Видове оптимизация при проектиране
Изтегляне 125 Kb.
|
| Методи за изследване на функции чрез класическия анализ. Тези методи са подходящи за решаване на еднопараметрични оптимизационни задачи, при които е известен аналитичният израз на критерия за оптималност и няма ограничителни условия. Оптималното решение се търси чрез решаване на съответното уравнение, получено, като се приравни производната на функцията на нула. Допълнителни трудности могат да възникнат при анализа на условията за достатъчност, които дават възможност да се установи дали в дадена точка има или няма минимум или максимум
Метод на неопределените множители на Лагранж. Сложността на решаваните задачи е същата както при обикновените методи за изследване на функции, но тук има ограничения във вид на равенства. По принцип при допълнителни, условия (ограничения) задачата за търсене на екстремума на функция се заменя със задача за търсене на безусловен екстремум на функция и решението се свежда до изключване на неизвестни от целевата функция, като се съставят уравнения за връзки. Вариационно изчисление. То може да се приложи в тези случаи и за тези условия, които се формулират за диференциалното изчисление, но е неподходящо, когато критерият за оптималност е представен във вид на функционали и решението е неизвестна функция. Вариационното изчисление е обобщение на методите за вариационни изчисления на оптималните функции. Математическо програмиране. Прилага се за решаване на многомерни оптимизационни задачи при наличие на ограничителни условия. Линейно програмиране представлява съвкупност от методи за решаване на оптимизационни задачи, в които целевата функция и всички ограничения, влизащи в математическия модел, са във вид на линейни уравнения и неравенства. Нелинейното програмиране е обобщение на линейното програмиране за решаване на оптимизационни задачи с нелинейна целева функция и нелинейни ограничения. Методите за решаване на задачите на нелинейното програмиране могат да се прилагат в редица случаи, като се използуват итерационни методи. В тези случаи задачата отначало се линеаризира за малък интервал, тъй като новото решение се получава от резултатите на предишното. Итерационните методи позволяват да се решават само частни случаи на нелинейните оптимизационни задачи. Все още не е намерено решение на общата задача на нелинейното програмиране. Динамичното програмиране се прилага при инженерно-технически задачи, изискващи поетапно решаване, т.е. многостьпкови задачи. Задачите се наричат многостьпкови, когато е налице многостепенна структура на обекта или когато решението се „разбива" на последователни стъпки, съответствуващи на различни моменти от времето. Динамичното програмиране се прилага и в случаите, когато се решават многокритериални оптимизационни задачи при съвместими-критерии за оптималност. След определянето на локалните критерии се намира глобалният критерий като сума от локалните. Евристично програмиране. То не се отнася пряко към математическото програмиране. При него се прилагат методи, основаващи се на интуитивните съображения на специалистите за търсене на оптималното решение. Тези методи са в основата на експертните системи за вземане на решение. Видове оптимизационни задачи Решаването на еднопараметрични оптимизационни задачи е добре описано в литературата и не представлява трудност независимо от вида на задачите. Най-широко приложение намира методът на простата оптимизация, при който оптималното решение се намира чрез сравняване на възможните решения. В инженерната практика преобладават многопараметричните оптимизационни задачи. На пръв поглед разликата между методите за многопараметрична и еднопараметрична оптимизация е единствено в по-големите усилия и изразходване на повече машинно време. Това обаче не е вярно, тъй като природата на многомерното пространство значително се различава от тази на едномерното пространство. С нарастване на размерността намалява вероятността критерият за качество да бъде функция на всички независими променливи. Размерността на многомерното пространство също създава затруднения. Необходимите условия за получаване на зададен интервал на неопределеност нарастват експоненциално с увеличаване на размерността на пространството. Така например, ако в едномерното пространство са необходими 19 оценки на критерия, за да се постигне точност 0.1, то за постигане на същата точност в двумерното пространство са необходими 361 оценки, в тримерното - 6859 оценки, в четиримерното - 130321 оценки и т.