Никой не знае от колко века съществуват числата, с които сега работим, но едно е неоспоримо няма друг универсален език на света.
Всичко започва от множеството на естествените числа
Това са числата 1, 2, 3, 4, 5, ......и се означава с N
Това множество се въвежда аксиоматически чрез три основни числа и пет аксиоми. Тези аксиоми се наричат аритметични аксиоми на Пеано на името на италианския математик Джузепе Пеано (1858 - 1932).
Основните (първичните) понятия на Пеано са:
“едно”, “наследник”, “естествено число”.
Петте аксиоми на Пеано гласят:
Аксиома първа. 1 е естествено число.
Аксиома втора. За всяко естествено число съществува единствен наследник.
Аксиома трета. Едно не е наследник на никое естествено число.
Аксиома четвърта. От , където и са наследници на естествените числа х и у , следва
Аксиома пета. Нека N е някое множество от естествени числа със следните свойства:
-
1 N ;
-
A ко естествено число х N , то и наследникът му , тогава N е множеството на всички естествени числа.
Петата аксиома на Пеано се нарича “принцип на пълната математическа индукция” (индукция – заключение от частното към общото). Приложението на този принцип не само в аритметиката, но в математиката изобщо, се нарича “метод на пълната математическа индукция”.
Доказването на свойства на операциите с естествени числа става с помощта на принципа на индукцията:
-
на всеки две естествени числа a и b се съпоставя еднозначно естествено число, което се означава a+b и се нарича сбор (сума) на числата a и b ;
-
на всеки две естествени числа a и b се съпоставя еднозначно естествено число, което се означава a.b и се нарича произведение на числата a и b ;
За въведените операции събиране и умножение са в сила следните свойства:
-
Разместително (комутативно) свойство на събирането:
a + b = b + a
-
Съдружително (асоциативно) свойство на събирането:
( a + b ) + c = a + (b + c)
-
Разместително (комутативно) свойство на умножението:
a.b = b.a
-
Съдружително (асоциативно) свойство на умножението:
( a.b ) .c = a.(b.c)
-
Разпределително (дистрибутивно) свойство на умножението относно събирането:
( a + b ). c = a . c + b . c .
По- нататък се въвеждат и обратните операции на събирането и изваждането. Нека a и b са две произволни естествени числа.
-
Ако съществува естествено число x , така че да е в сила равенството , числото х се нарича разлика на числата a и b и се означава с b – a .
-
Ако съществува естествено число у, така че да е в сила равенството а . у = b , числото у се нарича частно на числата b и a и се означава b : a.
С помощта на понятието сбор на естествени числа се дава дефиниция на понятието “наредба” в множеството на естествените числа.
За наредбата на естествените числа се доказват свойствата:
-
Трихотомия на наредбата. За всеки две естествени числа a и b е изпълнена точно една от релациите:
a = b , a < b , a > b .
-
Ако a < b и b < с, то a < с.
-
Ако a < b , то a + с < b + с за всяко с.
-
Ако a < b , то a . с < b . с за всяко с.
Естествените числа се записват в десетична позиционна бройна система с помощта на десетте цифри
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
-
Системата се нарича позиционна , защото всяка цифра според позицията (мястото) си в десетичния запис на числото, показва броя на единиците, десетиците, стотиците, хилядите и т. н.
-
Системата се нарича десетична, защото основна роля при записа на числата играе числото 10.
Например: 1234 = 1.103 + 2.102 + 3.101 + 4.100
23456 = 2.104 + 3.103 + 4.102 + 5.101 + 6.100.
За основа на записа на естествените числа, вместо числото 10, може да се вземе кое да е естествено число . Тогава при записа на числата се използват р цифри и позиционната бройна система се нарича р-ична.
Например 102033 (4) е запис в четиритична позиционна бройна система на числото 1167(10) , защото
1.45 + 0.44 + 2.43 + 0.42 + 3.41 + 3.40 = 1167(10) .
Индексът се поставя, когато искаме да отбележим основата на бройната система.
Друг пример е равенството 10011011 (2) = 155(10) , защото
1.27 + 0.26 + 0.25 + 1.24+ 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 155
За записване на естествените числа в двоична система се използват само две цифри 0 и 1.
Записването на естествените числа може да става и с римски цифри:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000.
Ето някои примери:
IX = 9, XV = 15, XCIV = 94, CXVII = 117, MCMXC = 1990.
Множество на целите числа
За да се задоволят нуждите от действие изваждане е необходимо разширяване на множеството на естествените числа до множеството на целите числа.
Ако към множеството на естествените числа добавим и техните противоположни се получава новото множетство на целите числа.
Множеството на целите числа е
…,– 5 ,– 4 ,– 3 ,– 2 ,– 1 , 0 , 1, 2, 3, 4, 5, … и означаваме със Z .
В това множество не само сборът и произведението, но и разликата на две цели числа е също цяло число, т.е. операцията изваждане е винаги изпълнима.
Дефиницията на целите числа в аритметиката използва познатите вече естествени числа. Една част от новото множество на целите числа се отъждествява с естествените числа. Числата от тази част се наричат положителни цели числа. Числата от друга част се наричат отрицателни цели числа. Освен положителните и отрицателните цели числа има още едно цяло число, числото 0 (нула).
Дефинира се понятието противоположно число на дадено, различно от 0, цяло число. Ако а е цяло число, противоположното му число се означава с (– а ).
Дефинира се понятието абсолютна стойност на цяло число като | a | = a , ако а е положително и | а | = - а, ако а е отрицателно. Числото 0 няма противоположно и | 0 | = 0.
Доказва се, че за събирането и умножението в множеството на целите числа са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства. Изпълнено е и свойството трихотомия на наредбата в множеството на целите числа.
В разширеното множество от цели числа новият елемент – числото 0 играе особена роля. Ето някои свойства на целите числа, свързани с числото 0
-
За всяко цяло число а е изпълнено
а + 0 = а, а + (-а) = 0 .
-
Ако произведението на две цели числа а и b е 0, т.е. ако а. b = 0 , то поне едното от тях е 0.
-
Уравнението а + х = 0,където а е цяло число, има точно едно решение х = – а .
При всяко разширение на една категория числа се получава нова категория числа, която е много по-богата с числени индивиди, по-богата на съдържание и свойства. Но при такова разширение неминуемо някои от свойствата на “старата” категория числа се загубват. Например:
-
Във всяко множество от естествени числа има най-малко естествено число. Но има множества от цели числа, които нямат най-малко число. Например множеството от отрицателни цели числа няма най-малко число.
-
В множеството на естествените числа, от а < b следва а . с < b . с без значение кое е естественото число с . Но в множеството на целите числа това е изпълнено само ако с е положително цяло число.
Множество на рационалните числа
Множеството на целите числа задоволява нуждите на събирането, изваждането и умножението, но не е достатъчно за нуждите на делението. Частното на две цели числа не винаги съществува, т.е. действието деление не винаги е изпълнимо в множеството на целите числа.
За да бъде действието деление винаги изпълнимо, трябва множеството на целите числа да се разшири.
При дефиницията на рационални числа се използват двойки от цели числа .
Множеството на рационалните числа се означава с Q
В случай, че двойката цели числа има частно, тя води до цяло рационално число , a когато двойката няма частно, тя води до дробно рационално число .
За рационалните числа също може да се докаже, че са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства. Изпълнено е и свойството трихотомия на наредбата в множеството на рационалните числа.
В множеството на рационалните числа частното на две рационални числа a и b ( ) съществува и също е рационално число, т.е. операцията деление е изпълнима. Казано по друг начин уравнението
а.х = b , а 0
има точно решение в множеството на рационалните числа.
Решението на уравнението а.х = 1 (а 0) , т.е. числото се нарича реципрочно число на рационалното число а. Всяко рационално число, което е различно от 0, има реципрочно.
Това понятие липсва в множеството на целите числа.
В множеството на целите числа всяко число има съседни числа. В множеството на рационалните числа няма съседни числа. Които и две рационални числа a и b да вземем, между тях има и то безброй много други рационални числа – например , , … Това свойство на рационалните числа се нарича гъстота.
Всяко рационално число може да се представи във вида , където q е естествено число, а p – цяло число (положително, отрицателно или нула).
Рационалните числа могат да се представят и чрез десетични дроби. Но оказва се, че не всяка десетична дроб представя рационално число. Само крайните и безкрайните периодични десетични дроби представят рационални числа.
Рационалните числа се изобразяват с точки от числовата ос .
Оказва се, обаче че не всяка точка от числовата ос е “рационална”, т.е. е образ на рационално число. Например, решението на уравнението х2 = 2.
Доказва се, че не съществува рационално число, чиято втора степен е равна на 2. Ако нанесем на положителната посока на числовата ос, от началото О, отсечката ОР, равна на диагонала на квадрат със страна 1, точката Р отговаря на числото х, за което х2 = 2. Тъй като такова рационално число не съществува, точката Р не е “рационална” точка. Това показва, че върху числовата ос има точки, които не са “рационални”.
Множество на реалните числа
Необходимостта от разширяване на множеството на рационалните числа е за да задоволи нуждата от действие коренуване. Квадратен корен от положително рационално число не винаги съществува в множеството на рационалните числа ( , ).
“Рационалните” точки на числовата ос са гъсто разположени върху нея. Между всеки две от тях има и безброй много други “рационални” точки. Но въпреки това остават и “празни” точки, които не са образи на рационални числа.
Безкрайните десетични дроби съответстват на рационални числа, само ако са периодични * . Но има и непериодични безкрайни десетични дроби. Например: 0,12345678…
Това са някои от причините, които налагат множеството на рационалните числа да се разшири.
В училищния курс по математика това разширение става описателно с помощта на безкрайните десетични дроби. Прието е под реално число да се разбира безкрайна десетична дроб.
-
Когато безкрайна десетична дроб е периодична, това “число” ще е познатото ни рационално число.
-
Когато безкрайна десетична дроб е непериодична, това “число” ще е ново – ирационално число.
Множеството на рационалните и множеството на ирационалните числа образуват множеството на реалните числа.
Издържана в теоретично отношение дефиниция на реалните числа дава едва в 1872 г. немският математик Дедекинд (1831 – 1916 г.) в съчинението си “Непрекъснатост и ирационални числа” като използва рационалните числа.
Независимо от Дедекинд и по същото време реалните числа са дефинирани чрез безкрайни редици от рационални числа от немските математици Кантор (1845 – 1918 г.) и Вайерщрас (1815 – 1897 г.). Въвеждането на реалните числа в средното училище е най-близко до теорията на Кантор.
За реалните числа са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства, както и трихотомията на наредбата.
Най-важното свойство на реалните числа е новото свойство непрекъснатост.
Често се остава с погрешното убеждение, че понятието ирационално число е свързано със символа . Това е така, защото именно при корените за първи път се въвеждат ирационалните числа. Числата , , и т.н. са ирационални, но това са само частни случаи на ирационалните числа. Съществуват ирационални числа, които не са свързани с радикали.
Реалните числа се делят на две групи:
алгебрични числа и трансцендентни числа.
-
Едно число се нарича алгебрично, когато съществува уравнение с цели коефициенти, на което то е корен.
Всички реални числа, които са рационални, са и алгебрични. Рационалното число е корен на уравнението qx – p = 0 . Например числото е корен на уравнението 2х – 3 = 0.
Една част от ирационалните числа също са алгебрични. Например числото е корен на уравнението
х 2 – 2 = 0.
-
Има реални числа (те са ирационални), за които няма уравнения с цели коефициенти, на които те да са корени. Те се наричат трансцендентни числа.
Такива са например
числото π = 3,141592,
числото е = 2,718281,
използвано от шотландския математик Джон Непер (1550 – 1617 г.) за основа на естествените (натуралните) логаритми.
Изглежда невероятно, но е истина, че множеството на трансцендентните реални числа е много по-богато на числени индивиди от множеството на алгебричните реални числам т.е. “трансцендентните” точки върху числовата ос са много повече от “алгебричните” точки.
Множеството на реалните числа също се разширява с така наречените комплексни числа, като пак се спазва принципът на перманентност. Комплексните числа се изобразяват с точките на една равнина, като реалните числа се изчерпват с точките на една права от тази равнина. Например двете решения на квадратното уравнение х2 + 1 = 0 са комплексни числа, кито се означават с i и – i , където i = .
Превръщане на обикновени дроби в десетични
Всяко рационално число може да се представи във вида , където q е естествено число, а р – цяло число (положително, отрицателно или нула).
Например , , , , , , са рационални числа.
Рационалните числа могат да се представят и чрез десетични дроби, като числителя разделим на знаменателя. Ако след определен брой деления се получи остатък 0, резултатът от делението е крайна десетична дроб.
Ако след определен брой деления някой остатък се повтори, цикълът между двата повтарящи се остатъци ще се повтаря безброй много пъти и резултатът от делението е безкрайна десетична периодична дроб.
