Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери
Изтегляне 0.51 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Теорема 19.3.
- Пример 19. 16 .
- 5. Условно математическо очакване.
- Коефициентът на корелация
- Теорема 19.6 ( Коши ).
- 6. Многомерно нормално разпределение.
Твърдение 19.5. Нека  е разпределена нормално с параметри  и  . Тогава за очакването и дисперсията имаме  и  . ?
С други думи нормалното разпределение се определя напълно от своето математическо очакване и от своята дисперсия. Математическото очакване има следните основни свойства, чиито доказателства ще проведем само за случая на дискретни величини.
3) За всеки две величини и  е изпълнено  . Имаме
От тези три свойства непосредствено следва верността на Теорема 19.3. Математическото очакване представлява линеен функционал. Ако  ,  , ...,  са някакви случайни величини, а  ,  ,  , ...,  са някакви константи, то за математическото очакване на линейна фунцкия е изпълнено
 . ?
Да отбележим, че в горното твърдение не се предполага независимост на величините. Теорема 19.4. Ако и са независими случайни величини, то математическото очакване на тяхното произведение е равно на произведението на двете математически очаквания,  .
Доказателство. При независими дискретни величини имаме  . ?
За случайната величина  ,
която се нарича асиметрия и ексцес, който се определя по формулата Ако  .
За непрекъснати величини където Твърдение 19.6. Нека величините и са независими. Тогава  .
Доказателство. По условие понеже
 . ?
В общия случай от Дисперсията може да се пресмята по следната формула Наистина, откъдето според основните свойства на очакването намираме По аналогичен начин за ковариацията се доказва формулата (19.19) откъдето в частност се вижда, че ковариацията е симетрична и линейна по двата си аргумента, Дисперсията има следните основни свойства. 1) Ако е константа, то  .
2) Ако  е константа, то  . Имаме
4) За всеки две величини и ,  . Имаме
което доказва свойството. В частност дисперсия на сума от две независими величини е равна на сумата от техните дисперсии. Разсъждавайки по същия начин получаваме верността на
(19.20) Ако величините са две по две независими, то формулата (19.20) приема вида Пример 19.16. При независими и имаме  и  .
В частност дисперсията на разликата на две независими случайни величини е равна на сумата от техните дисперсии. 5. Условно математическо очакване. Въведените по-горе числови характеристики на случайните величини могат да бъдат отнесени и към техните условни разпределения. Нека и са дискретни величини със съвестно разпределение  ,  ,  (таблица 19.5). Тогава съгласно (19.7) при всяко фиксирана стойност  , условното разпределение на се дава по формулата
 , ,
която открива възможност за дефиниция на условното математическо очакване (19.21) Аналогично за условното математическо очакване на (19.22) Ако (19.23) Аналогично за условното математическо очакване на (19.24) Аналогично се определя и условната дисперсия. Условните числови характеристики имат същите основни свойства както безусловните. Функционалната зависимост Типична задача в математиката при разглеждане на две величини е дефиниране на функционална връзка между тях. Когато тези величини са случайни, тази задача се решава посредством уравненията на регресия (19.21-24), които предлагат описаните своеобразни функционални връзки. Регресионните уравнения са абстракция от вероятностния модел и значително опростяват неговото разбиране без да могат да го заместят по същество. Уравнението на регресия Уравненията на регресия дават значима информация само при наличието на зависимост между разглежданите величини. Ако което означава, че уравнението на регресия има тривиален вид  ,
което съответства на интуитивните представи, понеже в този случай разпределението на Уравнението на линейна регресия (19.25) Да положим Сега (19.25) приема вида което преобразуваме въз основа свойствата на математическото очакване (19.26) За да намерим минимума на (19.26) пресмятаме и приравняваме на нула частните производни на откъдето намираме Следователно (19.27) Коефициентът на корелация По този начин (19.27) приема вида което накратко се записва (19.28) Аналогично, уравнението на линейна регресия на (19.29) Теорема 19.6 (Коши). За ковариацията е в сила неравенството  ,
следователно за корелационния коефициент Доказателство. При дискретни величини От известното неравенство на Коши намираме Сега за корелационния коефициент получаваме Корелационният коефициент Пример 19.17. Да илюстрираме определените по-горе понятия върху следния пример на две дискретни случайни величини
Табл. 19.15. За условните очаквания на Тук функцията на регресия За безусловните математическите очаквания и дисперсиите имаме
За ковариацията и коефициента на корелация имаме  .
В следващия раздел ще обсъдим пример с непрекъснато разпределени величини. 6. Многомерно нормално разпределение. Многомерните нормални разпределения имат водеща роля в цялата теория и представляват по същество основния апарат на приложната статистика. Да разгледаме отначало случая на две величини. Казва се, че случайните величини и имат двумерно нормално разпределение, когато тяхната съвместна плътност се дава по формулата
(19.30) където
В първия случай корелационният коефициент е равен на нула, което означава фактически независимост на двете величини, а във втория е равен на 0.9, което е близо до неговата максимално възможна стойност и означава много силна правопропорционална зависимост. С непосредствени макар и не много кратки пресмятания може да се покаже верността на следната Теорема 19.7. Нека и имат съвместно нормално разпределение с параметри  ,  ,  ,  и  , плътността  на което е определена от формулата (19.30). Тогава
1) Маргиналното разпределение  на е нормално с параметри  и , което означава
2) Маргиналното разпределение  на е нормално с параметри  и , което означава
3) Корелационният коефициент между и е равен на , т.е.
4) Условното разпределение на при условие  има вида
а за условното математическо очакване на с условна дисперсия Каталог: NVUMathLectures NVUMathLectures -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание NVUMathLectures -> Задачи от степенни редове Съдържание NVUMathLectures -> Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду NVUMathLectures -> Лекция 4 системи линейни уравнения Ранг на матрица. Теорема за базисния минор NVUMathLectures -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание NVUMathLectures -> Курсова работа по висша математика 1 за студенти задочно обучение NVUMathLectures -> Лекция 1 комплексни числа и полиноми Определение и аритметични операции NVUMathLectures -> Задача Намерете производните на следните функции а б в г д е ж Изтегляне 0.51 Mb. Сподели с приятели:
| |||||||||||||||||||||||||||
с вероятност едно (и възможно някои други стойности с вероятност нула), то очевидно 
.
е константа, то 
. 
.
,
.
, следователно 
, 
, и централни моменти 
, 
, а дисперсията представлява централен момент от ред 
. С помощта на централните моменти от трети и четвърти ред се определят други две важни числови характеристики,
.
на двете случайни величини 
.
,
. 
и 
също са независими. Сега от теорема 19.4 намираме 
,
.
,
.
,
.
,
.
. Имаме
.
,
,
. ?
.
имаме 
.
се определя по обичайния начин за непрекъснати величини посредством условната плътност 
от (19.13) намираме 
.
.
, се нарича уравнение на регресия на случайната величина 
представлява уравнението на регресия на 
. Ако обаче 
,
на 
.
и 
. Тогава 
, а
и 
.
, 
, 
,
,
. 
,
, 
,
и 
. 
и уравнението на линейна регресия има вида
.
, 
, 
. 
,
.
. 
. 
.
,
,
.
. ?
или 
единствено когато между 
,
.
е определена само в двете точки 
и 
, 
и 
. Тази функция позволява да задаваме обективни прогнози за стойностите величината 
,
, 
,
,
, 
.
,
,
. Две възможни форми на повърхнината 
са дадени на следващите рисунки.
.
.
.
,
,
, което определя следното уравнение на регресия
.