Решенията се подготвят задължително в ръкописен вид и се поднасят за проверка в деня на семестриалния изпит. ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ Задача 1. Пресметнете детерминантите :
Чрез елементарни преобразувания и адюнгирани количества
Чрез елементарни преобразувания и адюнгирани количества
3.2 Пресметнете сумата на матрица и матрицата получена от адюнгираното количество на елемента на матрица ;
3.3 Да се докаже, че е неособена матрица.
Задача 4. Дадени са матриците:
и
4.1 Да се докаже, че е неособена матрица
4.2 Да се пресметне израза
4.3 Да се намери произведението и
4.4 Пресметнете разликата на матрицата получена от адюнгираното количество на елемента на матрица и матрицата получена от адюнгираното количество на елемента на матрица
Задача 5. Решете матричните уравнения:
5.1 5.2 Задача 6. Решете системите линейни уравнения чрез формулите на Крамер:
6.1 6.2 Задача 7. Решете системите линейни уравнения по метода на Гаус:
7.1 7.2 7.3 7.4 Задача 8. Решете системата линейни уравнения по два начина – чрез метода на Гаус-Жордан и като матрично уравнение:
Задача 9. Дадени са векторите относно декартова координатна система.
9.1 Намерете и ;
Задача 10. Дадени са точките A(-10,-1), B(1,-2), C(9,0) и D(-2,1), които са върхове на четириъгълник и правата .
а) Докажете, че точките B, C и D не лежат на една права и намерете лицето на
б) Напишете общото и скаларно-параметричното уравнение на медианата през върха B и на височината през върха С на
в) Намерете лицето на четириъгълника и координатите на пресечната точка на диагоналите му
г) Намерете симетричната точка на точката относно правата
д) Намерете разстоянието от точката до правата
Задача 11. Дадени са точките A(-1,5,7), B(3,4,9), C(3,8,2) и D(-1,0,10).
а) Докажете, че точките A, B и C не лежат на една права и намерете лицето на .
б) Докажете, че точките A, B, C и D не лежат в една равнина и намерете обема на тетраедъра определен от тези точки.
в) Намерете дължината на медианата през върха А и на височината през върха B в .
г) Намерете дължината на височината на тетраедъра , спусната от върха D.
Задача 12. Дадени са точките A(7,6,7), B(5,10,5), C(-1,8,9) и D(2,6,-3).
а) Докажете, че точките A, B, C и D не лежат в една равнина и намерете обема на тетраедъра, определен от тези точки.
б) Напишете скаларно-параметричното и общото уравнение на равнината , определена от точкитеA, B и C.
в) Напишете общото уравнение на равнината
г) Напишете скаларно-параметричното уравнение на равнината
д) Напишете скаларно-параметричното уравнение на правата