15. Опит. Елементарно събитие

Изтегляне 90 Kb.

Дата	13.10.2018
Размер	90 Kb.
	#86830

15. Опит. Елементарно събитие.

Изучаваме дадено явление и отделяме неговите основни свойства, които образуват комплекс от условия, всяка реализация на който се нарича опит. Може да се окаже, че при дадени условия, опитът протича по ≠ начини, което води до ≠ изходи.

Опр. Всеки от отделните взаимно изключващи се изходи на даден опит (ω) се нарича елементарно събитие, а тяхното множество се нарича пространство от елементарни събития (Ω). Ако броят на ω е краен или изброим, то пространството от ел. събития Ω се нарича изброимо, а в противен случай – неизброимо

Опр. Всяко подмножество на дадено пространство Ω от ел. събития се нарича случайно събитие и се озн. с A,B,C,… Сл. събитие А се сбъдва, появява, реализира само тогава, когато се сбъдне някое от ел. събития принадлежащи на А.

Сл. събитие А ще се сбъдне при някое от ел. събития, от които е съставено А. Ако сл. събитие А съдържа всички ел. събития, то се нарича сигурно (достоверно) събитие. (А=Ω).

Празното множество ф се счита за подмножество на всяко пространство от ел. събития Ω . Ако АсВ, казваме, че сл. събитие А влече след себе си В. Това означава, че събитието В се сбъдва винаги, когато се е сбъднало събитието А.

Ако АсВ, ВсА, казваме, че АиВ са еквивалентни (А=В).

Обединение на сл. събития А и В се нарича събитието, което се сбъдва <=> сбъднало поне едно от двете събития А и В.

Сечение на събитията А и В се нарича събитието, което се сбъдва, когато се сбъднат едновременно събитията и А и В

Разлика на две събития А и В се нарича събитието, което се сбъдва <=> А се е сбъднало, а В не се е (А\В)

Допълнително (противоположно) събитие на А се нарича събитието, което се сбъдва винаги, когато не се е сбъднало събитието

Геометрично пространството от ел. събития Ω се изобразява във вид на квадрат, а действията обединение, сечение, разлика и допълнение се илюстрират със защрихованите части на следните чертежи: ...

Свойства на действията:

1) 2)

3) 4) AUΩ=Ω; A∩Ω=A; AUф=A; A∩ф=ф

5) Закони на Морган

Опр. Казваме, че сл. събития А₁, А₂, ..., А_n образуват пълна група ако:

Сл. Събития А и В се наричат несъвместими, ако А∩В= ф, и съвместими ако A∩B≠ф

Нека е дадено Ω и А е съвкупност от подмножества на Ω. Съвкупността А се нарича булева алгебра, ако:

1) ΩсА

2) Ако АсА, то A

3) Ако АсА и ВсВ, то АUBсА

От 1) и 2) => невъзможното събитие фсА, а от 2) и 3) =>A∩BсА

Нека F е съвкупност от подмножества на Ω. Тази съвкупност се нарича σ-алгебра, ако:

1) ΩсF

2) Ако АсF, то F

3) Ако А_i сF, i=1,2,…, то

От 1) и 2) => невъзможното събитие фсF, а от 2) и 3) =>

16. Вероятност, Свойства на вероятността. Класическа статистическа...

Нека Ω e пространство от ел. събития на даден опит и F е σ-алгебра от сл. събития на Ω

Опр. Вероятност с нарича числовата ф-я P с аргумент сл. събитие принадлежащо на F дефинирана чрез аксиомите:

1) P(A)≥0 за VAcF

2) P(Ω)=1

3) Ако A_ic F, i=1,2,… и А_i∩A_j=ф, i≠j, i,j=1,2,…,

то вероятността

Свойства на вероятността:

1) P(ф)=0

2) 1-P(A)

3) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(AUB)≤P(A)+P(B) – равенство има при A∩B=ф

4) Ако АсВ, то P(A)≤P(B)

5) 0≤P(A)≤1
Класическа вероятност

Нека Ω е дискретно пространство от n на брой равно възможни елементарни събития

Ω={ω₁, ω₂, …, ω_n}

P(ω_i)=1/n, i=1,2,…,n

и А е сл. събитие А={ω_i₁, ω_i₂, …, ω_im,}, m≤n

Тогава вероятността за събитието А се дава с формулата за класическа вероятност P(A)=m/n, където m е броят на ел. събития ω_i_ксА, к=1,2,…,m и се нарича брой на благоприятните изходи за сбъдването на А, а n е броят на всички елементарни събития ω_i_ксΩ, к=1,2,…,n

Геометрична вероятност

Нека при реализирането на даден опит всички равно възможни ел. събития ω да образуват непрекъснато пространство Ω. Например при случаен избор на точка от краен интервал, ограничена двумерна или тримерна област. Ако за появата на събитието А, всички благоприятни изходи съответстват на точките от областта g, а всички равно възможни изходи на ω съответстващи на точките от G, където g е подобласт на G, то вероятността за сл. събитие А се опр. по: P(A)=μ(g)/μ(G), където μ(g) и μ(G) са съответно мерките на g и G.

Статистическа вероятност

Да предположим, че се извършват серия от опити, като във всяка серия n пъти се повтаря един и същ опит. Нека при това, сл. събитие А се е осъществило υ_n в определена серия. Числото υ_nсе променя от серия към серия, като зависи и от броя на опитите във всяка серия.

За по-пълна характеристика на събитието А се въвежда относителна честота W_n(A)= υ_n/n. При неголям бр. опити в сериите относителната честота има сл. характер. Практиката показва, че при увеличаване броя на опитите в сериите , относителната честота до голяма степен изгубва сл. си характер и проявява тенденция към устойчивост, т.е. незначително се колебае около 0<число<1. Устойчивата честота W_n(A) се нарича още статистическа вероятност. Тя приблизително е равна на P(A), при n→∞.
18. Закони за разпределение, свойства, числови характеристики на сл. в-на

Нека Ω е пространство от ел. събития и F – σ-алгебра от подмножества на Ω

Опр. Числовата ф-я Х=X(ω), ωсΩ се нарича случайна в-на, ако за VxcR, множеството от ел. събития {ω: X(ω)cF. Множеството (1) се записва накратко във вида {X
Опр. Всяка зависимост м/у възможните стойности на сл. величина Х и съответните им вероятности се нарича закон за разпределение на Х

Опр. Функцията F(x) се нарича функция на разпределение на сл. величина Х, ако за VxcR, тя има стойност равна на вероятността на сл. събитие, т.е. F(x)=P{X|Свойства на F(x)

3) F(x) е монотонно растяща

4) Вероятноста P{a≤X≤b}=

=F(b)-F(a)

7) P{X=x₀}=F(x₀+0)-F(x₀)

Опр. Ако множеството от възможни стойности на сл. величина Х е изброимо, то сл. величина Х се нарича дискретна. В този случай законът за разпределение на сл. в-на Х, може да се зададе с таблица, в която се записват всички възможни стойности на Х и техните вероятности. Тази таблица се нарича Ред на разпределение на сл. в-на.