Характеристика на поле. Основни свойства на полетата с ненулева характеристика



Дата24.07.2016
Размер88.79 Kb.

Характеристика на поле. Основни свойства на полетата с ненулева характеристика.

Нека F е поле. Както доказахме при групите, в адитивната група на това поле е вярно равенството:


(mn) a = m (na) (1)
за всяко aF и всеки m, nQ равенството е доказано в мултипликативен вариант.
Твърдение 1: Нека F е поле и е е единичният елемент на това поле. Тогава
na = (ne)a , за всяко аF и всяко nZ (2)

m.ne = (me)(ne) (3)

Доказателство:

Доказателство на (2)

Ако n = 0, равенството (2) е очевидно. Нека n0. Разглеждаме два случая:

сл.1) n > 0


na == ==(ne)a
сл.2) n < 0. Нека n’ = -n. Тогава
na = , (*)
да забележим, че
a + (-e)a = ea + (-e)a = (e + (-e))a = 0.a = 0
следователно -a = (-e)a. Поради това от (*) получаваме

na = = =(ne)a,
тъй като по дефиниция = ne
Доказателство на равенството (3)

От (1) имаме: (mn)e = m(ne). Нека ne = a. Тогава m(ne) = ma. От (2) получаваме: ma=(me)a=(me)(ne).


Определение: Нека F е поле и еF е единичният елемент на това поле. Казваме, че полето F има характеристика нула, ако никое от кратните e, 2e, 3e, … , ne, … на единичния елемент не е равно на нула, т.е., когато единичният елемент е има в адитивната група на полето безкраен ред. Казваме, че полето F иам крайна характеристика, ако за някое естествено число n имаме ne = 0. Най-малкото естествено число n, за което ne = 0 се нарича характеристика на полето F и се бележи с char(F), т.е., ако F има крайна характеристика, тогава числото char(F) е реда на единичния елемент в адитивната група.
Твърдение 2: Ако F има крайна характеристика, тогава тя е просто число.
Доакзателство:

Нека char(F) = p. Ако допуснем, че p е съставно, т.е. p = pp, където 1< p<p, 1<p<p. Тогава имаме 0 = pe =( pp)e. Поради това от получаваме ( pe)( pe)=0. От дефиницията на характеристиката следва pe0 и pe0. Получихме, че в полето има делител на нулата, което е противоречие.



Примери:

  1. В числовите полета (подполетата на C) характеристиката е равна на нула, защото кратните на единицата са различни от нула.

  2. Разглеждаме факторпръстена Z = Z / pZ. За този пръстен ще докажем:


Твърдение 3: Ако p е просто число, тогава Z е поле, чиято характеристика е равна на p.
Доказателство:

Ясно е, че Z е комутативен пръстен и този пръстен има единица (единицата е съседният клас 1+pZ). Поради това трябва да проверим, че всеки ненулев съседен клас, т.е всеки съседен клас, който е различен от идеала pZ е обратим. Нека n + pZp Z. Това означава, че n не се дели на p. Понеже p е просто (p, n) = 1. Поради това u, v Z, такива, че 1 = un + vp. От последното равенство следва


1 + pZ = un + vp + pZ = un += un + pZ = (u+pZ)(n+pZ).
Следователно

1 + pZ = (u + pZ)(n + pZ).
От последното равенство става ясно, че съседният клас n + pZ е обратим. С това доказахме, че ако p е просто число Z е поле. В това поле имаме
=p(1+pZ)=p+pZ=pZ (нулевият елемент на Z).

Следователно char(Z)p. Ако kN и 1kp, тогава k(1+pZ) = k + pZ. Понеже k


k
не се дели на p. Това означава, че k+pZpZ. С това изяснихме, че char(Z) = p.
Твърдение 3: Нека F е поле и char(F)=p. Тогава pa=0 за всяко аF.
Доказателство:

Съгалсно равенството (2) имаме pa = (pe)a. Понеже pe=0 следва pa = 0.


