Електрическо разместване. Постулат на Максуел

Да разгледаме тялото А с каква да е форма, което е заредено с положително количество електричество Q. Ще считаме, че тялото А е поставено в диелектрик в общия случай нееднороден и анизотропен с абсолютна диелектрична проницаемост . Нека мислено обхванем тялото А със затворената повърхност S разположена в диелектрика (фиг.1.21).

Фиг.1.21.

При увеличаване на свободния заряд Q на тялото А от нула до неговата крайна стойност в диелектрика се е усилвало електрическото поле и се е увеличавала неговата поляризация. През елементарната повърхност ds пренесеният заряд на поляризацията е . В процеса на установяване на електрическото поле е станало изместване на елементарните частици притежаващи електрически заряд, влизащи в състава на веществото на диелектрика и през затворената повърхност S е бил пренесен заряда Q_р. Този заряд може да бъде представен във вида:

(1.21) ,

където е векторът на поляризацията в точките от повърхността S.

Ако свободният заряд на тялото А е положителен, то и пренесеният заряд през повърхността S е също положителен и обратно.

В обема на пространството, ограничено от повърхността S освен свободният заряд Q, се появява така наречения свободен заряд, т.е. заряда на частиците свързани с вътрешномолекулярни сили, но вече не компенсиращ се със заряда от другия знак.

В случай на еднороден диелектрик, свързаният заряд се появява на границата на диелектрика, около повърхността на заредения проводник (тяло А), където се оформят заряди на диполи от един знак, противоположен на заряда Q на проводника (тяло А).

Съществено е да отбележим, че независимо от това, къде са изместени свързаните заряди, трябва да има място очевидното равенство:

(1.22)

Действително, до образуването на електрическото поле обемната плътност на електрическия заряд в диелектрика навсякъде е била равна на нула и свързаният заряд също е бил равен на нула. Затова появата на избит свързан заряд от един знак в обема, ограничен от повърхността S след установяване на полето е възможно само следствие на това, че през повърхността S се пренасят преместените в процеса на поляризацията заредени частици със заряд Q_р. При това абсолютните стойности на и са равни, но самите величини и Q_р трябва да бъдат противоположни по знак, тъй като ако положителният заряд се премества през повърхността S от вътре навън, то в обема ограничен от тази повърхност S, ще се образува излишък от отрицателен заряд. И така имаме:

(1.23)

Отчитайки влиянието на поляризацията за появяване на свързания заряд , ние трябва да разглеждаме полето като съществуващо в пустотата, но създадено не само от свободния заряд Q на тялото А, а и от свързания заряд . Съответно можем да напишем теоремата на Гаус във вида:

(1.24)

Умножавайки дясната и лявата част на равенството (1.24) с , получаваме:

.

От тук намираме:

Означавайки чрез вектора равен на сумата от векторите и , получаваме:

(1.25)

Векторът се нарича вектор на електрическата индукция (електрическо разместване). Следователно достигаме до израза:

(1.26)

т.е. потокът на вектора електрическо разместване през затворена повърхност по посока на външната нормала е равен на свободния електрически заряд, затворен в част от пространството, ограничено от тази повърхност.

В последната зависимост (1.26) с е означен ъгъла между вектора и положителната нормала към елемента ds и повърхността S (фиг.1.21).

Втората съставяща на вектора на електрическото разместване (1.25) се представя като резултат на разместване на елементарните частици притежаващи заряди, влизащи в състава на веществото на диелектрика през повърхност перпендикулярна на посоката на разместване на тези частици.

Първата съставяща на вектора на електрическото разместване (1.25), която означаваме с не се явява в резултат на разместване на електрически заредени частици през някаква повърхност, тъй като тя се отнася за електрическо поле в пустота, т.е. за тази област от пространството, в която липсват заредени частици. Величината така както и интензитета на електрическото поле , характеризира самото електрическо поле в дадена негова точка.

Зависимостта (1.26) т.е. се нарича постулат на Максуел. Това е основно уравнение в теорията на електромагнитните явления.

За еднородна и изотропна среда са в сила теоремата на Гаус и постулата на Максуел . За изотропна среда , т.е. или . Ако разделим последното равенство на , т.е. получаваме израза , където е относителната диелектрична проницаемост, а е относителната диелектрична възприемчивост.

Теорема за съответстващите заряди.

Определяйки вектора на електрическа индукция във всички точки на полето, можем да прекараме редица линии по такъв начин, че във всяка точка допирателните към тях да съвпадат по посока с вектора на електрическата индукция. Тези линии се наричат линии на електрическата индукция. Съвкупността от линиите на електрическата индукция преминаващи през всички точки на контура ограничаващ някаква повърхност S, образуват тръбовидна повърхност, която отделя от цялото поле така наречената тръба на електрическата индукция. Линиите и тръбата на електрическата индукция започват от положителните заряди и завършват в отрицателните заряди.

Да установим връзката между зарядите и на края на тръбата на електрическата индукция (фиг1.22).

Прилагаме постулата на Максуел за затворената повърхност S образувана от околната повърхнина S₀ на тръбата на електрическата индукция на повърхностите S₁ и S₂ вътре в заредените проводящи тела, т.е.:

Но тъй като електрическо поле вътре в заредените тела 1 и 2 няма, понеже от което следва, че , а тъй като вектора се явява тангента в коя да е точка на повърхността S₀ и съответно . Следователно , т.е. всяка тръба на вектора електрическа индукция се опира в равни електрически заради но с обратни знаци.

Прилагайки постулата на Максуел за затворена повърхност образувана от повърхността S на някакво напречно сечение на тръбата, частта S₀ от околната повърхност на тръбата и повърхността S₁ намираме (фиг.1.23):

Фиг.1.23.

От постулата на Максуел при и ако векторите и са успоредни получаваме израза:

(1.27) .

Следователно , т.е. измерителната единица за величината електрическо разместване (електрическа индукция) е кулон върху квадратен метър.

9. 
   Електрически капацитет и кондензатори
   
   1. 
      Електрически капацитет на уединен проводник и на два проводника
      

Всеки проводник, който е достатъчно отдалечен от други проводници така, че тяхното присъствие (респективно електрическото им поле) да не му влияе, се нарича уединен проводник. Ако на такъв проводник се придаде определено количество електричество Q, в съответствие с него проводника ще има определен електрически потенциал V. Увеличеното количество електричество довежда до увеличаване на работата, която се извършва в проводника от зарядите, а това значи, че се увеличава неговият електрически потенциал. При намаляване на електрическия заряд се постига точно обратното- намаляване на електрическия потенциал. Следователно, на измененията на електрическия заряд на уединен проводник съответстват еднозначни изменения на неговия потенциал, т.е. между тези две величини съществува правопропорционална зависимост при положение, че диелектричната проницаемост на средата е постоянна величина, или Q=C.V, откъдето получаваме:

(1.28)

Коефициентът на пропорционалност С между електрическия заряд на проводника и неговия електрически потенциал се нарича електрически капацитет.

Следователно електрическият капацитет характеризира способността на всеки проводник да съхранява електрически заряди за сметка на увеличаването на електрическия си потенциал.

Електрическият капацитет на уединения проводник (тяло) зависи от геометричните параметри g, определящи формата и размерите на проводника (тялото), и от абсолютната диелектрична проницаемост на диелектрика, който го обкръжава, т.е. . Ако диелектрика е еднороден то .

Ако до зареждания проводник в непосредствена близост се намира друг неутрален проводник, то по силата на електростатичната индукция настъпва преразпределение на електрическите заряди в последния. Намиращите се в близост до заредения проводник противоположни по знак заряди от наелектризирания по индукция проводник довеждат до същия ефект, който беше описан по- горе- потенциала на заредения проводник се понижава без да се изменя зарядът му, т.е. увеличава се неговият капацитет. С приближаването на двата проводника един към друг неутрализационното действие се засилва, което значи, че капацитетът на проводника се увеличава. Следователно, капацитетът на един проводник силно се влияе от приближаването на друг проводник към него. Това е послужило като идея да бъде получен за практически цели голям капацитет от система проводници и по- специално на система от два проводника (тела).

Системата от два проводника (тела) специално създадена за използването на електрическия ù капацитет се нарича кондензатор.

В случая на два проводника (тела) заобиколени от диелектрик, при условие, че техните заряди са равни и противоположни по знак, т.е. , разликата в потенциалите на тези тела ще бъде пропорционална на заряда на едно от тези тела. При това величината:

се нарича електрически капацитет между тези тела. Той зависи от геометричните величини g определящи формата, размерите, и възможното разположение между телата, а също и от абсолютната диелектрическа проницаемост на диелектрика, т.е. . В случая на еднороден диелектрик .

Във формулата за капацитета между телата се взема заряда на това тяло, от което се отчита разликата в потенциалите. При това винаги С>0.

Измервателната единица за електрически капацитет в системата SI е фарад (F). Електрически капацитет един фарад има кондензатор, който увеличава напрежението между плочите си с един волт, ако му се придаде количество електричество един кулон.

В общият случай капацитетът между две тела се записва с израза:

(1.29)

За практически цели фарадът е много голяма величина и поради това неудобна за използване. Затова се прилагат нейните подразделения- микрофарад (), нанофарад и пикофарад.

2. 
   Изчисление капацитета на различни видове кондензатори
   

За да удовлетвори конструктивните изисквания кондензаторът трябва да притежава максимален капацитет при минимални размери. Това показва, че голям практически интерес представлява изчислението на капацитета на различните видове кондензатори.

1. 
   Капацитет на плосък кондензатор
   

Плосък кондензатор се нарича този, чийто плочи представляват плоски метални пластинки с повърхност S, успоредни една на друга, на разстояние l, между които се намира диелектрик с абсолютна диелектрична проницаемост (фиг.1.24).

Фиг.1.24.

Благодарение на успоредните пластинки полето на плоския кондензатор в по- голямата си част е хомогенно. Само в краищата на кондензатора то се изкривява и става нехомогенно, но тъй като линейните му размери са много по- големи, отколкото разстоянието между плочите, може с много голямо приближение да се смята, че електростатичното поле на плоския кондензатор е хомогенно.

Прилагайки постулата на Максуел , за повърхността S на едната пластинка, и имайки предвид, че полето е хомогенно , намираме напрежението между двете пластинки на кондензатора. При горното условие от постулата на Максуел получаваме:

Тогава за капацитета на плоския кондензатор получаваме израза:

(1.30)

Следователно капацитетът на плоския кондензатор е правопропорционален на повърхността на една от плочите му, обратнопропорционален на разстоянието между тях и зависи от вида на диелектрика.

Уравнението (1.30) дава възможност да се прецени, че най- рационалният начин за увеличаване на капацитета на плоския кондензатор е използване на диелектрици с голяма относителна диелектрична проницаемост и намаляване на дебелината на диелектрика. Трябва да се отбележи, че малката дебелина на диелектрика има пряко отношение към намаляване на пробивното му напрежение. Освен това, увеличаване на капацитета на кондензатора може да се постигне и чрез увеличаване на повърхността на плочите, стига това да не води до прекомерно увеличаване на неговия обем. Както се разбира от всичко това, при конструирането на даден тип кондензатори се подбира най- оптималното съчетание на тези параметри.

В практиката много често се срещат конструкции на многослойни кондензатори, които са образувани от няколко еднослойни (фиг. 1.25).

Едноименните пластинки на кондензатора са свързани с общи изводи. Ако n е броят на всички плочи на кондензатора, очевидно е, че те образуват помежду си (n-1) елементарни еднослойни кондензатора. В такъв случай капацитета на многослойния кондензатор е (n-1) пъти по- голям от капацитетите на еднослойния:

(1.31)

2. 
   Капацитет на цилиндричен кондензатор
   

Цилиндричният кондензатор е оформен от два съосни цилиндрични проводника 1 и 2 с дължина l, между които се намира пластът от диелектрик с абсолютна диелектрична проницаемост (фиг.1.26).

Проводникът 1 е плътен, зареден със заряд +Q, а проводникът 2 е кух, зареден със заряд – Q.

Да приложим постулатът на Максуел за повърхността S отстояща на разстояние r от центъра на проводник 1. Да разгледаме един лицев елемент от повърхността S. Нека вектора на електрическата индукция и вектора , които са по посока на положителната нормала към повърхността да са успоредни, при което записваме израза:

,

където , а е цилиндричната повърхнина отстояща на разстояние r от центъра на проводник 1.

Напрежението между проводниците 1 и 2 е:

.

В случая линейния елемент dl, т.е. елементарния път, по който става преместване на електрическия заряд Q съвпада с dr- елементарната дължина на радиуса r, т.е. dl= dr. Следователно:

Капацитетът между двата проводника се изразява с формулата, т.е. капацитетът на цилиндричния кондензатор се записва с израза:

(1.32) ..

По същото уравнение се определя и капацитетът на електрическите кабели, които представляват класически случаи на цилиндрични кондензатори със своето проводниково жило, металната си броня и изолацията между тях.

3. 
   Капацитет на сферичен кондензатор
   

Плочите на сферичния кондензатор са концентрични сфери, разделени с диелектрик с абсолютна диелектрична проницаемост .

Нека вътрешната сфера да има радиус , а външната радиус (фиг.1.27)

Фиг.1.27.

Вътрешната сфера 1 е плътна, заредена със заряд +Q, а външната сфера 2 е куха, заредена със – Q.

Да приложим постулата на Макуел за повърхността S отстояща на разстояние r от центъра на сфера 1. Да разгледаме един лицев елемент от повърхността S. Нека вектора на електрическата индукция и вектора , които са по посока на положителната нормала към повърхността , да са успоредни, при което записваме израза , където , а - е повърхността на сферата отстояща на разстояние r от центъра на сфера 1.

Напрежението между сфера 1 и сфера 2 е:

В случая линейният елемент dl, т.е. елементарният път, по който става преместване на електрическия заряд Q, съвпада с dr- елементарна дължина от радиуса r, т.е. dl= dr. Следователно:

Капацитетът между две сфери се изразява с формулата , т.е. капацитетът на сферичния кондензатор е:

(1.33) .

4. 
   Капацитет на уединено кълбо
   

Нека радиусът на сфера 2 клони към безкрайност, т.е. . Тогава капацитетът на уединеното кълбо се извежда по формулата за сферичния кондензатор, т.е.

или

Следователно капацитетът на уединеното кълбо (сфера) зависи от електрическите свойства на средата, в която е поставено кълбото и от радиуса му.

10. 
    Енергия на електрическото поле на кондензатор
    

В електрическото поле на един кондензатор се натрупва определен запас от енергия, който се определя от капацитета на кондензатора и напрежението на неговите плочи (електроди). Зареждането на кондензатора може да се разглежда като процес, при който се пренасят постепенно елементарни електрически заряди от единия електрод към другия. Ако зарядът на кондензатора се означи с Q, а напрежението между неговите електроди в даден момент от така представения процес е U, тогава елементарната работа, която ще извършат силите на полето за пренасяне на заряда dQ, ще бъде . Тази работа е равна на нарастването на енергията в полето на кондензатора. Понеже между заряда на кондензатора и напрежението между неговите електроди съществува зависимостта , се достига до израза .

Общата работа за създаване на електрическо поле в кондензатора се получава, като се интегрира при C=const горният израз от началния момент, когато зарядът на кондензатора е бил равен на нула, до произволен момент, в който зарядът е Q, т.е.

(1.35) .

Когато се получава равенството за работата, съответно за енергията на електрическото поле се използват още два израза:

(1.36) или