Рационални неравенства

Теорема: Ако двете страни на едно неравенство се умножат или разделелят с едно и също положително число, то се получава неравенство равносилно на даденото.

Нека f(x) = ax² + bx + c , а х₁ и х₂ са корени на уравнението f(x) = 0.

	a < 0	a > 0
D < 0	f(x) < 0 при f(x) = 0 няма решения f(x) > 0 няма решения	f(x) < 0 няма решения f(x) = 0 няма решения f(x) > 0 при
D = 0	f(x) < 0 при f(x) = 0 при х = х1 = х2 f(x) > 0 няма решения	f(x) < 0 няма решения f(x) = 0 при х = х1 = х2 f(x) > 0
D > 0	f(x) < 0 при f(x) = 0 при х = х1 или х = х2 f(x) > 0 при	f(x) < 0 при f(x) = 0 при х = х1 или х = х2 f(x) > 0 при

При решаване на квадратни неравенства е добре да се визуализира.

1. 
   4.х² – 20х + 25 > 0
   

D = 0 => x₁ = x₂ = 2,5

Решенията на неравенството са

2. 
   х² – 5х + 4 ≥ 0
   

D = 9, x₁ = 1; x₂ = 4

Решенията на неравенството са отговор:

3. 
   – х² – 3х – 2 > 0
   

4. 
   х² + 4.х + 7 < 0
   

5. 
   – 2x² + 3x – 2 < 0
   

7. 
   Определете допустимите стойности на ирационалния израз:
   

б) отг.

в) отг.

г) отг.

8) Намерете стойността на параметъра а, за която неравенството:

а) х² – а.х + 2 > 0 има решение за всяко х;

б) – х² + (а + 1).х – 1 < 0 има решение за всяко х;

в) х² – х + а < 0 няма решение.

а) За да намерим параметъра а изпълняващо това условие, то D < 0

б) Коефициента пред х² е (– 1) – отрицателен. За да е изпълнено неравенството за всяко х необходимо и достатъчно условие е D < 0

(a – 1)² – 4 < 0

(a – 1 – 2)(a – 1 + 2) < 0

(a – 3)(a +1) < 0 =>
в) D ≤ 0

1 – 4а ≤ 0

Задачи за самостоятелна работа

1) х² – 5х + 4 ≤ 0 отг.

2) х² – 10х + 9 > 0 отг.

3) х² – 20х + 64 ≥ 0 отг.

4) 9х² – 6х + 1 ≤ 0 отг.

5) 3х – х² – 2 > 0 отг.

6) 3х – 3х² – 7 ≥ 0 отг. Няма реални корени

7) х² – 4х < 0 отг.

8) 9х² – 12х + 4 ≤ 0 отг.

9) 4х² – 17х + 1 > 0 отг.

10) х² – 2х – 8 ≤ 0 отг.
11) Определете допустимите стойности на изразите:

а) отг.

б) отг.

в) отг.

а) bх² – х – 1 < 0

в) (1 – bx)(x +2) ≥ 0 Има два възможни случая:

1) , където се вижда, че второто неравенство няма решение, следователно няма решение и цялата система.

2) ако D = 0 т. е. при b =

Алгоритъм за решаване на неравенства от вида (х – х₁)(х –х₂)(х – х₃).... < 0, където х₁ ≠ х₂ ≠ х₃ ...

1. 
   Определят се пресечните точки на графиката на функцията с асцисната ос. Решава се уравнението f(x) = 0
   
2. 
   Нанасят се тези точки върху числовата ос
   
3. 
   Избира се произволно число р принадлежащо на един от интервалите, например р
   
4. 
   Определяме знака на f(p) , в останалите интервали знаците се сменят алтернативно.
   
5. 
   Определяме решението – интервалите в които стойността на функцията е търсената от нас.
   

Задачи за подготовка

1. 
   Решете неравенството (х – 1)(х – 2)(х – 4) > 0
   

Отг.

2. 
   Решете неравенството: (х + 1)(х – 1)(3 – х) < 0
   

Отг.

3) Решете неравенството: х (х – 2)(х + 2) ≥ 0

Решение:

х = 0 х – 2 = 0 х + 2 = 0

х = 2 х = – 2
Пресмятаме f(1), защото неможе да вземем х = 0

f(1) = 1.(1 – 2)(1 + 2) = – 3 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.

Отг.

4)Решете неравенството: (х – 4)(х + 3)(х – 1)² ≥ 0

Решение:

(х – 1)² ≥ 0 за всяко х, това означава, че от него знака на израза не зависи, но х = 1 е решение, това означава, че трябва да се включи в крайният резултат.

(х – 4)(х + 3) ≥ 0 и х = 1

х – 4 = 0 х + 3 = 0

х = 4 х = – 3
f(0) = (0 – 4)( 0 + 3) = – 12 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.
Отг.

5) Решете неравенството: х³ + х² – 30х ≤ 0

(х² – 4)(х² – 9 ) < 0

(х – 2)(х + 2)(х – 3)(х + 3) < 0

f(0) = (0 – 2 )(0 + 2)( 0 – 3)(0 + 3) = 36 > 0 => знака на f(x) при е положителен.

Отг.

7) Решете неравенството: х⁴ – 5х² + 4 ≥ 0

Решение:

(х² – 4)(х² – 1 ) ≥ 0

(х – 2)(х + 2)(х – 1)(х + 1) ≥ 0

f(0) = (0 – 2 )(0 + 2)( 0 – 1)(0 + 1) = 4 > 0 => знака на f(x) при е положителен.

Отг.

Задачи за самостоятелна работа
1) (х – 3)(х + 5) < 0 отг.

2) х (х + 2) ≥ 0 отг.

3) (х - )(3 – 2х) ≤ 0 отг.

4) х² – х – 2 ≥ 0 отг.

5) 4х² – 3х + 2 < 0 отг.

6) х³ – 25х > 0 отг.

7) 7х – х³ ≤ 0 отг.

8) (х +2)²(х – 1)(х – 3) ≥ 0 отг.

9) (х – 2)(х – 1)²(х – 3) ≤ 0 отг.

10) х⁴ – 20х² + 64 ≤ 0 отг.

11) (х² – 9)(х² – 64) ≥ 0 отг.

12) х⁴ – 29х² + 100 ≤ 0 отг.

13) 2х³ – х² + х – 2 > 0 отг.

14) 5х⁴ – 26х³ + 26х – 5 ≤ 0 отг.

Неравенство което съдържа неизвестно в знаменателя се нарича дробно неравенство.

Множеството от допустими стойности на дробното неравенство изключва стойностите в които се анулира знаменателя.
Задачи за подготовка
1) Определете множеството от допустими стойности на изразите:

а)

б)

2)Да се реши неравенството:

Нанасяме х = – 2 и х = – 0,5 върху числовата ос. Пресмятаме при х = 0 за определяне на знака на дробният израз в интервала в който се намира тази стойност.

Отг.

3. 
   Решете дробното неравенство :
   

ДС х ≠ 3 и х ≠ - 4

(х +2)² ≥ 0 за всяко х и не променя знака, но х = – 2 не е решение ( защо?)

Отново заместваме с х = 0 за да определим знака в интервала (- 4; 2)

Отг.

4. 
   Да се решат неравенствата:
   

а)

ДС

Отг.

б)



ДС х ≠ 1; х ≠ 3

т.к. (х – 2)² ≥ 0 за всяко х => (х – 1 )(х – 3) > 0

при х = 0 изразът е с положителна стойност

Отг.

Задачи за самостоятелна работа

1) отг.

2) отг.

3) отг.

4) отг.

5) отг.

6) отг.

7) отг.

8) отг.

9) отг.

10) отг.

Други неравенства
Задачи за подготовка
1 зад. Решете системата от неравенства:

Решение:

Отг.

(а + 1)² – ( – 3а) > 0

3 зад. Решете модулното неравенство :

Решение:

Задачи за самостоятелна работа

1) отг.

2) отг.

3) отг. Няма решение

4) отг.

5) Определете за кои стоиности на параметърът b квадратните уравнения нямат реални корени:

а) bx² + 2bx – 3 = 0 отг.

б) х² – (b + 4)x + b – 1 = 0 отг. Не съществува, такова b

ТЕСТ
Решете неравенствата (1 – 4):

1. 
   4 – х² ≥ 0
   

2)

а) б) в) г)

3) х⁴ – 8х² + 7 ≥ 0

а) б) в) г)

4) (х – 1)х(х + 2) > 0

а) б) в) г)

5) Кое от неравенствата има решение

а) б) в) г)

6) Решения на системата са: