенство, аналогично на (10)
за ,
достатъчно е
(27) .
Дясното неравенство е изпълнено за всяко , а лявото - при следното условие за стъпката :
(28) .
Казва се, че явният метод на Ойлер е условно абсолютно устойчив абсолютно устойчив при изпълнение на условието (28).
За да бъдат изпълнени неравенства, аналогични на (12):
при , при , ,
достатъчно е
(29) .
Казва се, че явният метод на Ойлер е условно монотонен - монотонен при изпълнение на условието (29). Да отбележим, че условието за монотонност (29) е по-силно от условието за устойчивост.
Сходимост и оценка на грешката.
Дефинираме мрежова функция:
(30) , ,
която се нарича грешка на диференчния метод.
Ако
при ,
казва се, че диференчният метод е сходящ - има сходимост на приближеното решение към точното. Ако , казва се, че сходимостта (скоростта на сходимост) е от ред .
Да изследваме сходимостта на явния метод на Ойлер. Приближеното решение удовлетворява (22), а поради грешката на апроксимация и грешките от закръгляванията на всяка стъпка мрежовата функция , съответстваща на точното решение , ще удовлетворява диференчните уравнения
(31) .
Изваждаме уравнението (22) от (31) и за грешката получаваме диференчната задача:
(32) ,
(33) .
Като използваме условието на Липшиц (3) за , последователно получаваме
,
.
Нека , , , и да използваме неравенството :
.
Следователно
(34) , .
Нека и . Тогава при всяко фиксирано
при и следователно
(35) .
И така, ако функцията удовлетворява условието на Липшиц (3), и ако предположим, че грешката на началните данни е нула и не се правят грешки от закръглаване, то имаме сходимост на приближеното решение към точното и сходимостта е от първи ред. Да обърнем внимание обаче, че константата зависи от дължината на интервала , от и от .
Нека сега и . Както се вижда от (34), при всяко фиксирано грешката остава ограничена, но при тя расте експоненциално по .
Както всяка теоретична оценка, оценките (34) и (35) са завишени и съдържат предварително неизвестна информация за търсеното решение. Те обаче дават информация за източниците на реалната грешка в числените резултати. По-нататък ще се запознаем с метода на Рунге за практическа оценка на грешката.
Сподели с приятели: |