Определение: Сферата е множество от точки в пространството, които се намират на дадено разстояние R от дадена точка О – център на сферата.
Хорда на сфера – отсечка коята свързва две точки от сферата.
Диаметър на сферата – хорда която минава през центъра на сферата.
Сечението на равнина със сфера винаги е окръжност, а ако тази окръжност минава през центъра на сферата, то тя се нарича голяма окръжност.
Сферата може да се получи и като ротационно тяло при въртенето на полуокръжност около диаметъра си.
Взаимно положение на сфера и права:
Нямат общи точки секуща допирателна
Взаимно положение на сфера и равнина:
Секуща допирателна Нямат общи точки
Взаимно положение на две сфери:
Нямат общи точки допиращи се пресичащи се
Лицето на повърхнината на сфера е S = 4.π. R 2
Лицето на сферичен отрез е S сферичен отрез= 2.π. R.h.
Кълбото е множество от точките на сферата и всички нейни вътрешни точки.
Обемът на кълбо е V = .π. R 3
Обемът на отрез от кълбо е V отрез от кълбо = .π. h 2(3. R – h).
1 зад. Сфера с радиус 4 см е пресечена с равнина, която е на разстояние 1 см от центъра на сферата.
а) Да се намери дължината на окръжността;
б) Да се намери лицето на сферичният отрез.
|
Анимиран вариант на чертежа
Решение:
Прилагаме питагорова теорема за ΔАОО1 и получаваме, че
АО1=.
С = 2
Височината на сферичния отрез е 3 см
S сферичен отрез = 2.π.4.3 = 24π
|
3 зад. Да се намери лицето на повърхнината на сфера, ако дължината на голямата окръжност на сферата е 12π.
|
Решение:
От условието, че С = 12π се получава за радиуса R = 6.
S = 4πR2
S = 4.π.62
S = 144.π
|
4 зад. Две успоредни равнини са на 7 см една от друга и при пресичането на кълбо отсичат окръжности с радиуси 3 см и 4 см. Да се намери лицето на повърхнината на сферата и обемът на кълбото.
|
I сл. IIсл.
Решение: Могат да се разгледат два случая:
I сл. Ако равнините са от различни страни на центъра на кълбото.
Нека АО = х. Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника АВО и
CDO. Прилагайки питагорова теорема се получава:
R2 = 32 + x2 и R2 = (7 – x )2 + 42
От което намираме, че х = 4 и R = 5 см
Замествайки във формулите се получава: S = 100.π, а за обема
II сл. Ако равнините са от една и съща страна на центъра на кълбото се получава, че не е възможно. Докажете го сами!
|
5 зад. Дължината на голямата окръжност на кълбо е 18π. Да се намери обемът на кълбото.
|
Решение:
С = 18π
С = 2π R , от което следва, че R = 9
=>
|
6 зад. Колко тежи кълбо с диаметър 4 см, направено от месингова сплав с относително тегло 4,5 г/см3 ?
|
Решение: обемът на кълбото е
см3
Теглото ще определим като произведение на обема и относителното тегло
М = грама
|
2) Най-голямото кубе на храм-паметника “Александър Невски” е полукълбо с диаметър 18 м. Колко струва позлатяването му, ако за 1 м2 се изразходват 3500 лв , при
π = 3,14 ?
|
|
3) Повърхнината на кълбо с радиус R е равна на от повърхнината на кълбо с радиус r. Да се намери отношението между обемите на двете кълба.
|
|
4) Да се докаже че ако контурът на всяко сечение на едно тяло с равнина е окръжност, то тялото е сфера.
|
|
5) Кълбо е пресечено от равнина. Да се намери разстоянието от центъра на кълбото до равнината, ако кълбото е с радиус R, а диаметърът на сечението е d.
|
6) В кълбо с радиус R = 10 са прекарани две сечения на разстояние 6 и 9 от центъра О на кълбото. Ъгълът между двете сечения е 120o. Те се пресичат върху права, която отсича от кълбото хорда k, обща за двете сечения.
а) Ако ОА и ОВ са съответно перпендикулярите спуснати към двете сечения, докажете, че общата хорда k е перпендикулярна на равнината (ОАВ).
б) Ако k пресича равнината (ОАВ) в точка С, докажете, че АСВ = 120o.
в) Намерете разстоянието от общата хорда k до центъра О на кълбото.
г) Намерете дължината на общата хорда k.
|
|
7) Две равнини, пресичащи кълбо с радиус R, сключват ъгъл α. Ако диаметрите им се отнасят както 1:2, да се намерят разстоянията от центъра на кълбото до тези равнини.
|
|
8) (ТУ-2005) Три сфери се допират до равнината на триъгълник АВС в неговите върхове. Всяка сфера се допира до останалите две. Ако АВ = 5, ВС = 2 и АС= , да се намерят:
а) радиусите на трите сфери;
б) обемът на многостена с върхове АВС и центровете на сферите.
|
|
9) Дадена е сфера с радиус R= и четири еднакви сфери, които са разположени в нея така,че всяка се допира до сферата с радиус R и до другите три сфери. Намерете радиусите на еднаквите сфери.
|
|
Верните отговори са:
1)1,5 π дм3
2)1780380лв
3)
5)
6)в)около ОАСВ може да се опише окръжност, от косинусова теорема АВ= ; ОС=2 , г) k =8
7) ;
8) a ) r 1 =1,25; r 2 =5; r 3 =1;
9)
Сподели с приятели: |