1. Въпрос. Сечение



Дата02.02.2018
Размер129.87 Kb.
1.Въпрос.

Сечение на множествата А и В се нарича множеството, със-тоящо се само от онези елементи, които принадлежат едновременно на А и В. Операцията, чрез която от А и В се получава , също се нарича сечение.



и

Сечението на множествата А и В изобразяваме чрез вътрешността на общата част на двата кръга А и В





Теорема 3. Операцията сечение на множества има свойствата:

1) Комутативност. За всеки две множества А и В е вярно .

2) Асоциативност. За всеки три множества А, В и C е вярно.

3) За всяко множество А е изпълнено



Обединение на множествата А и В се нарича множе-ството, състоящо се само от онези елементи, които принадлежат на поне едно от множествата А и В. Операцията, чрез която от А и В се получава , се нарича също обединение.



и

Графично обединението на множествата А и В изобразяваме чрез вътре-шността на двата кръга А и В





Теорема 4. Операцията обединение на множества има свойствата:

1) Комутативност. За всеки две множества А и В е вярно .

2) Асоциативност. За всеки три множества А, В и С е вярно.

3) За всяко множество А е изпълнено .



Разлика на множествата А и В се нарича множеството, състоя-що се само от онези елементи на А, които не принадлежат на В. Операцията, чрез която от А и В се получава , също се нарича разлика.



и

Разликата изобразяваме с вътрешността на "луничката" от А, която е защрихована





Теорема 6. Операцията разлика на множества има свойствата:

1) За всяко множество А е изпълнено ;

2) За всеки две множества А и В е вярно ;

3) За всеки три множества А, В и С е изпълнено:

а) ; б) .

Допълнение на множеството А (до Х) се нарича множеството . Операцията, чрез която от А се получава , има същото име.

и

Графично допълнението на множеството А (до Х) изобразяваме с вътреш-ността на правоъгълника Х без кръга А.





Теорема 7. Допълнението на множество има свойствата:

1) За всяко множество А е изпълнено , , .

2) За всеки две множества А и В е изпълнено: а) ; б) .

Дистрибутивност.

За всеки три множества А, В и С е изпълнено:

;



.

2.Въпрос.

Определение : Релацията , определена в множеството А, се нарича релация еквивалентност в A, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна в A, т.е. ако са изпълнени условията:

1) За всяко е изпълнено ;

2) За всеки от , следва и ;

3) За всеки от и , следва и .

ПРИМЕР.............................................................

Основна теорема на математиката:

1) Ако е релация еквивалентност в множеството А, то множеството от вси-чки класове на еквивалентност за е разделяне на А на класове. 2) Ако множеството А е разде-лено на класове, то съществува релация еквивалентност в А, за която класовете на разделяне-то са и класове на еквивалентност.



3.Въпрос

Нека А и В са произволни множества. Казва се, че е дадено изображение f на А в В, ако за всеки елемент съществува точно един елемент , който е образ на елемента х при изображението f, т.е. .

Приемаме, че f е изображение на А в В. Ако за всеки два различни елемента следва, че и образите им и са различни, f се нарича инективно изображе-ние или инекция.

Приемаме, че f е изображение на А в В. Ако всеки елемент е образ на поне един елемент , f се нарича сюрективно изображение или сюрекция.

Ако изображението f на А в В е инекция и сюрекция, f се нарича биективно изображение или биекция, т.е.когато:

1) за всеки от следва ;

2) за всяко съществува , за което .

Изображението f на А в В не е биекция, когато то не е инекция или не е сюрекция. Например е инекция, но не е сюрекция; е сюрекция, но не е инекция, а f с условието не е нито инекция, нито сюрекция. Следователно и трите изображения не са биекции.





от в



от в

Оттук следва, че ако е биекция, то всеки елемент има единствен прообраз .





от в

Нека f е изображение на А в В. Ако обратната релация е изображение на В в А, тя се нарича обратно изображение на f.

от в

Релацията е изображение от В в А. Естествено е такава релация да се нарече обратно изображение на дадено изображение.



Обратното изображение на биекция е също биекция.

Изображение, което се получава в резултат на последователно прилагане на две изображения, се нарича тяхна композиция или произведение.





на в и

на В в

конструираме изображение по следния начин:



; ; , т.е.

Полученото изображение се нарича композиция на ρ2 и Ø.

4.Въпрос.

Вариации, пермутации и комбинации без повторения. Ако от дадено множество обекти избираме някакво негово подмножество, това подмножество ще наричаме набор. Наборите биват наредени или ненаредени.

Вариации от n елемента от m-ти клас без повторения (mn) се нари-чат наредени m елементни набори от дадените n елемента.Броят им се изчислява по формулата:

Имаме впредвид обаче, че 0!=1

Пример:

Във футболно първенство участват 16 отбора.По колко начина могата да се разпраеделят трите медала – златен, сребърен и борнзов?



А316 = 16! /(16-3)! = 16*15*14 = 3360 начина

Пермутации от n елемента без повторения се наричат вариациите от тези n элемента от n-ти клас. В този случай в наредения набор участват всичките n елемента и наредените набори се различават само по реда на елементите. Затова всички пермутации имат един и същи състав и се различават само по реда на елементите им. Броят им се изчислява по формулата:

Пример:


Буквите а,б,в,г,д са написани на 5 картончета.По колко различни начина могата да се подредят тези картончета?

P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 начина



Комбинации от n елемента m-ти клас без повторения (mn) се нари-чат ненаредени m-елементни набори от дадените n елемента. Всички комбинации се отличават една от друга поне по един елемент, а редът на елементите тук не е съществен. Броят на комбинациите от от n елемента от m-ти клас без повторения е равен на:



Пример:

В кутия има 20 червени и 15 сини топки.От кутията трябва да се извадят 5 топки, от които 3 да са червени и 2 сини. Намерете, по колко различни начина може да стане този избор?

С203152 = (20.19.18/1.2.3)*( 15.14/1.2) = 105.1140 = 119700 начина



5.Въпрос.

Понятията опит и изход са основни в теория на вероятностите.Всеки възможен изход при даден опит се нарича елемантарно събитие, а множеството от тези събития се нарича пространство на елементарните събития.Вероятностите се илюстрират с примери.

Пример:

Завод пуска на пазара 240 000 кондензатора от които 850 са с производствен дефект.Каква е вероятността клиент да си купи 1 кондензатор и тоъ да се окаже дефектен?

P(A) = 850 / 240 000 ˜ 0.0035

Събиране на вероятности:

P (AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

При P(AB)=0 → P (AUB) = P(A) + P(B)

Пример:

В урна са поставени 40 бюлетини, от които 5 сини, 6 червени , 10 жълти, 15 оранжеви и 4 бели.Каква е вероятността случайно извадена бюлетина да е със син или бял цвят?

P(A) = 5 / 40 = 0.125

P(В) = 4 / 40 = 0.1

P (AUB) = P(A) + P(B) = 0.125 + 0.1 = 0.225

Частен случей:

P (A/B) = P(AB) / P(В)

При P(В) = 0 → P(AB) = P(В)* P (A/B)

При P(AB) = P(А)* P (В/А) →че събитието А е независимо от събитието В ако: P (A/B) = P(A)

При тези два случея, вероятността да се сбъднат независими събития е равна на произведението от техните вероятности.

P(AB) = P(А)* P (В)

Пример:

През първата третина на месец Септрмври вероятността да вали дъжд е 0,35 , а вероятността за преваляване на градушка е 0,11.Каква е вероятността през тази първа третина на месеца да вали и дъжд и градушка?

P(AB) = P(А)* P (В) = 0,35 * 0,11 = 0.0385

Пълна вероятност:

Несъвместими събития А1 , А2 ,...... , Ат , образуват пълна група от събития, ако обединението им е достоверно, тоест винаги се сбъдва точно едно от тях.

