Метрични зависимости в триъгълник, трапец и успоредник



Дата12.03.2018
Размер112.06 Kb.
Метрични зависимости в триъгълник, трапец и успоредник
Теория

Основните елементи в един триъгълник са страните и ъглите му. Всеки триъгълник триъгълник може да бъде “решен “, ако са дадени три елемента като поне един от тях е линеен(например страна и/или височина )

Освен основните елементи в един триъгълник важни са и височините, медианите и ъглополовящите.

Височина в тръгълник е перпендикуляра спуснат от връх на триъгълника към срещуположната му страна. Точката в която този перпендикуляр пресича страната се нарича пета на височината.

Медиана в триъгълник е отсечката свързваща връх на триъгълника със средата на срещуположната му страна.

Ъглополовяща – лъча който разделя ъгълът на две равни части.
За тези елементи на триъгълника са в сила следните формули.
Нека означим медианите от връх А с mа, от върха В с mb, от върха С с mc.

; ; , като следствие от тези формули за медиани, можем да изразим и старните на триъгълника, чрез медианите, а именно:

; ; .
Формули за ъглополовяща:
Извесна ни е връзката между страните и отсечките на които ъглополовящата дели срещуположната страна.

Тук ще докажем още една формула


Доказателство: От системата : се получава и .

Да приложим косинусова теорема за ΔАВL и ΔACL.



=>

=> , откъдето следва, че







, делим на ( bc) и заместваме m и n



, от което след като заместим m и n се получава

Аналогично







Още една формула изразяваща ъглополовящата само чрез страните на триъгълника:

Нека .

; и
Триъгълник
Задачи за подготовка
1 зад. Да се намерят медианите на ΔАВС, ако страните му са:

а) 8 см, 9 см и 11 см;



Решение:=

б) 3 см, 5 см и 6 см

Решение:




2 зад. Да се намерят страните на ΔАВС, ако медианите му са ma = 17, mb = 13 и mc = 2

Решение:

;


3 зад. Да се намери страната с, ако а = 3 см, b = 4 см и mb = 5 см.

Решение:

Ще използваме , че 4.mb2 = 2.a2 + 2.c2b2

4.52 = 2.32 + 2.c2 – 42

2.c2 = 100 – 18 + 16



c2 = 49

c = 7

4 зад. Да се намери страната b , ако а = 10 см, ma = 5 и mb = .



Решение:

От , замествайки със стойностите



2.mc2 = 224



, оттук ще намерим и






5 зад. Да се намери , ако а = 4 см, b = 7 см и с = 10 см.

Решение:

От свойството на ъглополовящата , ако означим а = 4х и c = 10x , то АС = 14х, но АС = b = 7 => . АР = 2, СР = 5. От формулата за ъглополовяща








6 зад. В ΔАВС страната ВС е 14 см, АL е ъглополовяща (LВС), BL: CL = 2:5 и AL = 5. Да се намерят страните АВ и АС.

Решение:

Нека BL = 2x, CL = 5.х от ВС = ВL + СL

14 = 2х + 5х2

х = 2=> ВL = 4, СL = 10

Прилагаме косинусова теорема за ΔАВL и ΔАСL



с2 = АL2 + ВL2 + 2.АL.ВL.cos∢ALB

c2 = 25 + 16 + 2.5.4. cos∢ALB

и b2 = AL2 + CL2 – 2.AL.CL.cos∢ALC


cos∢ALC = – cos∢ALB

=> 2b2 + 5c2 = 455

Oт друга страна от формулата за ъглополовяща AL2 = b.c – BL.CL



b.c = 65

и да зам22естим

тук можем да положим с2 = х

5х2 – 455.х + 2.652 = 0

D = 4552 – 4.2.5.652 = 52.72.132 – 23.53.132 = 52.132.(72 – 40) = (3.5.13)2

х1 = 130 и х2 = 650

или , съответните или
7 зад. Ако за ΔАВС е дадено, че с = 42 см,, да се намерят страните а и с.