Твърдение 4: Нека F е поле и char(F)=p. Ако а0 имаме

ma = 0 когато p дели m.
Доказателство:

I) Нека m = pm, тогава ma = (mp)a = m(pa) = 0, защото pa = 0.

II) Нека ma = 0. Нека m = pq + r, където 0rp. Трябва да докажем, че r = 0. Да допуснем, че r0, тогава ma=(pq + r)a=(pq)a + ra. Понеже ma = 0 и pa=0, следва, че ra=0. Тъй като r0 и rp това противоречи на дефиницията на характеристиката на полето F.
Твърдение 5: Нека F е поле и char(F)=p. Тогава
= +, за a, bF и kN.
Доказателство:
Доказателството ще направим по индукция относно k.

База: k=1. Имаме


(a + b)= a+ab+ . . . . +ab+b

A
се дели на p, ако 1k<p. Следователно всеки от коефициентите в A се дели на p. Съгласно Твърдение 4 всяко от събираемите в А е равно на нула и следователно е вярно (a+b)=a+b. С това базата на индукцията е доказана.

Нека k2. Тогава

=
Съгласно индуктивната хипотеза имаме
=+
Следователно
=.
Като пpиложим към последното равенство базата на индукцията
=+= +.

С последователно прилагане на Твърдение 5 получаваме:


Следствие:
Ще докажем следната:
Теорема: Нека F е поле и char(F)=p и еF е единичнят елемет. Тогава цикличната подгрупа на адитивната група на F, породена от е е подполе на F, кoето е изоморфно на полето Z.
Доказателство:

Както знаем от лекцията за цикличните подгрупи, цикличната подгрупа породена от e е


F’= {0, e, 2e, …, (p-1)e}
Също там изяснихме (в мултипликативен вариант), че
me F’ за mZ (*)
Знаем, че F е подгрупа на адитивната група на полето F. Тъй като eF’, то Fсъдържа ненулев елемент. Поради това остава да проверим, че F’ удовлетворява останалите две аксиоми за подполе. Нека ke,seF’, тогава съгласно равенството (3) имаме
(ke)(se)=(ks)(e)
От това равенство и (*) следва (ks)(se) F, с което доказахме, че произведението на два елемента от F също е елемент от F’. Остава да проверим, че обратният елемент на всеки ненулев елемент от F съще принадлежи на F’.

Нека keFи k0, т.е. 1kp-1. Понеже характеристиката е просто число(p, k)=1 Поради това u, vZ такива, че 1=uk + pv. С помощта на последното равенство и равенството (3) получаваме


e=1e=(uk + pv)e=(uk)e + (pv)e=(uk)e=(ue)(ke)
И така

e=(ue)(ke).
Следователно (ke) е обратим и (ke)= ue. Съгласно (*) ueF(ke) F’, с което доказахме , че F удовлетворява и последното изискване за поле.

Разглеждаме изображението


mme, mZ
, където е е единичният елемент на F. Ясно е, че
ZF.
Имаме
a+b(a+b)e = ae + be
и

ab(ab)e = (ae)(be) (от (3))
Следователно е хомоморфизъм на Z в полето F. От (*) става ясно, че Im()=F’. Последното равенство означава, че е епиморфизм на Z върху F’. Съгласно Теоремата за епоморфизмите на пръстени имаме, че Z/Ker() е изоморфен на F’. Ясно е, че
mKer() me = 0
Поради това от Твърдение 4 следва, че Ker()=pZ, с което доказахме, че Z/Z е изоморфно на полето F’. Понеже Z= Z/Z теоремата е доказана.
С тази теорема изяснихме, че всяко поле, чиято характеристика е простото число p, съдържа в себе си полето Z като подполе (в смисъл на този изоморфизъм). Поради това всяко поле с характеристика p може да се разглежда като разширение на полето Z.





База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница