Ранг на матрица. Ранг на система вектори

9. Ранг на матрица. Ранг на система вектори.

₂₁ ₂₂ ……_2n

A = …………………  Fm_xn;

…………………

в матрицата А избираме произволни k реда и k стълба;

нека избраните редове имат номера i₁ < i₂ … < i_k;

нека избраните стълбове имат номера j₁ < j₂ … < j_k;

ако задраскаме избраните редове и стълбове ще получим детерминанта от ред k:

_{i1, j1} _{i1, j2} …… _{i1, jk}

_{i2, j1} _{i2, j2} …… _{i2, jk}

………………………

………………………

_{ik, j1} _{ik, j2} ……_{ik, jk}
Тази детерминанта се нарича минор на матрицата А от ред k;
Казваме, че матрицата А има ранг r, ако А има поне един минор от ред r, който е различен от 0 и всички минори на А от ред r+1 са равни на 0; тогава всички минори от ред r+2, r+3, …, min(m, n) са равни на 0 – ако развием минорите от ред r+2 по един ред или стълб за адюнгираните количества получаваме минори от ред r+1, които са нули (знакът пред адюнгираното количество няма значение);

за A = O по дефиниция r = O;

за A  O, r  N, 1  r  min(m,n);

означение: r(A) – рангът на матрицата А;

Пример:

-1 0 1 2

0 1 2 7

 r (A)  { 1, 2, 3}, тъй като A  O;

един минор от първи ред различен от 0 е елементът в първия ред и първия стълб на матрицата;

един минор от втори ред, различен от 0 е минорът в горния ляв ъгъл на матрицата;

след непосредствена проверка се убеждаваме, че всеки от четирите минора от ред 3 е равен на нула

 r (A) = 2;

а) r (A) не се променя при разместване на редове или стълбове – това е така защото в такъв случай минорите, които са засегнати от преобразуванията променят най-много знака си;

b) за всяко А е в сила: r (A^t) = r (A) – това е така, защото при транспониране, всички минори запазват стойностите си;
V – линейно пространство; c₁, c₂, …, c_t  V – крайна система вектори (1  t < )

Дефиниция: Системата има ранг r (r  N), ако в системата има r на брой линейно независими вектори и всеки r+1 вектори в системата са линейно зависими; тогава всеки r+2, r+3, …, t вектора са линейно зависими;

рангът на една система вектори е максималният брой линейно независими вектори в нея; 1  r  t; r = t  c₁, c₂, …, c_t – линейно независими;

ако c_i =  за всяко i = 1, 2, …, t, казваме че рангът на системата е 0;

означение: r (c₁, c₂, …, c_t) – рангът на системата c₁, c₂, …, c_t;

Доказателство:

Ако r (c₁, c₂, …, c_t) = 0, то свойството очевидно е изпълнено;

нека r (c₁, c₂, …, c_t) = r, 1  r  t;

нека например c₁, c₂, …, c_r са линейно независими;

разглеждаме c_k за (r+1  k  t);

ако c_k  ℓ (c₁, c₂, …, c_r)  c₁, c₂, …, c_r, c_k са линейно независими (от лема в 7 въпрос), но те са r+1 на брой – противоречие с дефиницията за ранг  c_k  ℓ (c₁, c₂, …, c_r) за k = r+1, r+2, ..., t;

 за всяко x  ℓ (c₁, c₂, …, c_t): x  ℓ (c₁, c₂, …, c_r);

c₁, c₂, …, c_r – линейно независими; ℓ (c₁, c₂, …, c_r) = ℓ (c₁, c₂, …, c_t)

 c₁, c₂, …, c_r е базис на ℓ (c₁, c₂, …, c_t) 

dim ℓ (c₁, c₂, …, c_t) = r = r (c₁, c₂, …, c_t);
Разглеждаме произволна матрица A = (_ij)  Fm_xn;

Означаваме с вектори-редове:

а₁ = (₁₁ ₁₂ ... _1n);

а₂ = (₂₁ ₂₂ ... _2n);

…

а_m = (_m1 _m2 ... _mn);

Означаваме с вектори-стълбове:

b₁ = (₁₁ ₂₁ ... _m1);

b₂ = (₁₂ ₂₂ ... _m2);

…

b_n = (_1n _2n ... _mn);

Доказателство:

Ще докажем, че r (b₁, b₂, …, b_n) = r (A);

тогава r (a₁, a₂, …, a_m) = r (A^t) = r (A);

ако A = O, то твърдението е очевидно, тъй като и трите ранга са нули;

нека A  O;

за краткост означаваме r (A) = r (1  r  min(m,n) );

без ограничение на общността можем да считаме,

че минорът от ред r

₁₁ ₁₂ ……_1r

₂₁ ₂₂ ……_2r

 = …………………

…………………

_r1 _r2 ……_rr

b₁, b₂, …, b_r са линейно независими, защото в противен случай стълбовете на  ще се окажат линейно зависими и  = 0 (въпрос 2) – противоречие;

ще докажем, че b_r+1, b_r+2, …, b_n  ℓ (b₁, b₂, …, b_r);

фиксираме k (r+1  k  n);

за i = 1, 2, …, m разглеждаме следната детерминанта:

₁₁ ₁₂ ……_1r _1k

₂₁ ₂₂ ……_2r _2k

D_i = ………………………

………………………

_r1 _r2 …… _rr _rk

_i1 _i2 …… _ir _ik
Ако 1  i  r, тогава последният ред на D_i съвпада с i-тия ред на D_i

 D_i = 0;

Ако r+1  i  m, тогава D_i е минор от ред r+1 в матрицата А  D_i = 0;

получихме, че D_i = 0 за всяко i = 1, 2, …, m;

Нека в D_i – A₁, A₂, …, A_r са адюнгираните количества на елементите

_i1, _i2, …, _ir; очевидно адюнгираното количество на _ik е ;

_i1.A₁ + _i2.A₂ + … + _ir.A_r + _ik. = D_i = 0,   0;

 _ik = – A₁/ . _i1 – A₂/ . _i2 – … – A_r/ . _ir;

означаваме _i = – A_i/ за i = 1, 2, …, r;

адюнгираните количества A₁, A₂, …, A_r не съдържат елементи от последния ред  ₁, ₂, …, _r не зависят от индекса i

 _ik = ₁._i1 + ₂._i2 + … + _r._ir за всяко i = 1, 2, …, m;

но това означава, че b_k = ₁.b₁ + ₂.b₂ + … + _r.b_r за k = r+1, r+2, ..., n;

 ℓ (b₁, b₂, …, b_r) = ℓ (b₁, b₂, …, b_n)  векторите b₁, b₂, …, b_r образуват базис на ℓ (b₁, b₂, …, b_n), тъй като са линейно независими

 r (b₁, b₂, …, b_n) = dim ℓ (b₁, b₂, …, b_n) = r = r (A);