Ако събитието А може да се сбъдне само заедно със едно от събитията А1 , А2 ,...... , Ат , които образуват пълна група, то вероятността на А е :

P(A) = P(A1) * P(A/A1) + P(A2) * P(A/A2) + …… + P(Am) * P(A/Am)

Имаме 4 кутий.В първата кутия имаме 3 сини и 2 зелени топки, във втората – 5 сини и 6 зелени топки, а в третата и четвъртата 5 сини и 5 зелени топки.От произволна кутия вадим 1 топка.Каква е вероятността топката да е синя?

P(A) = (1/4) * (3/5) + (1/4) * (5/11) + (2/4) * (5/10) = 0.15 + 0.11 + 0.25 = 0.51

Формула на Бейс:

Вероятността да се сбъдне Аi , 1 ≤ I ≤ m, при условие, че се е сбъднало събитието А е:

P(Ai/A) = [ P(Ai) * P(A/Ai) ] / P(A) , 1 ≤ I ≤ m

Пример:

Имаме 3 урни.В първата урна има 3 бели и 4 черни топки, във втората урна има 5 бели и 1 черна топки и в третата има 1 бяла и 3 черни топки.От случайно избрана урна се вади една топка.Търсим събитието А „извадената топка да е бяла”.

P(A/A1) = 3 / 7 ; P(A/A2) = 5 / 6 ; P(A/A3) = 1 / 4

P(A) = (3/7 + 5/6 + 1/4) / 3 = 0.504

6.Въпрос.

Математическата статистика е дял от математиката, занимаващ се с разработване на методи за вземане на даннии на методи за тяхната обработка в зависимост от целта на изследването.

Пример:

На матура по Литература в 26 СОУ „Отец Паисий” гр.Лом са се явили 25 ученика.След проверка на работите им, на тези ученици са поставени следните оценки:

4.35 , 4.75 , 5.25 ,2.00 , 5.25 , 4.35 , 4.00 , 4.25 , 4.75 , 5.00 ,

5.00 , 4.25 , 2.00 , 5.75 , 5.45 , 4.00 , 3.75 , 3.25 , 3.45 , 5.50 ,

4.50 , 3.50 , 3.75 , 3.25 , 3.00

(Тези числа са варианти.)

Създаваме вариационен ред:

2.00 , 2.00 , 3.00 , 3.25 , 3.25 , 3.45 , 3.50 , 3.75 , 3.75 , 4.00 ,

4.00 , 4.25 , 4.25 , 4.35 , 4.35 , 4.50 , 4.75 , 4.75 , 5.00 , 5.00 ,

5.25 , 5.25 , 5.45, 5.50 , 5.75

Обем на извадката – n

n = n1 + n2 + ….. + nk a ni – колко пъти се среща варианта

n = 2+1+2+1+1+2+2+2+2+1+2+2+2+1+1+1 = 25

Числата n1 , n2 … nk се нари1ат честоти , а n1/n , n2/n ,…., nk/n се наричат относителни честоти.

Таблица на разпределение:

xi

оценка

2.00

3.00

3.25

3.45

3.5

3.75

4.00

4.25

4.35

4.50

4.75

5.00

5.25

5.45

5.50

5.75

ni

честота

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

nk/n

От.честота

2/25

1/25

2/25

1/25

1/25

2/25

2/25

2/25

2/25

1/25

2/25

2/25

2/25

1/25

1/25

1/25

Полигон на разпределение:



Средно аритметично:

X̃ = (n1x1 + n2x2 + …. + nkxk) / n = (2*2.00+3.00*1+3.25*2+3.45*1+3.5*1+3.75*2+4.00*2+4.25+2*4.35+1*4.50+2*4.75+2*5.00+2*5.25+1*5.45+1*5.5+1*5.75) / 25 = 104.35/25 = 4.174

Средно квадаратично отклонение (стандарт):

σ = √ [ n1(x1- X̃)2 + n2(x2- X̃)2 + …………+ nk(xk- X̃)2] / (n-1) =

[ 2*(2-4.174)2+1*(3-4.174)2+2*(3.25-4.174)2+1*(3.45-4.174)2+1*(3.5-4.174)2+2*(3.75-4.174)2+2*(4-4.174)2+2*(4.25-4.174)2+2*(4.35-4.174)2+1*(4.50-4.174)2+2*(4.75-4.174)2+2*(5.00-4.174)2+2*(5.25-4.174)2+1*(5.45-4.174)2+1*(5.50-4.174)2+1*(5.75-4.174)2 ] / 25-1 = 1.007

Относителен стандарт:

σ0 = σ / X̃ = 1.007 / 4.174 = 0.241

Вариационен коефициент –това е относителният стандарт изразен в % :

ν = 0.241*100 = 24%

Стандарт на средната аритметична величина:

σ X̃ = σ / √ n = 1.007 / √25 = 0.201

Показател на точност:

P = (σ X̃ / X̃ )* 100% = ( 0.201 / 4.174 )*100 = 4.82 %

P - не трябва да надвишава 5 %

7.Въпрос.

Многочлен от вида:

Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ….. + an-1x + ak , където a1 , a2 , …. , an € R ; n € N и a0 ≠ 0 ,

се нарича полином от степен n.

X0 e нула на полинома ако Pn(x0) = 0

Пример:

Да се намерят нули на полинома по метода на Хорнер:

P4(x) = x4 – 4x3 + 8x2 – 3x – 2

Нули на полинома търсим измежду делителите на свободният член ( ±1 и ±2)




1

-4

8

-3

-2

1

1

-3

5

2

0

-1

1

-5

13

-16

14

2

1

-2

4

5

8

-2

1

-6

20

-43

84

Полинома има една нула при P4(1) = 0

Делене на полиноми:

Ако Pn(x) е полином от степен n, а Qm(x) е полином от степен m и m

Pn(x) = T(x)* Qm(x) + R(x)

Pn(x) - делимо

Qm(x) - делител

T(x) - частно

R(x) - остатък

Пример:

Да се разделят полиномите:

P4(x) = x4 – 4x3 + 2x2 + x – 2 Q2(x) = – 2x + 1

Умножавам Q2(x) с x2 и от P4(x) вадя полученото:

x4 – 4x3 + 2x2 + x – 2

- x4+ x2+ x – 2__________

-2x3 + x2 + x – 2 умножавам Q2(x) с -2x и изваждам:

- -2x3 + 4x2 - 2 x__________

- 3x2 + 3x – 2 умножавам Q2(x) с -3 и изваждам:

- - 3x2 + 6x – 3____________

-3x + 1 = R(x) – остатък и частно T(x) = x2 – 2x – 3

Теорема на Безу:

За всяко Pn(x) от степен n (n≥1) и за всяко число α е в сила равенството:

Pn(x) = (x-α) * Q(x) + P(α) , където Q(x) е от степен n-1.Ако x-α дели Pn(x) без остатък , то α е нула на полинома.

Полиномна интерполация се прави за да се намери полином L(x) от възможно най-ниска степен, който за стойностите на аргументите x0 ≤ x1 ≤ x2 ..... ≤ xn да приема съответните стойности ζ1 ≤ ζ2 ≤ ζ3 ...... ≤ ζn .Обикновенно това са стоъности на неизвестна функция.Такъв полином L(x) се нарича полином на Лагранж.
Каталог: files -> files
files -> Р е п у б л и к а б ъ л г а р и я
files -> Дебелината на армираната изравнителна циментова замазка /позиция 3/ е 4 см
files -> „Европейско законодателство и практики в помощ на добри управленски решения, която се състоя на 24 септември 2009 г в София
files -> В сила oт 16. 03. 2011 Разяснение на нап здравни Вноски при Неплатен Отпуск ззо
files -> В сила oт 23. 05. 2008 Указание нои прилагане на ксо и нпос ксо
files -> 1. По пътя към паметник „1300 години България
files -> Георги Димитров – Kreston BulMar
files -> В сила oт 13. 05. 2005 Писмо мтсп обезщетение Неизползван Отпуск кт


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница