Лекция Теоретически основи на вълновата акустика

Основни уравнения

Смисълът на това уравнение е че потокът на масата ρν през фиксирана повърхност затваряща някакъв обем води до промяна във времето на плътноста в този обем (или на налягането, което е пропорционално на плътноста в линейно приближение). Тук с е скороста на звука в средата.

Това уравнение изразява втория принцип на Нютон, че силата е равна на масата по ускорението. Тук уравнението е записано за единица обем.

3) Уравнение на състоянието

Видяхме че линейна акустична вълна се описва от налягането р и от скороста на частичките ν. Течностите обаче са свиваеми, макар и по-малко от газовете, затова  също е неизвестна величина. Необходимо е да се добави още уравнението на състоянието свързващо р и . За да получим тази връзка можем да разложим зависимоста р=р() в ред на Тейлор по малката величина  = ( - ₀ )/ ₀ = /₀, където  е отклонението на плътноста от равновесната стойност. Действително в акустиката  е малка величина даже за големи интензивности на вълната затова можем да се ограничим до втория порядък в разложението на Тейлър:

(3)

Скороста на звука се определя от израза:

След заместване в (3) получаваме:

където А=₀ с² и В=²₀ (c²/)

Безразмерната величина В/А е мярка за нелинейните акустични свойства на средата и се нарича коефициент на нелинейност. Течностите имат много по-голяма акустическа нелинейност отколкото газовете и затова нелинейните акустически ефекти в биотъканите също са големи.

Вълново уравнение

Без да изменяме физическия смисъл можем да въведем следните обобщени обозначения за скороста и времето:

(6)

В този случай броя на променливите намалява и уравненията (1) и (2) придобиват следния квазисиметричен вид:

Уравненията са квазисиметрични понеже първото уравнение е векторно и представлява в общия случай три уравнения за трите компоненти на скороста. Удобно е да се въведе скаларен потенциал на скороста, определен от равенството:

(8)

Тогава уравненията (7) се свеждат до вълново уравнение за потенциала и до връзка между налягането и потенциала:

(9)

Ако решим вълновото уравнение за потенциала ф, при определени начални и гранични условия, можем да определим р и u т.е. системата уравнения (7) и (8) дава решение на линейната акустика. Еквивалентна система от уравнения без потенциала на скороста се получава от вълновото уравнение за налягането и второто уравнение (7) т.е.:

(10)

От второто уравнение (9) следва важен извод за поведението на къси импулси в линейна еднородна среда без загуби. Ако интегрираме това уравнение за интервал от време, по-дълъг от импулса получаваме:

(11)

Средното налягяне за импулса е нула, тъй като за къс импулс потенциала ф₁ в

произволна точка преди идване на импулса е равен на потенциала ф₂ в същата точка след преминаване на импулса. Този резултат показва, че са невъзможни вълни само на сгъстяване или само на разреждане.

Хармонични вълни

Особен интерес представляват хармоничните вълни, които могат да се запишат в комплексна форма както следва:

След заместване във вълновото уравнени (10), което е валидно за хомогенна среда, за амплитудата на хармоничната вълна получаваме уравнението на Хелмхолц:

Уравнението на Хелмхолц е валидно за вълни в непрекъснат режим или за достатъчно дълги импулси. Нещо повече, това уравнение може да се използва за вълни с по-сложен спектър като първо се извърши Фурие разложение по хармонични вълни както следва:

Най-общо ако амплитудата р_ω е комплексна тя носи информация за фазата на вълната.

От уравнения (7), като използваме теоремата на Гаус можем да получим следното интегрално уравнение:

Очевидно, че изразът [ρv.v] има размерност на енергия на единица обем. Затова акустическата интензивност, с размерност мощност на единица площ, се дава от израза:

Съответно плътноста на акустическата енергия се дава от формулата:

(17)

Интензивноста на звуковите вълни се дава от средната по време енергия пренасяна от вълната за единица време през единица площ, нормална на посоката на разпространение.

За плоска синусоидална вълна в едномерен случай имаме:

където р=vc е налягането, v е скороста на частичките на средата, с е скороста на звука,  е плътноста на средата.

Съответно преместването d и ускорението a на частиците на средата се дават от:

d=-v/iw (19)

a=-iwv (20)

В тези прости формули може да се открие аналогия със законите на електричеството. Имаме следните съответствия на величините от акустиката и от електричеството:

c импеданс (L/C)^1/2

Тази аналогия се обяснява с факта че уравненията описващи линейна акустична вълна без загуби са аналогични на телеграфните уравнения, описващи разпространението на електрически сигнали по кабел.

Величината Z=p/v=c e аналогична на електрическия импеданс и затова ще я наричаме акустически импеданс.

Типични стойности за , c и Z са дадени в Таблица1. Не бива обаче да се забравя, че биологическите тъкани могат да се оприличат на композитни материали, състоящи се от различни компоненти, в които значенията на тези параметри могат съществено да се различават от средните значенията за цялата тъкан.

Таблица 1

Класификация на УЗ вълни според стойностите на честотата f и на интензивноста I:

1) Акустичните вълни могат да се разделят на следните честотни области

• 
  област на човешкия слух f<20 kHz
  
• 
  нискочестотни вълни: 10 kHz - 100 kHz
  
• 
  средночестотни звукови вълни: 100 kHz - 10 MHz
  
• 
  високочестотни звукови вълни: 10 MHz -1 GHz
  
• 
  хиперзвук: 1 GHz - 10¹³ Hz
  

2) УЗ вълни се разделят на следните диапазони по интензивност:

• 
  ниска интензивност: до 1.5 вт/см² - за диагностика
  
• 
  средна интензивност: 1.5 до 3 вт/см² – за терапия
  
• 
  висока интензивност: от 3 до 10 вт/см² - биоефекти и хирургия.
  

Основно предимство на акустичните вълни в сравнение с електромагнитните е малката дължина на вълната, което позволява да се реализира визуализация с добра разделитилна способност, а също позволява фокусиране в малка област. Например дължината на вълната  във вода за 1 МНz е 1.5мм, а в областа на високите честоти варира от 150 до 1.5. Малките  обуславят лъчевия характер на разпространение на УЗ вълни.

За да отчетем визкозитета на течноста  трябва да добавим в уравнението на движение (2) още един член както следва:

₀(∂v/∂t) = (4/3)( ∂²v/∂x²) - ∂p/∂x (21)

Тук  е коефициент на напречна вискозност. Вискозитета е основната причина за загуба на енергия на акустичните вълни.

Отчитането на топлопроводноста на течноста е важно когато трябва да се изчисли температурното поле в тъканите вследствие на нагряване с фокусиран акустичен сноп. При движението на кръвта в човешкото тяло трябва да отчитаме два вида топлопроводност: градиентна топлопроводност на неподвижна течност, която се дължи на температурния градиент в неравномерно нагрято тяло; конвективна топлопроводност на подвижна течност, която се дължи на отмиване на топлите слоеве от потока и зависи от скороста на потока на течноста. Затова кръвообръщението значително снижава локалната температура в даден орган. Кръвообръщението служи освен за захранване на тъканите с кислород също и за охлаждане.

В отсъствието на външни топлинни източници уравнението на топлопроводност има следния вид:

където С е специфичната топлоемкост а v е локалната скорост на кръвта. Вторият член в лявата част на уравнението отчита влиянието на кръвообръщението.

Вискозитета и топлопроводноста водят до необратими процеси, които са важни при анализа на загубите при разпространение на акустични вълни.

Поглъщане на акустични вълни

При разпространението на УЗ вълна амплитудата и намалява поради различни механизми на загуба на енергия. Ще разгледаме всички процеси, които определят поглъщането на УЗ вълни. Поглъщането на енергията на акустичните вълни довежда до нейното необратимо превръщане в топлина:

То е предизвекано от необратимите загуби на енергия вследствие на вискозноста и топлопроводноста на средата. Загубите от дисипация при разпространение на плоска бягаща вълна могат да се опишат с експоненциално поглъщане α както следва:

Поглъщането, дължащо се на вискозитета на течноста ₁ се дава от следната формула:

₁/² = 2/3₀c³ (24)

Вискозният коефициент на поглъщане ₁ е право пропорционален на вискозитета на течноста.

Преноса на топлина от компресираните, по-топли области, към разредените по-студени области също води до необратима загуба на енергия и дава принос в коефициента на поглъщане. Може да се покаже че приноса на топлопроводноста в коефициента на поглъщане се дава от израза:

₂/² = K( -1)/2C_P₀c³ (25)

където К е коефициента на топлопроводност, C_P е специфична топлина при постоянно налягане, а  е отношението на специфичните топлини при постоянно налягяне и при постоянен обем и също е мярка за нелинейноста на средата. Поглъщането дължащо се на топлопроводност обикновено е много по-малко отколкото вискозното поглъщане. Изключение правят течности с много висока топлопроводност каквито са течните метали. Поглъщането на звука в течности описвано от сумата на формулите (24) и (25) се нарича класическо поглъщане.
2) Аномално (релаксационно) поглъщане на УЗ вълна и

дисперсия на скороста

Още първите експерименти за проверка на класическото поглъщане, проведени през 1911 г. показали двойно по голямо поглъщане при определени честоти в интервала 120 kHz - 4 MHz. Било очевидно че съществуват и други причини на молекулно ниво, които не се отчитат от макроскопическия анализ.

По-късно било показано, че причина за аномалното поглъщане са релаксационните процеси на предаване на енергия от вълната към средата като енергията на постъпателното движение на молекулите (външни степени на свобода) преминава във въртеливи или колебателни трептения на молекулите, в структурни промени и др. (вътрешни степени на свобода). Най-общо релаксационните процеси представляват закъснението на системата спрямо сили които я отклоняват от равновесие или закъснението при връщане на системата в равновесие когато външните сили изчезнат. При акустичната релаксация равновесното състояние се нарушава в областите на свиване и разреждане на средата.

Релаксационните акустични процеси могат да бъдат различни видове според това за какъв процес се използва погълнатата акустична енергия.

• 
  колебателна релаксация – ако постъпателното движение на частиците се превръща в трептене на молекулите.
  
• 
  въртелива релаксация – постъпателното движение преминава във въртеливи степени на свобода.
  
• 
  електронна релаксация – възбуждат се електронните нива на атомите
  
• 
  структурна релаксация - придизвикват се промени в близкия порядък на молекулите, което води до промяна в структурата на течноста.
  
• 
  химическа релаксация - акустичната енергия се използва за протичане на химически реакции.
  
• 
  изомерна релаксация - акустичната енергия променя изомерното състояние на молекулите.
  

(26)

където А=(α₃λ)_max/cω се нарича амплитуда на релаксацията. Фиг.1 помага да се разбере смисъла на формула (26). При ниски честоти параметрите на вълната се менят достатъчно бавно, така че процесът на преразпределение на енергията почти не се нарушава, и енергията преминала в средата се връща обратно във вълната с незначително фазово отместване. Поглъщането при това е малко. При нарастване на честотата връщането на енергията става с все по-голямо фазово отклонение и поглъщанито нараства. При честоти по-големи от честотата на релаксация параметрите на вълната се менят бързо и не успяват да нарушат термодинамичното равновесие на средата и затова малка част от енергията на вълната преминава във вътрешните степени на свобода на средата. При ω = ω₀ поглъщането за един период α₃λ достига максимум.

Фиг.1 (а) Релаксационно поглъщане (b) дисперсия на скороста на звука

(c) комбинация от класическо и релаксационно поглъщане

(d) сравнение на вискозен процес и релаксационен процес

Сумирайки (24), (25) и (26) получаваме обща формула за поглъщането:

(27)

Първият член в квадратните скоби характеризира поглъщането предизвикано от това че молекулите на средата се пренареждат в различни локални структури за крайно време, определено от вискозитета.

Вторият член, който обикновено е пренебрежимо малък описва загубите на енергия поради възникването на топлинен поток от областите с високо звуково налягане към областите с ниско звуково налягане.

Третият член в (27) дава общият случай когато трябва да сумираме повече от един вид релаксация.

Формула (23) може да се представи в следния вид:

(28)

Това равенство отново може да се сведе до вида u(x,t) = u₀ exp(-x)exp(iω(t-x/c)) ако въведем комплексна скорост зависеща от честотата:

(29)

Тук с₀ е скороста при отсъствие на поглъщане в средата. Ако има поглъщане фазовата скорост става комплексна и зависи от честотата т.е. съществува дисперсия на скороста.

Експерименталните методики за измерване на поглъщането и на скороста много си приличат. И в двата случая се мери сигнала на входа на средата и на изхода. При поглъщането се измерва отслабването на интензивноста, а при скороста се измерва времето за преминаване на определено разстояние или промяната на фазата.

В акустичната компютърна томография на меките тъкани се изчисляват с и α в различни точки от изследвания обем и се получава съответна картина, която дава информация за състоянието на тъканите и органите.

Макар и по-малко разпространена акустичната диагностика на костите също използва измерване на с и α като могат да се установят отклонения от нормалното съдържание на минерали или промени в структурата предизвикани от болести, например остеопороза.

Поглъщането и скороста на звука за нормални биотъкани варира според биологическия вид, пол, раса, възраст и т.н. Известно е например че с възраста се изменя съдържанието на колаген в сърцето и черния дроб, а също съдържанието на вода в мозъка. Последното обяснява факта, че акустическото поглъщане в мозъка на малко дете е около три пъти по-малко от поглъщането в мозък на възрастен човек. Установено е също, че скороста на звука в млечна жлеза намалява с възраста.

Има значение също така дали измерванията се извършват in vivo или in vitro. По прицип измерванията in vivo са по-трудни и по-неточни. Друга оснавна разлика се получава от действието на кръвотока при измервания in vivo.

В таблица 2 са показани скоростите на УЗ вълна в някои материали, биологически течности и меки тъкани.

Таблица 2

Материал	Скорост м/сек	Биотъкан	Скорост м/сек
стомана	6000	мускул	1600
стъкло	5500	бъбреци	1560
плексиглас	2750	мазнини	1400
вода	1480	сухожилия	1750
каучук	1000	гръбначен мозък	1510
полистирол	2400	костна тъкан	3500
полиетилен	2005	зъби	3700
въздух	320	мляко	1500

Тъканите могат да се разделят на три основни групи според скороста на звука:

1. 
   Тъкани на белия дроб: малката скорост на звука се определя от високото съдържание на газове
   
2. 
   Костна тъкан: висока скорост поради това че средата е близка по свойства до твърдо тяло
   
3. 
   Всички останали тъкани са течни среди и меки (водоподобни).
   

Таблица 3