9. Ранг на матрица. Ранг на система вектори.
11 12 ……1n
21 22 ……2n
A = ………………… Fmxn;
…………………
m1 m2 ……mn
Нека k N, 1 k n, 1 k m;
в матрицата А избираме произволни k реда и k стълба;
нека избраните редове имат номера i1 < i2 … < ik;
нека избраните стълбове имат номера j1 < j2 … < jk;
ако задраскаме избраните редове и стълбове ще получим детерминанта от ред k:
i1, j1 i1, j2 …… i1, jk
i2, j1 i2, j2 …… i2, jk
………………………
………………………
ik, j1 ik, j2 ……ik, jk
Тази детерминанта се нарича минор на матрицата А от ред k;
Казваме, че матрицата А има ранг r, ако А има поне един минор от ред r, който е различен от 0 и всички минори на А от ред r+1 са равни на 0; тогава всички минори от ред r+2, r+3, …, min(m, n) са равни на 0 – ако развием минорите от ред r+2 по един ред или стълб за адюнгираните количества получаваме минори от ред r+1, които са нули (знакът пред адюнгираното количество няма значение);
за A = O по дефиниция r = O;
за A O, r N, 1 r min(m,n);
означение: r(A) – рангът на матрицата А;
Пример:
-1 0 1 2
Нека А = 2 1 0 3 Fmxn;
0 1 2 7
тук m = 3, n = 4;
r (A) { 1, 2, 3}, тъй като A O;
един минор от първи ред различен от 0 е елементът в първия ред и първия стълб на матрицата;
един минор от втори ред, различен от 0 е минорът в горния ляв ъгъл на матрицата;
след непосредствена проверка се убеждаваме, че всеки от четирите минора от ред 3 е равен на нула
r (A) = 2;
Свойства:
а) r (A) не се променя при разместване на редове или стълбове – това е така защото в такъв случай минорите, които са засегнати от преобразуванията променят най-много знака си;
b) за всяко А е в сила: r (At) = r (A) – това е така, защото при транспониране, всички минори запазват стойностите си;
V – линейно пространство; c1, c2, …, ct V – крайна система вектори (1 t < )
Дефиниция: Системата има ранг r (r N), ако в системата има r на брой линейно независими вектори и всеки r+1 вектори в системата са линейно зависими; тогава всеки r+2, r+3, …, t вектора са линейно зависими;
рангът на една система вектори е максималният брой линейно независими вектори в нея; 1 r t; r = t c1, c2, …, ct – линейно независими;
ако ci = за всяко i = 1, 2, …, t, казваме че рангът на системата е 0;
означение: r (c1, c2, …, ct) – рангът на системата c1, c2, …, ct;
Свойство: r (c1, c2, …, ct) = dim ℓ (c1, c2, …, ct);
Доказателство:
Ако r (c1, c2, …, ct) = 0, то свойството очевидно е изпълнено;
нека r (c1, c2, …, ct) = r, 1 r t;
нека например c1, c2, …, cr са линейно независими;
разглеждаме ck за (r+1 k t);
ако ck ℓ (c1, c2, …, cr) c1, c2, …, cr, ck са линейно независими (от лема в 7 въпрос), но те са r+1 на брой – противоречие с дефиницията за ранг ck ℓ (c1, c2, …, cr) за k = r+1, r+2, ..., t;
за всяко x ℓ (c1, c2, …, ct): x ℓ (c1, c2, …, cr);
c1, c2, …, cr – линейно независими; ℓ (c1, c2, …, cr) = ℓ (c1, c2, …, ct)
c1, c2, …, cr е базис на ℓ (c1, c2, …, ct)
dim ℓ (c1, c2, …, ct) = r = r (c1, c2, …, ct);
Разглеждаме произволна матрица A = (ij) Fmxn;
Означаваме с вектори-редове:
а1 = (11 12 ... 1n);
а2 = (21 22 ... 2n);
…
аm = (m1 m2 ... mn);
a1, a2, …, am Fn;
Означаваме с вектори-стълбове:
b1 = (11 21 ... m1);
b2 = (12 22 ... m2);
…
bn = (1n 2n ... mn);
b1, b2, …, bn Fm;
Теорема за ранга: В сила е: рангът на системата вектори-редове е равен на ранга на системата вектори-стълбове и е равен на ранга на матрицата А. r (a1, a2, …, am) = r (b1, b2, …, bn) = r (A);
Доказателство:
Ще докажем, че r (b1, b2, …, bn) = r (A);
тогава r (a1, a2, …, am) = r (At) = r (A);
ако A = O, то твърдението е очевидно, тъй като и трите ранга са нули;
нека A O;
за краткост означаваме r (A) = r (1 r min(m,n) );
без ограничение на общността можем да считаме,
че минорът от ред r
11 12 ……1r
21 22 ……2r
= …………………
…………………
r1 r2 ……rr
е различен от нула; ако е равен на нула, тогава след разместване на редове и на стълбове, можем да разположим ненулев минор на това място;
разглеждаме векторите-стълбове b1, b2, …, br, br+1, …, bn;
b1, b2, …, br са линейно независими, защото в противен случай стълбовете на ще се окажат линейно зависими и = 0 (въпрос 2) – противоречие;
ще докажем, че br+1, br+2, …, bn ℓ (b1, b2, …, br);
фиксираме k (r+1 k n);
за i = 1, 2, …, m разглеждаме следната детерминанта:
11 12 ……1r 1k
21 22 ……2r 2k
Di = ………………………
………………………
r1 r2 …… rr rk
i1 i2 …… ir ik
Ако 1 i r, тогава последният ред на Di съвпада с i-тия ред на Di
Di = 0;
Ако r+1 i m, тогава Di е минор от ред r+1 в матрицата А Di = 0;
получихме, че Di = 0 за всяко i = 1, 2, …, m;
Нека в Di – A1, A2, …, Ar са адюнгираните количества на елементите
i1, i2, …, ir; очевидно адюнгираното количество на ik е ;
развиваме Di по последния ред:
i1.A1 + i2.A2 + … + ir.Ar + ik. = Di = 0, 0;
ik = – A1/ . i1 – A2/ . i2 – … – Ar/ . ir;
означаваме i = – Ai/ за i = 1, 2, …, r;
адюнгираните количества A1, A2, …, Ar не съдържат елементи от последния ред 1, 2, …, r не зависят от индекса i
ik = 1.i1 + 2.i2 + … + r.ir за всяко i = 1, 2, …, m;
но това означава, че bk = 1.b1 + 2.b2 + … + r.br за k = r+1, r+2, ..., n;
ℓ (b1, b2, …, br) = ℓ (b1, b2, …, bn) векторите b1, b2, …, br образуват базис на ℓ (b1, b2, …, bn), тъй като са линейно независими
r (b1, b2, …, bn) = dim ℓ (b1, b2, …, bn) = r = r (A);
Сподели с приятели: |