н. Както се вижда, с нарастване на размерността броят на необходимите оценки се увеличава значително, ако се използуват еднопараметричните оптимизационни методи. За решаването на многопараметрични еднокритериални оптимизационни задачи най-широко се използуват методите на математическото програмиране. Най-общата постановка на задачата на математическото програмиране е следната: търси се екстремумът (минимум или максимум) на целевата функция при изпълнение на зададени ограничителни условия , като , където е броят на ограничителните условия; - броят на неизвестните. В зависимост от вида на математическия модел съществуват два вида задачи на математическото програмиране: линейни, когато всички ограничителни условия и целевата функция са линейни; нелинейни, когато някое от ограничителните условия или целевата функция са нелинейни. Ограничителните условия определят областта на възможните решения. Тази област може да бъде: затворена във вид на изпъкнал многоъгълник; отворена отгоре (задачата няма максимум); отворена отдолу (задачата няма минимум). Посредством целевата функция се намира самото оптимално решение. Постановката на задачата при линейното програмиране е следната. Търси се или на линейната целева функция при спазване на системата от ограничителни условия. Най-широко приложение намират следните методи на линейното програмиране: метод на последователното обхождане; симплекс-метод; метод на транспортната задача. Методът на последователното обхождане се прилага в случаите, когато броят на независимите променливи и броят на ограничителните условия . Записът на ограничителните условия трябва да бъде във вид на неравенства от вида „<". Симплекс-методът е универсален метод за решаване на многопараметрични задачи с голяма размерност. Възможни са следните случаи: ; : . Ограничителните условия трябва да бъдат във вид на равенства Методът на транспортната задача се използува за решаване на специфични оптимизационни задачи, свързани с разпределение на товари, управление на запаси и др. Задачите могат да са с произволна размерност. Обикновено като критерий за оптималност се взема „най-малки разходи”. Метод на последователното обхождане Като се има предвид посочената област на приложимост на метода на последователното обхождане, математическият модел за двупараметричната линейна оптимизационна задача добива вида: и целева функция . Ограничителните условия трябва да бъдат със следния запис: „лява част". < „дясна част". Ако има неравенства с обратен знак (>), те се умножават с (-1). Същност на метода. Последователно се разглеждат двойките ограничителни условия и се решават като система от две линейни уравнения с две неизвестни, като се взема случаят на равенство. За всяка двойка се определят стойностите на неизвестните х, и х2. С тези стойности се проверява дали са изпълнени останалите ограничителни условия. В случаите, когато има поне едно ограничително условие, което не е удовлетворено, тази комбинация се отхвърля и се преминава към следващата. Когато всички ограничителни условия са удовлетворени, тогава се изчислява стойността на целевата функция. След това се сравнява със стойностите от предишните решения, т.е. сравнява се с моментно определения екстремум. Принципът на сравнение е както при метода на простата оптимизация. След изчерпване на всички възможни комбинации от ограничителни условия се стига до намиране на оптималното решение. Алгоритъмът на метода на последователното обхождане може да се реализира като подпрограма за оптимизация при решаването на разнообразни инженерно-технически задачи. Симплекс метод Симплекс-методът е итерационен (многостъпков) метод за решаване на многопараметрични линейни оптимизационни задачи. Оптималното решение се намира чрез насочено изследване на множество възможни решения при гарантирано преминаване към по-добро решение. Броят на възможните решения е неколкократно по-голям от броя на стъпките за намиране на оптималното решение. По такъв начин се намалява времето за намиране на оптималното решение. Броят на възможните решения е в пряка зависимост от броя на неизвестните и от броя на ограничителните условия Характерни са следните етапи на работа: - намиране на начално (базисно) решение; - проверка на решението за оптималност; - преминаване към ново базисно решение, в случай че критериите за оптималност не са удовлетворени. Вторият и третият етап се повтарят, докато се намери оптималното решение. За прилагането на метода се изисква познаването на едно начално базисно решение. Такова решение има, когато системата от ограничителни условия се представи в базисен вид: условията са във вид на равенства; свободните членове са неотрицателни; във всяко уравнение се съдържа по едно неизвестно с коефициент единица, което не се съдържа в никое от останалите уравнения. Тези коефициенти образуват единична матрица, чиято детерминанта е равна на единица. Ако няма такива неизвестни, работи се с т. нар. изкуствен базис, т.е. въвеждат се нови неизвестни, чийто брой е равен на броя на ограничителните условия. При използуване на симплекс-метода се работи със симплекс-таблици. Метод на транспортната задача Методът на транспортната задача се използува за решаване на линейни оптимизационни задачи с много голям брой неизвестни. Приложим е в редица специфични случаи, когато се решават разпределителни и транспортни задачи. Формулировката на транспортната задача е следната. Нека в пункта се произвежда или съхранява даден еднороден продукт в количества съответно единици. Нека този продукт се употребява от потребители с потребителски нужди съответно единици. Предполага се, че продуктът може да се транспортира от кой да е производствен пункт . до кой да е потребител Нека разходите за превоз на единица продукт от до да бъдат равни на парични единици, като . Изисква се сумарните разходи да бъдат минимални. Задачата се състои в съставянето на план на превозите, т.е. количеството което трябва да се извози от всеки производствен пункт. до всеки потребител така че сумарните транспортни разходи да са минимални. Когато сумата от производствените наличности е равна на сумата от всички потребности, т.е. задачата се нарича транспортна задача затворен модел. Това е класическата транспортна задача. Срещат се и транспортни задачи, при които посоченото условие е нарушено. В тези случаи транспортната задача е с нарушен баланс, или транспортна задача отворен модел. Тези задачи се свеждат към класическите транспортни задачи, като се въвежда фиктивен приемателен пункт или фиктивен отправен пункт При класическите транспортни задачи броят на ненулевите неизвестни не може да бъде по-голям от . При решаване на транспортните задачи се използуват следните методи: метод на северозападния ъгъл, метод на двупосочното предпочитане, метод на потенциалите. При всички методи се формира начално решение, което се подобрява, като се извършат определен брой итерации. Условието на транспортната задача може да се запише в транспортна таблица. Структурна оптимизация Общи положения В началните етапи на проектирането се формират множество варианти на структура на проектираните обекти. Изборът на оптимален вариант на решение се основава на алгоритми за пряк синтез. Тези алгоритми изискват познаване на свойствата на предлаганите решения. Те се основават на опита на проектантите за търсене на най-добро решение. За сложни обекти пространството от решения е голямо - получават се хиляди варианти. Да се извърши изследване на такова множество от решения с достатъчна степен на детайлизация и за приемливо време е почти невъзможно. Обикновено в такива случаи се прибягва до използуване па метода на пробите и грешките. При него на първия етап възникват обекти-хипотези, чието качество още не е известно, а на втория етап тези хипотези се проверяват и оценяват. В случай на неудовлетворително решение се генерира и изпитва нов вариант на решение. Процедурата продължава до получаването на желан резултат. Така се намира рационален, а не оптимален вариант, но времето за решение е значително по-малко. Евристичните методи за търсене на нови структурни решения се различават един от друг по сложност, ефективност на търсенето, структура и приложимост. При всички методи процесът на решаване на задачата се разделя на етапи в определена последователност. Към основните етапи се отнасят: формулиране на задачата; разделяне на решението на съставни части, определящи функционирането на обекта; търсене на алтернативни начини за решаване на отделните части; съставянето на алтернативни решения за всяка част; определяне на същността на противоречията между наличните решения и изискванията на техническото задание; избор на начини за преобразуване на неудовлетворителното решение; определяне на единен критерий за избор на оптимално решение измежду съпоставимите алтернативни решения; избор на решение . За решаване на задачите за структурна оптимизация се използуват редица методи, като теория на графите, метод на последователния анализ, метод на Парето, метод на разклоненията и границите и др. Тези методи се основават на теорията на множествата. Множеството представлява определена съвкупност от елементи. Като примери за множества могат да се посочат: множеството на елементите на производствена система; множеството на повърхнините, от които е съставен един геометричен обект; множеството на технологичните операции за обработване на даден детайл и др. С множествата могат да се извършват следните операции: обединение и пресичане. Изтегляне 125 Kb. Сподели с приятели:
|