Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери

Съответните вероятности се получават посредством сумиране редовете и стълбовете на вероятностите в таблица 19.4, което е показано в таблица 19.5. При получаване маргиналното разпределение на фактически се елиминира присъствието на другата величина и обратно.

По формулата за умножение на вероятностите, при всяко фиксирано имаме

(19.7) , ,

което задава условното разпределение на величината , при условие , . Формулата (19.7) изпълнява условието за нормировка, понеже

, .

Аналогично, условното разпределение на величината при условие се дава по формулите

(19.8) , .

Таблицата на съвместното разпределение ни позволява да елиминираме напълно едната величина, получавайки маргиналното разпределение на другата, а също така и да разглеждаме условното разпределение на едната величина, при условие, че другата има някаква определена стойност.

Величините и се наричат независими, когато всяко от събитията е независимо спрямо всяко от събитията , т.е. когато приемат стойности по независим една от друга начин.

Твърдение 19.1. Дискретните случайни величини и са независими тогава и само тогава, когато за всяка стойност на и за всяка стойност на е изпълнено равенството .

Доказателство. По определение и са независими тогава и само тогава, когато за всяко и всяко е изпълнено , което написано по друг начин означава . ?

Нека и са независими. Тогава от (19.7) и твърдение 19.1 получаваме

(19.9) , ,

което означава, че условното разпределение на при всяка стойност на съвпада с неговото безусловно (маргинално) разпределение. Аналогично е положението и при условното разпределение на . Направеният извод напълно съответства на интуитивните представи за независимост между случайни величини имайки предвид, че понятието разпределение се явява първично в теорията на случайните величини. Всъщност тази независимост на условните разпределения може да се възприеме и като определение за независимост между величините и .

При две дискретни случайни величини и , тяхната съвместна функция на разпределение се дава по формулата

(19.10) ,

откъдето лесно се установява, че , представлява индивидуалната (маргиналната) функция на разпределение за случайната величина , понеже

(19.11) .

Аналогично, ,

(19.12)

представлява индивидуалната функция на разпределение за случайната величина . От формулите (19.10-12) и твърдение 19.1 следва, че величините и са независими тогава и само тогава, когато .

Пример 19.9. Нека таблицата на вероятностите на съвместното разпределение на величините и има вида

		0.1	0.1	0.3		0.5
		0.2	0.2	0.1		0.5
		0.3	0.3		0.4

Табл. 19.6.

В този случай величините и са зависими, понеже не е изпълнено условието за независимост , например .

При непрекъснатите величини нещата се описват на езика на плътностите. Съвместното разпределение на две непрекъснати случайни величини се характеризира посредством тяхната съвместна функция на плътност , която е неотрицателна и интегруема над при изпълнение на следното условие за нормировка

.

Ако е някакво измеримо множество в равнината, то вероятността на събитието се определя от формулата

,

която представлява двумерен аналог на (19.1).

За индивидуалните (маргиналните) плътности на величините имаме

и ,

които са непрекъснати аналози на "дискретните" формули (19.5) и (19.6). За условната плътност на при условие , която се бележи с , имаме

(19.13) ,

което е непрекъснат аналог на "дискретната" формула (19.7). Веднага се вижда, че е налице условието за нормировка

.

Аналогично, за условната плътност на при условие имаме

.

Непрекъснатите случайни величини и се наричат независими, когато всевъзможните събития и са независими, т.е. когато двете величини приемат стойности независимо една от друга.

Следното твърдение представлява аналог на твърдение 19.1 за случая на непрекъснати величини.

Твърдение 19.2. Непрекъснатите случайни величини и са независими тогава и само тогава, когато съвместната им плътност се явява произведение на двете маргинални плътности, т.е. когато е изпълнено . ?

В съдържанието на последното твърдение следва да се има предвид, че ако и се различават върху множество с мярка нула, то за всяко измеримо множество е изпълнено

,

следователно двете функции са неразличими в ролята им на съвместна плътност за величините и .

Ако и са независими, то според (19.13) и твърдение 19.2 имаме

,

което представлява непрекъснат аналог на формулата (19.9) и означава, че всичките условни плътности на са равни на безусловната плътност. Аналогично се получава и за условната плътност на . Последният факт може, както и втората част на твърдение 19.2 могат да се разглеждат поотделно в качеството на определение за независимост на непрекъснати случайни величини.

При непрекъснати случайни величини и , тяхната съвместна функция на разпределение се дава по формулата

,

което е непрекъснат аналог на (19.10). Оттук лесно се установява, че

и

представляват индивидуалните функции на разпределения за случайните величини и . От последните заключения и от твърдение 19.2 следва, че величините и са независими тогава и само тогава, когато , което е напълно аналогично с дискретния случай.

3. Действия със случайни величини. Нека е дискретна случайна величина, зададена чрез своите стойности и техните вероятности, , и нека е някаква функция, определена над стойностите на . Тогава под ще разбираме дискретна случайна величина със стойности , които приема със същите вероятности .

Тогава случайната величина има следната таблица на разпределение

Нека сега е непрекъсната случайна величина с плътност и нека е някаква непрекъсната функция. Тогава представлява непрекъсната случайна величина, чиято плътност подлежи на определяне според дефинициите.

,

и да разгледаме величината . Да потърсим израз за функцията на разпределение . Ще предполагаме , понеже при очевидно . Имаме

,

откъдето, след смяна на променливата , намираме

,

което означава, че има плътност

, ,

за което полагаме при . В този случай се казва, че има "хи квадрат" разпределение с една степен на свобода, .

Най-прости са линейните преобразования. Нека е случайна величина с функция на разпределение и нека , където и са константи, . Тогава за функцията на разпределение на случайната величина получаваме

(19.14) .

При по аналогичен начин се получава

.

Твърдение 19.3. Нека има нормално разпределение с параметри и . Тогава случайната величина има нормално разпределение с параметри и , .

Доказателство.По условие има плътност

,

и функция на разпределение . За определеност да предположим, че . Сега от (19.14) намираме

.

Извършваме смяна на променливите , след което получаваме

,

което доказва твърдението при . Случаят се изследва аналогично. ?

От твърдение 19.3 веднага следва, че ако , то величината

(19.15) ,

т.е. следва нормално стандартно разпределение. Действията, чрез които от се получава във формулата (19.15), се наричат центриране – изваждането на и нормиране – разделяне на .

Нека и са две нормално разпределени величини и . Тогава пак от твърдение (19.3) следва, че величината

има нормално разпределение с параметри и , т.е. е равна на . В този смисъл можем да напишем

,

приемайки случайните величини с едно и също разпределение за равни. Такава свобода на преминаване от едно нормално разпределение към друго има важно значение в теорията и практиката.

Нека и са случайни величини с известно съвместно разпределение. Тогава можем да разглеждаме величината . Ако и двете величини са дискретни, зададени както в таблица 19.4, то представлява дискретна случайна величина със стойности , които се приема с вероятности , , . В частност по този начин се определя сумата и произведението на двете случайни величини и . Когато и се предполагат независими, тяхното съвместно разпределение се определя изцяло от двете индивидуални разпределения, понеже в този случай .

Табл. 19.9.

Табл. 19.10.

За сумата получаваме следната таблица на разпределение

За произведението имаме

Когато и са непрекъснати, то разпределението на величината трябва да намерим въз основа на представянето

,

където е съвместната плътност на и . Тук двойният интеграл е над областта от , зададена от условието . В частност за сумата намираме

(19.16) .

Да извършим смяна на променливите и , която има якобиан

.

Тогава от (19.16) намираме

,

което означава, че има плътност , която се получава посредством формулата

(19.17) .

Нека и са независими. Тогава за тяхната съвместна плътност имаме , което заедно със (19.17) дава верността на

Теорема 19.1. Нека и са две непрекъснати и независими случайни величини. Тогава тяхната сума представлява непрекъсната случайна величина с плътност

(19.18) ,

където и са плътностите на и . ?

Интегралът в дясната страна на (19.18) се нарича конволюция на функциите и и се среща в много раздели на математическия анализ. Конволюцията на две функции е симетрична операция и интегралът (19.18) може да се запише във вида

.

Пример 19.13. Нека и са независими величини с равномерно разпределение в интервала , , . Всяка от тях има плътност , с графика показана на рис. 19.6.

Рис. 19.6.

Рис. 19.7.

и за и . Нейната графика е показана на рис. 19.7.

Могат да се разглеждат съвместни разпределения на повече от две случайни величини. Основните определения и свойства остават по същество идентични на случая за две величини. Всъщност важните за практиката заключения на теорията на вероятностите и математическата статистика се получават именно в случая когато се разглеждат много на брой случайни величини посредством тяхното съвместно разпределение.

В един от най-важните за статистиката случай, когато , , ..., са независими по съвкупност непрекъснати случайни величини, тяхната съвместна плътност представлява функция на променливи и се явява произведение от индивидуалните плътности на отделните величини,

.

Тази плътност описва разпределението на случайния вектор по характерния за две величини начин.

Вярна е следната

Теорема 19.2. Нека , , ..., са независими случайни величини, при което е разпределена нормално с параметри и , . Тогава тяхната линейна функция е случайна величина, която има нормално разпределение с параметри

и . ?

4. Числови характеристики на случайни величини. В този раздел ще разгледаме някои основни числови характеристики на случайните величини. Математическо очакване (средно) на дискретната случайна величина , , , се нарича числото (когато съществува)

.

Ако е непрекъсната с плътност , то нейното математическо очакване се определя от интеграла (когато съществува)

.

Математическото очакване представлява най-важната мярка за централна тенденция за дадена случайна величина. Ако си поставим задачата да се намери някакво единствено число, което по най-добър начин да представя поведението на величината, то въпросното число се явява нейното математическо очакване. Математическото очакване се бележи още с .

Ако е непрекъсната случайна величина, а е някаква непрекъсната функция, то намирането вида на разпределение на случайната величина в общия случай представлява трудна задача. Независимо от това, за математическото очакване на е валидна сравнително елементарна формула, която се съдържа в следното твърдение.

Твърдение 19.4. Нека е непрекъсната случайна величина с плътност . Тогава за математическото очакване на случайната величина е изпълнено

Горното твърдение може да се обобщи за две и повече случайни величини. Ако , то

където е съвместната плътност на и .

.

Ако е непрекъсната с плътност , то нейната дисперсия се определя от интеграла (когато съществува)

.

Числото се нарича стандартно отклонение на . Очевидно , което задава като друго означение за дисперсия.

Пример 19.14. Нека е дискретната величина, определена от таблицата

Табл. 19.14.

Тогава по определение

,

.

Пример 19.15. Нека е непрекъсната величина, която е разпределена равномерно в интервала . Тогава

,

.

Дисперсията представлява мярка за изменчивост на случайната величина, и се разглежда като мярка за отклонение от математическото очакване. Случайните величини с малка дисперсия са групирани около своето математическо очакване. От определенията се вижда, че дисперсията винаги е неотрицателно число. Ако дисперсията на една случайна величина е равна на нула, то тази величина е по същество константа, т.е. приема една единствена стойност с вероятност (определението не изключва възможността тя да приема и някои други стойности с вероятност нула).