Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери

,

а за условното математическо очакване на имаме

,

с условна дисперсия , което определя следното уравнение на регресия

. ?

От теорема 19.7 следват няколко важни извода.

Двумерното нормално разпределение можем да разглеждаме като сглобено от две отделни нормални разпределения, при отчитане на зависимостта между величините. Особено забележително в този случай се явява обстоятелството, че тази зависимост се описва посредством едно единствено число – коефициентът на корелация . Условието за независимост

е изпълнено тогава и само тогава, когато . При формата на е симетрична, както е показано на рис. 19.8. При тази симетрия се нарушава и плътността се групира по направление на регресионните прави, което е показано на рис. 19.9.

Уравненията на регресия в този случай съвпадат с уравненията на линейна регресия, както добре се вижда при съпоставяне на формулите (19.28) и (19.29) с формулите от точки 4 и 5 от теорема 19.7. Това е и едно от оправданията за това, че в общия случай се предпочита регресионната идея да се реализира посредством линейна регресия. Линейната регресия има в определен смисъл най-добри обобщаващи свойства макар, че от гледна точка на прогнозирането "вътре в данните" могат да се използват по-сложни регресионни модели.

Нека , , ..., са случайни величини със средни и дисперсии и стандартни отклонения , . Тогава можем да разгледаме вектора на средните и ковариационната матрица

.

Ковариационната матрица представлява симетрична квадратна матрица от ред . Когато между дадените величини няма линейна зависимост, тази матрица освен това е положително определена (в общия случай е неотрицателно определена). По този начин квадратичната форма

, ,

също е положително определена. Корелационната матрица има вида

,

където е корелационният коефициент на величините и , .

Нека сега е произволна симетрична и положително определена квадратна матрица от ред и нека е някакъв вектор. Казва се, че случайните величини , , ..., имат съвместно (многомерно) нормално разпределение, когато имат съвместна плътност

(19.31) .

В този случай се пише , където . Може да се докаже, че всяка от величините има нормално маргинално разпределение със средно , , при което зададената матрица се явява точно ковариационната матрица за величините , , ..., .

Многомерното нормално разпределение играе основна роля във вероятностните модели. Когато задачата се състои в определяне на взаимните зависимости между известен брой величини, то обикновено се предполага, че въпросните величини споделят взаимно многомерно нормално разпределение.

На пръв поглед формулата (19.31) изглежда сложна, но следващите разсъждения показват, че всъщност тази формула в известен смисъл е възможно най-простата имайки предвид целта която изпълнява. Ако искаме даден тип едномерно разпределение да бъде достатъчно гъвкаво, че да може да се приспособява за достатъчно разнообразни случайни величини от практиката, то напълно разумно е да предположим, че такова разпределение се управлява поне от два параметъра – един за отразяване на някаква централна тенденция и друг – за измерване разсейването около тази централна тенденция, т.е. параметрите е добре да бъдат поне два. Точно това е и случаят на едномерното нормално разпределение, което предлага допълнително удобство, формулата за неговата плътност да се записва просто именно посредством средното и дисперсията. Когато трябва да опишем връзката между две случайни величини, непременно ще използваме някакви допълнителни параметри. В случая на нормално разпределение този параметър е точно едни – коефициентът на корелация и в този смисъл ситуацията е максимално икономична. Ако анализираме внимателно формулата (19.31) ще видим, че там има следните параметри – на брой параметри за индивидуалните средни, на брой параметри за индивидуалните дисперсии и на брой параметри за различните взаимни корелационни коефициенти. С други думи формулата (19.31) е максимално икономична без от това да пострада фатално нейната гъвкавост. От такава гледна точка формулата (19.31) трябва да изглежда вече съмнително елементарна и изискваща повече аргументация за нейната универсална употреба. Тази аргументация ще бъде приведена в следващия раздел, където ще бъде формулирана така наречената централна гранична теорема, според която типичното разпределение на една случайна величина трябва да бъде нормално.

Такава концептуална простота съчетана с богата математическа структура използваща интензивно практически всичките основни раздели на математиката, определя теорията на вероятностите и математическата статистика като един от най-важните (ако не и най-важният) раздел на приложната математика, където резултатите получени от впечатляващо сложни математически преобразувания се прилагат непосредствено в многобройни практически задачи.