| 2. Диференциални уравнения от първи ред с отделящи се променливи
ДУ от първи ред с отделящи се променливи имат вида (x) (y)dy = (x) (y)dx.
Уравнението е записано в симетрична форма и в него променливите x и y са равноправни, т.е. може да считаме, че неизвестната функция е y = y(x) или, че неизвестната функция е x = x(y).
За да се реши това уравнение, първо трябва да се отделят променливите, като се раздели почленно с (x) (y):
(y)/ (y)dy = (x)/ (x)dx. След почленно интегриране се получава, така нареченото, решение в квадратури: ∫ (y)/ (y)dy =∫ (x)/ (x)dx.
Ако неопределените интеграли в това равенство се изразяват с елементарни функции G(y) и F(x), то се получава уравнение от вида G(y) + F(x) = C, което се нарича общ интеграл.
Ако уравнението е разрешимо относно y или относно x, то общото решение на ОДУ се получава или във вида y = y(x, C), или във вида x = x(y, C).
Пример:
Да се реши уравнението y ′ = √(1 – ).
Записваме dy/dx вместо y′ и получаваме dy/dx =√(1 − ).
Отделяме променливите: dy/√(1 − )=dx.
Интегрираме почленно ∫dy/√(1 − )=∫dx и получаваме общия интеграл arcsin y = x − C.
Общото решение може да се представи във вида x = arcsin y + C, или във вида y = sin(x − C). Понеже дефиниционната област на уравнението е множеството {(x, y) : |y| ≤ 1}, а областта на единственост – множеството {(x, y) : |y| < 1}, то не е трудно да се забележи, че уравнението има и две особени решения y = 1 и y = −1.
3 Видове ОДУ :
Сподели с приятели: | 