Тъй като при деление на естествено число q остатъци могат да бъдат числата 0, 1, 2, … , q – 1, най-много след q на брой деления трябва да се получи или остатък 0, или някой остатък да се повтаря.
|
Следователно всяко рационално число може да се представи като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.
Превръщане на безкрайни периодични десетични дроби в обикновени
Особено важно е, че е вярно обратното твърдение:
Всяка безкрайна десетична периодична дроб представя рационално число.
|
За десетичните дроби с период 0, т.е. за крайните десетични дроби, твърдението очевидно е изпълнено.
Ще разгледаме няколко примери с безкрайни десетични периодични дроби.
I случай: Периодът започва непосредствено след десетичната запетая.
1 зад. Дробта 1,(6) = 1,666… може да се запише 1,666 … = 1 + 0,666 … = 1 + х, където х = 0,666… Понеже х = 0, 6 + 0,0666 … , намираме:
х = 0,6 + . 0,666…
х = 0,6 + . х
10 х = 6 + х х = от което се получава 1, (6) = 1 + =
2 зад. Дробта 3,(45) може да се напише 3,(45) = 3 + 0,(45) = 3 + х, където х=0,(45)
Понеже х = 0,45 + 0,00(45), намираме:
х = 0,45 + . 0,(45)
х = 0,45 + . х
100 х = 45 + х х = получаваме 3,(45) = 3 + = = т.е. 3,(45) = 3 +
II случай: Когато п ериодът не започва непосредствено след десетичната запетая.
3 зад. 5, 2(7) = 5 + 0, 2 + 0, 0(7) = 5 + + . 0,(7) = 5 + = 5 + = =
Тези пресмятания можем да запишем и така:
5, 2(7) = 5 + = 5 + = 5 +
4 зад. 3, 17(85) = 3 + 0, 17 + 0, 00(85) = 3 + = 3 + = 3 + = 3 + =
5 зад. Представете дробта 32, (632) като обикновена дроб
Решение: I начин: 32, (632)= 32 + = = = ;
II начин: 32,(632) = 32, 632632 = 100. 0.326326 … =100. =
6 зад. Пресметнете:
а) 1, 3(7) + 0, 5(23) – 0, (37) ; б) 2, 3(9) + 1, 4(7) + 0, 23(51).
Решение:
Представяме десетичните дроби като обикновени дроби и извършваме действията.
а) 1, 3(7) + 0, 5(23) – 0, (37) = 1 + + - = =1, 5(27) ;
б) 2, 3(9)+1, 4(7)–0, 23(51)=2+ + 1 + + = =4, 11(29) ;
ПРЕСМЯТАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛОВИ ИЗРАЗИ
При пресмятането на рационални числови изрази се спазват редица правила за реда на действията, за разкриване на скоби, за бързо смятане.
Ако в рационалния израз участват обикновени дроби и десетични дроби и числата позволяват да се премине в крайни десетични дроби, този подход се препоръчва, защото може да се използва и калкулатор.
Ако при превръщане на обикновените дроби в десетични се получи периодична дроб (или е дадена периодична дроб), пресмята се с обикновени дроби. При ползване на калкулатор периодичните дроби се вземат с приближение и резултатът също се получава с приближение.
Задача 1 Пресметнете израза А = .
Решение:
А = = = = = = = ,
А = = 0,1(923076).
Задача 2 Пресметнете израза
В = .
Решение:
В = = = =
= = = = 1, В =1.
Задача 3 Пресметнете израза С = .
Решение:
С = = = =
= = = = , С = .
Задача 4 Пресметнете израза F = .
Решение:
F = = = = = = = , F =2.
Пресметнете израза:
1 зад. ;
2 зад. ;
3 зад. ;
4 зад. ;
5 зад. ;
6 зад. ;
7 зад. ;
8 зад. ;
9 зад. Представете като десетична дроб числото:
а) б) в) г)
10 зад. Представете дадените десетични дроби като обикновени дроби:
а) 0,(3); в) 0,5(11); д) 2,01(3);
б) 0,(243); г) – 3,0(4); е) 1,2(34).
11. Представете като крайна десетична дроб дробта:
а) 19,2(9); б) 0,4(9); в) 2,521(9).
Верните отговори са:
1) 0,1
2)
3) 5
4) 18
5)
6) 3
7) 4
8) 1
9) а)0,28; б)0,125; в) 0,(45); г) 10,(714285)
10) а) б) в) г) д) е)
11) а) 19,3 б) 0,5 в) 2,522
Сподели с приятели: |