9. Теореми за непрекъснати функции в краен затворен интервал.
Роля на затворения интервал: Нека { xn} А е произволна сходяща редица и всичките и елементи са в интервала [a, b]; тогава като използваме теоремите за граничен преход получаваме, че a A b, което означава, че граница остава в затворения интервал;
Теорема 1 (Болцано – Коши): Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека f (a) и f (b) имат различни знаци, т.е.
f (a).f (b) < 0 съществува c [a, b], такова че f (c) = 0;
Доказателство: Нека за определеност f (a) < 0, f (b) > 0;
Нека c1 = (a + b)/2; ако f (c1) = 0, теоремата е доказана;
ако f (c1) > 0, тогава а1 = а, b1 = c1; ако f (c1) < 0, тогава a1 = c1, b1 = b;
получаваме f (a1) < 0, f (b1) > 0;
Нека c2 = (a1 + b1)/2; ако f (c2) = 0, теоремата е доказана;
ако f (c2) > 0, тогава а2 = а1, b1 = c2; ако f (c2) < 0, тогава a2 = c2, b2 = b1;
получаваме f (a2) < 0, f (b2) > 0;
…
Нека cn+1 = (an + bn)/2; ако f (cn+1) = 0, теоремата е доказана;
ако f (cn+1) > 0, тогава аn+1 = аn, bn+1 = cn; ако f (c1) < 0, тогава
an+1 = cn+1, bn+1 = bn; получаваме f (an+1) < 0, f (bn+1) > 0;
…
Получаваме една свиваща се система от интервали [an, bn]; това е така, защото дължината на един интервал е (bn – an)/2n 0
при n и всеки интервал се съдържа в следващия; по теоремата на Кантор съществува единствена точка c, която принадлежи на всеки един от тези интервали an C, bn C при n ;
тъй като f (x) е непрекъсната, по Хайне f (an) f (C); тъй като
f (an) < 0 за всяко n N, след граничен преход получаваме: f (C) 0;
тъй като f (x) е непрекъсната, по Хайне f (bn) f (C); тъй като
f (bn) > 0 за всяко n N, след граничен преход получаваме: f (C) 0;
f (C) = 0;
Следствие 1: Всеки полином от нечетна степен има поне един реален корен;
Следствие 2: Нека f (x) е непрекъсната в R и 1, 2, ..., n са всички
нули на f (x); тогава f (x) не си променя знака в интервалите
( -, 1), (1, 2), …, (n, +);
Теорема 2 (за междинните стойности): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека е число между f (a) и f (b); тогава съществува c [a, b], такова че f (c) = ;
Доказателство: Разглеждаме помощната функция (x) = f (x) - ;
имаме: (a) = f (a) - < 0, (b) = f (b) - > 0, (x) – непрекъсната в
[a, b] съществува x0, такова че (x0) = 0 f (x) = ;
-
Теорема 3 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава f (x) е ограничена в [a, b];
Доказателство: Допускаме противното; нека за определеност f (x) е неограничена отгоре в интервала [a, b]; в такъв случай за всяко M R съществува x [a, b], такова че f (x) > M;
Нека M1 = 1; избираме x1, такова че f (x1) > M1;
Нека M2 = 2; избираме x2, такова че f (x2) > M2;
…
Нека Mn = n; избираме xn, такова че f (xn) > Mn;
…
Разглеждаме редицата { xn}; за нея a xn b за всяко n N; по теоремата на Болцано – Вайерщрас, съществува сходяща подредица
{ xnk} x0 [a, b]; получаваме, че f (xnk) > nk за всяко k N редицата f (xnk) при k ; oт друга страна f (x) е непрекъсната
по Хайне { f (xnk) } f (x0) – получаваме противоречие f (x) наистина е ограничена в [a, b];
Teoрема 4 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава тя достига най-голяма стойност (супремум) и най-малка стойност (инфимум);
Доказателство: f (x) непрекъсната в [a, b] f (x) е ограничена множеството X = { f (x) | a x b} притежава точна горна граница;
нека M = sup { f (x) | a x b}; тогава за всяко > 0, M - не е горна граница на X;
Нека 1 = 1; тогава съществува x1 [a, b], такова че f (x1) > M - 1;
Нека 2 = 1/2; тогава съществува x2 [a, b], такова че f (x2) > M - 2;
…
Нека n = 1/n; тогава съществува xn [a, b], такова че f (xn) > M - n;
…
Получаваме една редица { xn}, за която xn [a, b] и f (xn) > M – 1/n
за всяко n N; тъй като { xn} е ограничена, тогава по теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува сходяща подредица
{ xnk} x0 [a, b]; тъй като f (x) е непрекъсната по Хайне
{ f (xnk) } f (x0) за k ;
от друга страна M – 1/nk < f (xnk) M; от теоремата за полицаите
f (xnk) M f (x0) = M;
по същия начин се установява, че f (x) достига най-малка стойност;
Сподели с приятели: |