Решение:

=> и от AL + BL = 42 се получава , a

Замествйки във формулата за ъглополовящата се получава

(1) 162.(a + b)2 = ab(a + b)2 – 422.ab

Сега да използваме и формулата за медиана

4.9.41 = 2.a2 + 2.b2 – 422

можем да допълним до точен квадрат в дясно и се получава

(2) 4.9.41 = 2.(а + b)2 – 4.a.b – 422

В изразите (1) и (2) ще положим (a + b)2 = x , и а.b = y

Ще решим системата: => => y2 – 328.y – 256.810 = 0

y = 648 => => a = 18, b = 36 или a = 36, b = 18

8 зад. Периметърът на ΔАВС е 85, АВ = 35 см и . Да се намерят страните АС и ВС.



Решение:

a + b + c = 85

a + b = 50

Oт формулата за ъглополовяща

9.34 = , k + t = 35

, решението на тази система е 14 и 21

След като заместим за старните се получава



a = 30, b = 20 или а = 20, b = 30.
9 зад. Дадени са а = 10, ma = и периметъра на триъгълника 40 . Да се намери с.

Решение:

От периметъра следва, че b + c = 30

От формулата за медиана 4.209 = 2.b2 + 2.c2 – 100

2.209 = b2 + c2 – 50

(b + c)2 – 2.bc = 418 + 50

302 – 2.bc = 468



bc = 216

Решенията на системата: са 12 и 18


Задачи за самостоятелна работа
1 зад. Да се намерят медианите на ΔАВС, ако страните му са:

а) a = 12, b = 13 и c = 14;

Отг.

б) a = 5, b = 13 и b = 12


Отг.

в) a = 2, b = 4 и c = 5

Отг.

2 зад. Да се намерят страните на ΔАВС, ако медианите му са:

а) ma = , mb = и mc =

Отг.

б) ma = 4, mb = 5 и mc = ;

Отг.

в) ma = 3, mb = 5 и mc = 7.

Отг.

3 зад. Да се намери страната b , ако а = 2, с = 6 и mc = .

Отг.

4 зад. Да се намерят а и b, ако с = 7, mb = 3,5 и mc = .

Отг.a = 6, b = 11


5 зад. Да се намери косинуса на ъгълът между медианите ma и mb , ако страните на ΔАВС са а = 18, b = 22 и с = 16.

Отг.


6 зад. Да се намери периметърът на триъгълник с медиани
Отг. 12

7 зад. Да се намери , ако а = 4, b = 8 и с = 6.

Отг.

8 зад. Да се намери с, ако а = 3, b = 5 и

Отг. 4

9 зад. Да се намерят стрaните b и с, ако а = 4,и


Отг. 6 и 8 или 8 и 6
10 зад. В ΔАВС ъглополовящите ВК и СР се пресичат в точка О. Да се намери ъгъл АВС на ΔАВС, ако ВО = OК и РО = ().СО.
отг. 45о
Равнобедрен трапец
Теория
Трапец е четириъгълник с две успоредни страни, които наричаме основи.

Другите две страни се наричат бедра и ако те са равни трапеца е равнобедрен.

Свойства на равнобедрения трапец:

Ъглите при основата са равни.

Около него може да се опише окръжност винаги.

Около окръжност може да се опише четириъгълник, тогава и само тогава, когато сборът на срещуположните страни е равен.


АН = ; и височината DH =

Задачи за подготовка


1 зад. Даден е равнобедрения трапец с основи а = 6, b = 2 и бедро с = 2. Да се намерят:

а) височината му;

б) ъгълът при основата;

в) диагоналът на трапеца;

г) синусът на ъгъла между диагоналите.

Решение:


  1. Питагорова теорема за ΔAHD h2 = (2)2 – 22

h2 = 8 – 4

h = 2

б) ΔAHD се получи правоъгълен равнобедрен , откоето следва, че ъгълът е 45о

в) Прилагаме питагорова теорема за ΔВHD

d2 = 42 + 22

d2 = 20

d = 2
г) Построяваме СК успоредна на BD, така, че К АВ, след което прилагаме косинусова теорема за ΔAКС

АК2 = АС2 + СК2 -2.АС.СК.cosφ, където с φ сме означили търсеният ъгъл.

82 = 20 + 20 -2.2cosφ


2 зад. В трапец с остър ъгъл при основата 60о е вписана окръжност с радиус 4 см и около него може да се опише окръжност. Да се намерят:

а) голямата основа;

б) малката основа;

в) диагоналът;

г) радиусът на описаната около трапеца окръжност.

Решение:

a) и б) h = 2.r = 8

От това, че трапеца е описан около окръжност следва, че бедрата са равни на







и

в) Прилагаме питагорова теорема за ΔВHD






г) От синусова теорема за ΔAВD се получава =>

3 зад. В равнобедрения трапец АВСD малката основа СD = 6, ∢АСD = α и ∢DАС = β. Да се намерят:

а) бедрото;

б) голямата основа;

в) диагоналът;

г) ъгъла между диагоналите.



Решение:

а) Прилагаме синусова теорема за ΔAСD се получава



б) От ΔAHD



в) Ако приложим синусова теорема за ΔAСD получаваме





г) Построяваме СК успоредна на ВD и разглеждаме косинусова теорема за ΔAКС



, след заместване се получава
Задачи за самостоятелна работа
1 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи а = 11, b = 3 и бедро с = 5. Да се намерят:

а) височината;

б) косинусът на острият ъгъл при основата;

в) диагоналът;

г) косинусът на ъгъла между диагоналите.
Отг. а) 3 б) 0,8 в) г)

2 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи а = 26 и b = 10 в който може да се впише окръжност. Да се намерят:

а) височината на трапеца;

б) диагоналът;

в) косинусът на острия ъгъл при основата;

г) синусът на ъгъла между диагоналите.


Отг. а) б) в) г)

3 зад. В равнобедрения трапец АВСD голямата основа АВ = 6, ∢АСD = 30о и ∢DАС = 45о. Да се намерят:

а) бедрото;

б) малка основа;

в) диагоналът;

г) ъгъла между диагоналите.

Отг. а) б) в) 6 г) 120о
4 зад. Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около който е описана окръжност. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е . Намерете ъглите на трапеца.
Отг. 45о и 135о

5 зад. В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус r, а около него е описана окръжност с радиус R. Да се намерят ъглите на трапеца, ако R = r


Отг. 60о и 120о
Успоредник
Решаването на успоредник се свежда до решаване на няколко триъгълника.

Виж формулата изведена в урока за косинусова теорема.

Задачи за подготовка

1 зад. Дадени са страните на успоредник а =2 и b = 4 и острият ъгъл между тях е 60о. Да се намерят:

а) диагоналите на успоредника;

б) височините;

в) радиусите на описаните около АВС и около АВD окръжности.

Решение:

а) Прилагайки косинусова теорема за ΔАВD

d12 = 22 + 42 - 2.2.4.0,5

d12 = 12

d1 = 2

и косинусова теорема за ΔАВС



d22 = 22 + 42 + 2.2.4.0,5

d22 = 28

d2 = 2
б) Височините ги намираме от ΔАDH и ΔСDР

DH = 4.sin 60o

DH = 2.

DP = 2. sin 60o

DP =
в) За намиране на радиусите на описаните окръжности, ще използваме синусова теорема

От синусова теорема за ΔАВС се получава ;

Аналогично и за ABD .

2 зад. Даден е успоредник АВСD с диагонали АС = 10 и ВD = 12. Да се намерят страните на успоредника, ако ъгъла между диагоналите е 60о.


Решение: Нека АС и ВD се пресичат в точка О. Прилагаме косинусовата теорема за ΔАВО и за ΔАDО от което намираме страните на успоредника.

а2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos120o

a2 = 25 + 36 + 30

a2 = 91



b2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos60o

b2 = 25 + 36 – 30

b2 = 31


3 зад. Даден е правоъгълника АВСD със страна АD = 4 см и cos∢BOC = . Да се намерят:

a) АС


б) АВ

в) sin ∢BAC

г) радиусите на описаните около триъгълниците АВО и ВСО окръжности.
Решение:

а) Нека означим АС = d . Разглеждаме ΔВОС и прилагаме косинусова теорема за него.

BC2 = BO2 + CO2 – 2.BO.CO.cosφ







d = 10

б) От питагорова теорема за ΔАВС получаваме АВ2 = АС2 + ВС2

АВ =

АВ = 2


в) sin∢ВАС = 0,4

г) От синусова теорема за АВО =>

От синусова теорема за ВСО получаваме

4 зад. Страната на ромб е а и острият ъгъл е α. Да се намерят:

а) диагоналите на ромба;

б) синуса на ъгъла между диагонал и страна;

в) радиусите на описаните около триъгълниците АВС, АВD и АВО, където о е пресечна точка на диагоналите.

Решение:


а) Прилагаме косинусова теорема за ΔАВD

ВD2 = АВ2 + АD2 – 2.АВ.АD.cosα

BD2 = 2a2 – 2a2cosα

BD =

И за ΔАВС

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2.АВ.ВС.cos(180oα)

AC2 = a2 + a2 + 2a2cosα

AC =


б) От косинусова теорема за ΔАВС

ВС2 = АВ2 + АС2 – 2.АВ.АС.cos∢BAC



a2 = a2 + 2a2 + 2a2.cosα – 2.a2.. cos∢BAC

cos∢BAC =

в) Прилагаме синусова теорема за АВС




За ABD , а за АВО не е необходимо да използваме синусова теорема, т.к. ΔАВО е правоъгълен и

Задачи за самостоятелна работа


1 зад. Дадени са страните на успоредник а = 12 и b = 3 и ъгъл между тях е 45о. Да се намерят:

а) диагоналите на успоредника;

б) височините;

в) радиусите на описаните около АВС и около АВD окръжности.

Отг. а) и б) ; в);

2 зад. Даден е успоредник АВСD сдиагонали АС = 20 и ВD = 12. Да се намерят страните на успоредника, ако ъгъла между диагоналите е 60о.


Отг. AB = 14, AD =2

3 зад. Даден е правоъгълника АВСD със страна АD = 12 см и cos∢BOC = . Да се намерят:

a) АС

б) АВ


в) sin ∢BAC

г) радиусите на описаните около триъгълниците АВО и ВСО окръжности.


Отг. a) ; б) ; в) ; г)

4 зад. Страната на ромб е 1 см и остър ъгъл 45о. Да се намерят:

а) диагоналите на ромба;

б) синуса на ъгъла между диагонал и страна;

в) радиусите на описаните около триъгълниците АВС, АВD и АВО, където о е пресечна точка на диагоналите.
Отг. а) ; б) в)


ТЕСТ
1 зад. Ако страните на триъгълник са а = 6, b = 8 и с = 10, то mc е :

а) б) в) 8 г) 5


2 зад. Ако страните на тиъгълник са а = 4, b = 6,5 и с = 9, то ъглополовящата lb е :

а) б) в) 6 г) 36


3 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи 6 и 12 см, а бедрото е 5 см. Височината на трапеца е:

а) 3 см б) 4 см в) 5 см г) 6 см


4 зад. Равнобедрен трапец с бедро 10 см и радиус на вписаната окръжност 4 см. Косинусът от ъгъла при голямата основа е равна на:

а) б) в) г) 1


5 зад. Даден е правоъгълник с диагонал равен на 13 см и синус от ъгъла които той сключва с една от страните равен на . Страните на правоъгълника са с размери:

а) 5 и 12 см б) 5 и 13 см в) 12 и 13 см г) 7 и 8 см


6 зад. Ако диагоналите на успоредник са взаимноперпендикулярни и ра равни на 4 см и на , то ъгълът на успоредника е:

а) 60о б) 75о в) 30о г) 45о


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница