Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

Функции

Дефиниция: Дадени са две множества X и Y. Ако на всеки елемент

x  X е съпоставен точно един елемент y  Y, y = f (x), казваме че е дефинирана функцията f : X  Y;

y e образ на x, а x е прообраз на y под действие на функцията f;

X – дефиниционно множество;

Y – множество от стойности;

Означаваме с f (X) = { y  Y | y е образ на някое x };
Дефиниция: Функцията f : X  Y се нарича ‘върху’ или сюрективна, ако за всяко x  X съществува y  Y : f (x) = y, т.е. f (X) = Y;

Дефиниция: Функцията f : X  Y се нарича еднозначна или инективна, ако от x₁  x₂  f (x₁)  f (x₂);

Дефиниция: Функцията f : X  Y се нарича взаимноеднозначна или биективна, ако е едновременно сюрективна и инективна;
Дефиниция: Дадени са две функции f : X  Y, g : Y  Z; в такъв случай h : X  Z, дефинирана с h (x) = g (f (x)) за всяко x  X се нарича композиция на функциите f и g;
Дефиниция: Дадена е функция f : X  Y; в такъв случай g : f (X)  X се нарича обратна функция на f, ако f (g (y)) = y за всяко y  f (X);
Твърдение: Ако f : X  Y е биекция, тогава f притежава точно една обратна функция и тя се означава с f^-1;

1. 5. Фундаментални редици. Условие на Коши за сходимост.

Определение: редицата { a_n } е фундаментална, ако за всяко  > 0 съществува индекс N  N, такъв че при m > N, n > N: |a_m – a_n| < ;

Доказателство: Нека  = 1; съществува индекс N  N, такъв че при

m > N, n > N: |a_m – a_n| < 1;

нека m = N + 1; тогава за всяко n > N : a_N+1 – 1 < a_n < a_N+1 + 1

 M = max (a_N+1 + 1, a₁, a₂, …, a_N) е горна граница на редицата;

m = min (a_N+1 - 1, a₁, a₂, …, a_N) е долна граница на редицата;

 { a_n } е ограничена;
Критерий на Коши за сходимост: редицата { a_n } е фундаментална

 редицата { a_n } е сходяща;

Доказателство:

Нека { a_n } е сходяща и има граница А;

Избираме  > 0; нека ₁ = /2;

 съществува индекс N  N, че за всяко n > N: |a_n – A| < ₁;

нека m > N  |a_m – A| < ₁;

нека p > N  |a_p – A| < ₁;

 |a_m – a_p| = |a_m – A + A – a_p|  |a_m – A| + |a_p – A| < 2.₁ = 

 { a_n } – фундаментална;

Нека { a_n } е фундаментална  { a_n } – ограничена  { a_n } притежава точка на сгъстяване (по Болцано-Вайерщрас);

Допускаме, че съществуват две различни точки на сгъстяване A < B;

Избираме  = (B – A)/3;

A – точка на сгъстяване  съществуват безброй много елементи на редицата в околността (A - , A + );

B – точка на сгъстяване  съществуват безброй много елементи на редицата в околността (B - , B + );

{ a_n } – фундаментална  съществува N  N, че за n > N, m > N:

|a_n – a_m| < ;

Избираме n > N : |a_n – A| < ;

Избираме m > N : |a_m – B| < ;

това е възможно, защото само краен брой елементи имат

индекси  N, а  - околностите на A и B съдържат безброй много елементи;

Получаваме:

3. = B – A = |B – a_m + a_m - a_n + a_n – A|  |B – a_m| + |a_m – a_n| +

+|a_n – A| < 3. - противоречие  съществува единствена точка на сгъстяване на редицата { a_n }  { a_n } е сходяща;

Нека a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n;

тогава a_2n – a_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/2n > (1/2n).n = 1/2

 редицата не е фундаментална  не е сходяща;

Дадена е ограничената редицата { a_n };

Нека b_n = a₀ + a₁.q + a₂.q² + … + a_n.qⁿ, |q| < 1;

Избираме m = n+p; нека 0 |a_n|< M

|b_n+p – b_n| = |a_n+1.qⁿ⁺¹ + a_n+2.qⁿ⁺² + … + a_n+p.q^n+p| = |q|ⁿ⁺¹.(a_n+1 +

+ q.a_n+2 + … + a_n+p.q^p-1)  |q|ⁿ⁺¹.(|a_n+1|+ |q|.|a_n+2|+ … +|q^p-1|.|a_n+p|) <

< |qⁿ⁺¹|.M. (1 - |q|^p)/(1 – |q|) < M. |q|ⁿ⁺¹/(1 - |q|)  0 при n   

{ b_n} – фундаментална  { b_n} – сходяща;

1. Семинарни занятия

{ b_n }  +, тогава { a_n.b_n }  + , ако a > 0 и { a_n.b_n }  - , ако a < 0;

Доказателство: Нека a > 0; избираме  = a/2;

{ a_n} – сходяща  съществува индекс N₁  N, такъв че за всяко n > N₁,

|a_n – a|<   a -  < a_n < a +   a/2 < a_n < 3.a/2;

избираме произволно положително число M; нека M₁ = 2.M/a;

тогава съществува индекс N₂, такъв че за всяко n > N₂, b_n > M₁;

нека N = max (N₁, N₂); получаваме, че за всяко n > N,

a_n.b_n > a/2.b_n > a/2.2.M/a = M  { a_n.b_n }  + ;

за a < 0 аналогично;

където a_k  0, a_s  R, k  N - фиксирани;

границата на P (n) при n   е:

+ , ако a_k > 0;

– , ако a_k < 0;
Задача: Да се докаже, че съществува полином P_k+1(x) от степен k+1, където P_k+1 (x) = 1^k + 2^k + … + n^k; освен това старшият коефициент на

P_k+1 (x) е 1/(k+1);

+ , ако q > 1;

1, ако q = 1;

0, ако |q| < 1;

не съществува, ако q  -1;
Tвърдение: Ако { a_n }  0, тогава { |a_n| }  0;
Твърдение: Ако { a_n }  a, тогава { |a_n| }  | a|;
Tвърдение: Нека a_n  b_n за всяко n > k;

1. 
   Ако a_n  +   b_n  + ;
   
2. 
   Ако b_n  -   a_n  - ;
   

Границата на редицата { n^k/aⁿ }, където k  N, a  R⁺ - фиксирани:

+ , ако 0 < a < 1;

+ , ако a = 1;

0, ако a > 1;
Етапи при изследване на рекурентни редици:

1. 
   Намиране на евентуални граници – заместваме с едно и също число във връзката;
   
2. 
   Изследване за интервали на монотонност – n = ?, ако a_n < a_n+1;
   
3. 
   Изследване за ограниченост – n = ?, ако a_n  l, където l са някакви числа, получени от предните два етапа;
   

Твърдение: Нека a_n+2 = p.a_n+1 + q_.a_n, a₀ = A, a₁ = B,

където A, B, p, q – фиксирани; тогава ако уравнението x² = p.x + q има два реални корена ,  съществуват константи c₁, c₂, такива че:

ако   , a_n = c₁.ⁿ + c₂.ⁿ;

ако  = , a_n = (c₁ + n.c₂).ⁿ;

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: