Метрични зависимости в триъгълник, трапец и успоредник
Теория
Основните елементи в един триъгълник са страните и ъглите му. Всеки триъгълник триъгълник може да бъде “решен “, ако са дадени три елемента като поне един от тях е линеен(например страна и/или височина )
Освен основните елементи в един триъгълник важни са и височините, медианите и ъглополовящите.
Височина в тръгълник е перпендикуляра спуснат от връх на триъгълника към срещуположната му страна. Точката в която този перпендикуляр пресича страната се нарича пета на височината.
Медиана в триъгълник е отсечката свързваща връх на триъгълника със средата на срещуположната му страна.
Ъглополовяща – лъча който разделя ъгълът на две равни части.
За тези елементи на триъгълника са в сила следните формули.
Нека означим медианите от връх А с mа, от върха В с mb, от върха С с mc.
; ; , като следствие от тези формули за медиани, можем да изразим и старните на триъгълника, чрез медианите, а именно:
; ; .
Формули за ъглополовяща:
Извесна ни е връзката между страните и отсечките на които ъглополовящата дели срещуположната страна.
Тук ще докажем още една формула
Доказателство: От системата : се получава и .
Да приложим косинусова теорема за ΔАВL и ΔACL.
=>
=> , откъдето следва, че
, делим на ( b – c) и заместваме m и n
, от което след като заместим m и n се получава
Аналогично
Още една формула изразяваща ъглополовящата само чрез страните на триъгълника:
Нека .
; и
Триъгълник
Задачи за подготовка
1 зад. Да се намерят медианите на ΔАВС, ако страните му са:
а) 8 см, 9 см и 11 см;
Решение:=
б) 3 см, 5 см и 6 см
Решение:
2 зад. Да се намерят страните на ΔАВС, ако медианите му са ma = 17, mb = 13 и mc = 2
Решение:
;
3 зад. Да се намери страната с, ако а = 3 см, b = 4 см и mb = 5 см.
Решение:
Ще използваме , че 4.mb2 = 2.a2 + 2.c2 – b2
4.52 = 2.32 + 2.c2 – 42
2.c2 = 100 – 18 + 16
c2 = 49
c = 7
4 зад. Да се намери страната b , ако а = 10 см, ma = 5 и mb = .
Решение:
От , замествайки със стойностите
2.mc2 = 224
, оттук ще намерим и
5 зад. Да се намери , ако а = 4 см, b = 7 см и с = 10 см.
Решение:
От свойството на ъглополовящата , ако означим а = 4х и c = 10x , то АС = 14х, но АС = b = 7 => . АР = 2, СР = 5. От формулата за ъглополовяща
6 зад. В ΔАВС страната ВС е 14 см, АL е ъглополовяща (LВС), BL: CL = 2:5 и AL = 5. Да се намерят страните АВ и АС.
Решение:
Нека BL = 2x, CL = 5.х от ВС = ВL + СL
14 = 2х + 5х2
х = 2=> ВL = 4, СL = 10
Прилагаме косинусова теорема за ΔАВL и ΔАСL
с2 = АL2 + ВL2 + 2.АL.ВL.cos∢ALB
c2 = 25 + 16 + 2.5.4. cos∢ALB
и b2 = AL2 + CL2 – 2.AL.CL.cos∢ALC
–
cos∢ALC = – cos∢ALB
=> 2b2 + 5c2 = 455
Oт друга страна от формулата за ъглополовяща AL2 = b.c – BL.CL
b.c = 65
и да зам22естим
тук можем да положим с2 = х
5х2 – 455.х + 2.652 = 0
D = 4552 – 4.2.5.652 = 52.72.132 – 23.53.132 = 52.132.(72 – 40) = (3.5.13)2
х1 = 130 и х2 = 650
или , съответните или
7 зад. Ако за ΔАВС е дадено, че с = 42 см,, да се намерят страните а и с.
Решение:
=> и от AL + BL = 42 се получава , a
Замествйки във формулата за ъглополовящата се получава
(1) 162.(a + b)2 = ab(a + b)2 – 422.ab
Сега да използваме и формулата за медиана
4.9.41 = 2.a2 + 2.b2 – 422
можем да допълним до точен квадрат в дясно и се получава
(2) 4.9.41 = 2.(а + b)2 – 4.a.b – 422
В изразите (1) и (2) ще положим (a + b)2 = x , и а.b = y
Ще решим системата: => => y2 – 328.y – 256.810 = 0
y = 648 => => a = 18, b = 36 или a = 36, b = 18
8 зад. Периметърът на ΔАВС е 85, АВ = 35 см и . Да се намерят страните АС и ВС.
Решение:
a + b + c = 85
a + b = 50
Oт формулата за ъглополовяща
9.34 = , k + t = 35
, решението на тази система е 14 и 21
След като заместим за старните се получава
a = 30, b = 20 или а = 20, b = 30.
9 зад. Дадени са а = 10, ma = и периметъра на триъгълника 40 . Да се намери с.
Решение:
От периметъра следва, че b + c = 30
От формулата за медиана 4.209 = 2.b2 + 2.c2 – 100
2.209 = b2 + c2 – 50
(b + c)2 – 2.bc = 418 + 50
302 – 2.bc = 468
bc = 216
Решенията на системата: са 12 и 18
Задачи за самостоятелна работа
1 зад. Да се намерят медианите на ΔАВС, ако страните му са:
а) a = 12, b = 13 и c = 14;
Отг.
б) a = 5, b = 13 и b = 12
Отг.
в) a = 2, b = 4 и c = 5
Отг.
2 зад. Да се намерят страните на ΔАВС, ако медианите му са:
а) ma = , mb = и mc =
Отг.
б) ma = 4, mb = 5 и mc = ;
Отг.
в) ma = 3, mb = 5 и mc = 7.
Отг.
3 зад. Да се намери страната b , ако а = 2, с = 6 и mc = .
Отг.
4 зад. Да се намерят а и b, ако с = 7, mb = 3,5 и mc = .
Отг.a = 6, b = 11
5 зад. Да се намери косинуса на ъгълът между медианите ma и mb , ако страните на ΔАВС са а = 18, b = 22 и с = 16.
Отг.
6 зад. Да се намери периметърът на триъгълник с медиани
Отг. 12
7 зад. Да се намери , ако а = 4, b = 8 и с = 6.
Отг.
8 зад. Да се намери с, ако а = 3, b = 5 и
Отг. 4
9 зад. Да се намерят стрaните b и с, ако а = 4,и
Отг. 6 и 8 или 8 и 6
10 зад. В ΔАВС ъглополовящите ВК и СР се пресичат в точка О. Да се намери ъгъл АВС на ΔАВС, ако ВО = OК и РО = ().СО.
отг. 45о
Равнобедрен трапец
Теория
Трапец е четириъгълник с две успоредни страни, които наричаме основи.
Другите две страни се наричат бедра и ако те са равни трапеца е равнобедрен.
Свойства на равнобедрения трапец:
Ъглите при основата са равни.
Около него може да се опише окръжност винаги.
Около окръжност може да се опише четириъгълник, тогава и само тогава, когато сборът на срещуположните страни е равен.
АН = ; и височината DH =
Задачи за подготовка
1 зад. Даден е равнобедрения трапец с основи а = 6, b = 2 и бедро с = 2. Да се намерят:
а) височината му;
б) ъгълът при основата;
в) диагоналът на трапеца;
г) синусът на ъгъла между диагоналите.
Решение:
-
Питагорова теорема за ΔAHD h2 = (2)2 – 22
h2 = 8 – 4
h = 2
б) ΔAHD се получи правоъгълен равнобедрен , откоето следва, че ъгълът е 45о
в) Прилагаме питагорова теорема за ΔВHD
d2 = 42 + 22
d2 = 20
d = 2
г) Построяваме СК успоредна на BD, така, че К АВ, след което прилагаме косинусова теорема за ΔAКС
АК2 = АС2 + СК2 -2.АС.СК.cosφ, където с φ сме означили търсеният ъгъл.
82 = 20 + 20 -2.2cosφ
2 зад. В трапец с остър ъгъл при основата 60о е вписана окръжност с радиус 4 см и около него може да се опише окръжност. Да се намерят:
а) голямата основа;
б) малката основа;
в) диагоналът;
г) радиусът на описаната около трапеца окръжност.
Решение:
a) и б) h = 2.r = 8
От това, че трапеца е описан около окръжност следва, че бедрата са равни на
и
в) Прилагаме питагорова теорема за ΔВHD
г) От синусова теорема за ΔAВD се получава =>
3 зад. В равнобедрения трапец АВСD малката основа СD = 6, ∢АСD = α и ∢DАС = β. Да се намерят:
а) бедрото;
б) голямата основа;
в) диагоналът;
г) ъгъла между диагоналите.
Решение:
а) Прилагаме синусова теорема за ΔAСD се получава
б) От ΔAHD
в) Ако приложим синусова теорема за ΔAСD получаваме
г) Построяваме СК успоредна на ВD и разглеждаме косинусова теорема за ΔAКС
, след заместване се получава
Задачи за самостоятелна работа
1 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи а = 11, b = 3 и бедро с = 5. Да се намерят:
а) височината;
б) косинусът на острият ъгъл при основата;
в) диагоналът;
г) косинусът на ъгъла между диагоналите.
Отг. а) 3 б) 0,8 в) г)
2 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи а = 26 и b = 10 в който може да се впише окръжност. Да се намерят:
а) височината на трапеца;
б) диагоналът;
в) косинусът на острия ъгъл при основата;
г) синусът на ъгъла между диагоналите.
Отг. а) б) в) г)
3 зад. В равнобедрения трапец АВСD голямата основа АВ = 6, ∢АСD = 30о и ∢DАС = 45о. Да се намерят:
а) бедрото;
б) малка основа;
в) диагоналът;
г) ъгъла между диагоналите.
Отг. а) б) в) 6 г) 120о
4 зад. Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около който е описана окръжност. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е . Намерете ъглите на трапеца.
Отг. 45о и 135о
5 зад. В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус r, а около него е описана окръжност с радиус R. Да се намерят ъглите на трапеца, ако R = r
Отг. 60о и 120о
Успоредник
Решаването на успоредник се свежда до решаване на няколко триъгълника.
Виж формулата изведена в урока за косинусова теорема.
Задачи за подготовка
1 зад. Дадени са страните на успоредник а =2 и b = 4 и острият ъгъл между тях е 60о. Да се намерят:
а) диагоналите на успоредника;
б) височините;
в) радиусите на описаните около АВС и около АВD окръжности.
Решение:
а) Прилагайки косинусова теорема за ΔАВD
d12 = 22 + 42 - 2.2.4.0,5
d12 = 12
d1 = 2
и косинусова теорема за ΔАВС
d22 = 22 + 42 + 2.2.4.0,5
d22 = 28
d2 = 2
б) Височините ги намираме от ΔАDH и ΔСDР
DH = 4.sin 60o
DH = 2.
DP = 2. sin 60o
DP =
в) За намиране на радиусите на описаните окръжности, ще използваме синусова теорема
От синусова теорема за ΔАВС се получава ;
Аналогично и за ABD .
2 зад. Даден е успоредник АВСD с диагонали АС = 10 и ВD = 12. Да се намерят страните на успоредника, ако ъгъла между диагоналите е 60о.
Решение: Нека АС и ВD се пресичат в точка О. Прилагаме косинусовата теорема за ΔАВО и за ΔАDО от което намираме страните на успоредника.
а2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos120o
a2 = 25 + 36 + 30
a2 = 91
b2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos60o
b2 = 25 + 36 – 30
b2 = 31
3 зад. Даден е правоъгълника АВСD със страна АD = 4 см и cos∢BOC = . Да се намерят:
a) АС
б) АВ
в) sin ∢BAC
г) радиусите на описаните около триъгълниците АВО и ВСО окръжности.
Решение:
а) Нека означим АС = d . Разглеждаме ΔВОС и прилагаме косинусова теорема за него.
BC2 = BO2 + CO2 – 2.BO.CO.cosφ
d = 10
б) От питагорова теорема за ΔАВС получаваме АВ2 = АС2 + ВС2
АВ =
АВ = 2
в) sin∢ВАС = 0,4
г) От синусова теорема за АВО =>
От синусова теорема за ВСО получаваме
4 зад. Страната на ромб е а и острият ъгъл е α. Да се намерят:
а) диагоналите на ромба;
б) синуса на ъгъла между диагонал и страна;
в) радиусите на описаните около триъгълниците АВС, АВD и АВО, където о е пресечна точка на диагоналите.
Решение:
а) Прилагаме косинусова теорема за ΔАВD
ВD2 = АВ2 + АD2 – 2.АВ.АD.cosα
BD2 = 2a2 – 2a2cosα
BD =
И за ΔАВС
АС2 = АВ2 + ВС2 – 2.АВ.ВС.cos(180o – α)
AC2 = a2 + a2 + 2a2cosα
AC =
б) От косинусова теорема за ΔАВС
ВС2 = АВ2 + АС2 – 2.АВ.АС.cos∢BAC
a2 = a2 + 2a2 + 2a2.cosα – 2.a2.. cos∢BAC
cos∢BAC =
в) Прилагаме синусова теорема за АВС
За ABD , а за АВО не е необходимо да използваме синусова теорема, т.к. ΔАВО е правоъгълен и
Задачи за самостоятелна работа
1 зад. Дадени са страните на успоредник а = 12 и b = 3 и ъгъл между тях е 45о. Да се намерят:
а) диагоналите на успоредника;
б) височините;
в) радиусите на описаните около АВС и около АВD окръжности.
Отг. а) и б) ; в);
2 зад. Даден е успоредник АВСD сдиагонали АС = 20 и ВD = 12. Да се намерят страните на успоредника, ако ъгъла между диагоналите е 60о.
Отг. AB = 14, AD =2
3 зад. Даден е правоъгълника АВСD със страна АD = 12 см и cos∢BOC = . Да се намерят:
a) АС
б) АВ
в) sin ∢BAC
г) радиусите на описаните около триъгълниците АВО и ВСО окръжности.
Отг. a) ; б) ; в) ; г)
4 зад. Страната на ромб е 1 см и остър ъгъл 45о. Да се намерят:
а) диагоналите на ромба;
б) синуса на ъгъла между диагонал и страна;
в) радиусите на описаните около триъгълниците АВС, АВD и АВО, където о е пресечна точка на диагоналите.
Отг. а) ; б) в)
ТЕСТ
1 зад. Ако страните на триъгълник са а = 6, b = 8 и с = 10, то mc е :
а) б) в) 8 г) 5
2 зад. Ако страните на тиъгълник са а = 4, b = 6,5 и с = 9, то ъглополовящата lb е :
а) б) в) 6 г) 36
3 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи 6 и 12 см, а бедрото е 5 см. Височината на трапеца е:
а) 3 см б) 4 см в) 5 см г) 6 см
4 зад. Равнобедрен трапец с бедро 10 см и радиус на вписаната окръжност 4 см. Косинусът от ъгъла при голямата основа е равна на:
а) б) в) г) 1
5 зад. Даден е правоъгълник с диагонал равен на 13 см и синус от ъгъла които той сключва с една от страните равен на . Страните на правоъгълника са с размери:
а) 5 и 12 см б) 5 и 13 см в) 12 и 13 см г) 7 и 8 см
6 зад. Ако диагоналите на успоредник са взаимноперпендикулярни и ра равни на 4 см и на , то ъгълът на успоредника е:
а) 60о б) 75о в) 30о г) 45о
Сподели с приятели: |