Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

Понятия свързани с изброимост

Нека X е множество; казваме, че X е изброимо множество, ако съществува биекция f : N  X;

условия за биекция: ако n₁  n₂, то f (n₁)f (n₂) (инекция) и

за всяко x  X съществува n  N, такова че f (n) = x (сюрекция);

X е изброимо, ако елементите му могат да се наредят в редица, в която няма повтарящи се елементи;
Твърдение: Множеството Q е изброимо.

Доказателство: Нека за определеност p и q са взаимно прости, q > 0, нулата е представена еднозначно като (0/1). Дефинираме височина на рационално число p/q = |p| + q; |p|+ q > 0; очевидно съществуват краен брой рационални числа с фиксирана височина; номерираме последователно числата, като започваме от тези с височина 1 (0/1), след това с височина 2 ( -1/1, 1/1 ) и т.н.; с това доказахме, че съществува биекция f : N  Q;

x₀ = x₀⁰, x₁⁰ x₂⁰…x_n⁰ …;

x₁ = x₀¹, x₁¹ x₂¹…x_n¹ …;

x₂ = x₀², x₁² x₂²…x_n² …;

…

x_n = x₀ⁿ, x₁ⁿ x₂ⁿ…x_nⁿ …;

Нека x = x₀, x₁x₂…x_n…, освен това нека:

x₀  x₀⁰; x₁  x₁¹, 9; x₂  x₂², 9; …; x_n  x_nⁿ, 9;…

Твърдим, че числото x не фигурира в редицата; това е така, тъй като то съдържа безброй много цифри и се различава от всяко число в редицата поне по една цифра; избягваме девятките, за да не се получи двусмислието, коментирано по-горе;

1. Семинарни занятия

• Математическа индукция

Дадена е безкрайна редица от твърдения:

T₁, T₂, …, T_n, …;

Дадено е, че:

1. 
   T₁ е вярно;
   
2. 
   За всяко n  N е изпълнено: ако T_n е вярно, то T_n+1 също е вярно;
   

n

Неравенство на Коши: (a₁+a₂+…+a_n)/n   a₁.a₂…a_n;

Лема: Нека са дадени k положителни числа A₁, A₂, …, A_k, такива че: A₁.A₂…A_k = 1  А₁ + А₂ + ... + A_k  k;

Доказателство:

Индукция по k;

1. 
   База: при k = 1 – A₁ = 1  1 = k; твърдението е вярно;
   

2 + (A₁ – 1)²/A₁  2; твърдението е вярно;

1. 
   Стъпка: Нека твърдението е изпълнено за k; т.е.
   

Нека А_i са положителни числа и A₁.A₂…A_k.A_k+1 = 1;

А₁ + А₂ + ... + А_k.A_k+1  k (по допускане) 

A₁ + A₂ + … + A_k-1  k – A_k.A_k+1;

A₁ + A₂ + … + A_k + A_k+1  k – A_k.A_k+1 + A_k + A_k+1 =

= k + 1 + A_k – 1 + A_k+1 – A_k.A_k+1 = k + 1 + (A_k – 1).(1 – A_{k +1});

Без ограничение на общността можем да смятаме, че A_k е най-голямото число, а A_k+1 е най-малкото число от A₁, A₂, …, A_k, A_k+1;

тъй като А₁.А₂...А_k+1 = 1  A_k  1, A_k+1  1  (A_k – 1). (1 – A_k+1)  0 

 A₁ + A₂ + … + A_k + A_{k +1}  k + 1 + (A_k – 1). (1 – A_k+1)  k + 1  твърдението е изпълнено за k+1; от метода на математическата индукция  твърдението е изпълнено за всяко k  N;

n
(a₁+a₂+…+a_n)/n   a₁.a₂…a_n 

n

n

n

n
Полагаме a_i/  a₁.a₂…a_n = A_i  A₁.A₂…A_n = 1; използваме лемата:

и получаваме A₁ + A₂ + … + A_n  n, а това е точно горното неравенство;
Неравенство на Бернули: (1 + x)ⁿ  1 + n.x; n  N, x  R, x  –1
Други неравенства:

(1 + 1/n)^k  1 + k/n + k²/n²

Доказателство: Индукция по k (n го мислим фиксирано);

(n/3)ⁿ < n! < (n/2)ⁿ, n  6

Доказателство: Индукция по n;

Полиноми. Принцип за сравняване на коефициентите. Приложение.

P_n (x) = a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + a₁.x + a₀; n  N₀; x, a_k  R; a_n  0;

1. 
   Произведението на два полинома от степен n и m е полином от степен n+m;
   
2. 
   Сумата на два полинома от степен n и степен m e полином от степен  max (n, m), когато полиномите не са с еднакви степени и с противоположни коефициенти;
   
3. 
   Разлика на два полинома от степен n и степен m е полином от степен  max (n, m), когато полиномите не са с еднакви степени и еднакви коефициенти;
   

ако x =  е корен на P_n (x), т.е. P () = 0, то съществува полином Q_n-1 (x) от степен n-1, такъв че P_n (x) = ( x -  ). Q_n-1 (x) или P_n (x) се дели без остатък на x - ;

Доказателство: Индукция по n + лема на Безу;

Ако P (x_k) = Q (x_k) за x₁ < x₂ < … < x_n < x_n+1; k = 1, 2, …, n, n+1

 P (x)  Q (x);

Доказателство: Допускаме, че P (x) не съвпада с Q (x); тогава полиномът R (x) = P (x) – Q (x) е от степен  n; нo R (x) е от степен  n и се анулира за n+1 стойности, което е в противоречие с горното твърдение  P (x)  Q (x);

x₁ < x₂ …< x_n < x_n+1; тогава съществува точно един полином P (x), такъв че P (x_k) = y_k за k = 1, 2, …, n, n+1;

Доказателство: Единствеността е пряко следствие от принципа за сравняване на коефициентите;

Съществуване: Интерполационна формула на Ла Гранж:

n

(x – x₁).(x – x₂)….(x – x_k-1 ).(x – x_k+1)….(x – x_n+1)

k=1

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: