І. биографични бележки франсоа виет



Дата22.07.2016
Размер92.06 Kb.
ФОРМУЛИ НА ВИЕТ.

ПРИЛОЖЕНИЕ

І. БИОГРАФИЧНИ БЕЛЕЖКИ

ФРАНСОА ВИЕТ
Френски математик




Роден:

1540 г. Франция

Починал:

13 февруари 1603 г.



Франсоа Виет (на френски: François Viète, по-известен като Franciscus Vieta) е френски математик, който е известен с алгебричните формули, носещи неговото име.

Виет завършил право и е работил като адвокат в парламента. Бил е съветник на кралете Анри III и Анри IV. Математиката за него е била хоби. Принос на Виет е, че той първи е въвел буквени означения за коефициентите на уравненията и ги използвал за получаване на общи доказателства и решения. В същото време Виет не признавал отрицателните числа, защото за него неизвестните в уравненията били конкретни.
Формули на Виет:

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден многочлен и неговите корени.

Ако едно квадратно уравнение от вида:


има корени х1 и х2, и , то за тях са в сила следните уравнения:



Формулите на Виет дават възможност да се определят знаците на корените, без да се решава уравнението. Така например ако произведението им е отрицателно е ясно, че двата корена са с различни знаци. А ако е положително - те са с еднакви знаци. От друга страна съществува и теорема, обратна на тази на Виет, според която ако две числа x1 и x2 изпълняват условията x1 + x2 = −p и x1.x2 = q, то тези числа са корени на уравнението x2 + px + q = 0.


Нека .

Тогава като приравним коефициентите пред съответните степени на x на равенството, получаваме:





.......................................



ІІ. ЗАДАЧИ



Задача 1: Проверете дали дадените уравнения имат корени и чрез формулите на Виет намерете сбора и произведението им:

а) Зх2 – 5х + 2 = 0; б) 7х2 – Зх – 4 = 0;

в) 8х2 + Зх – 11=0; г) Зх2 – 5х+1=0;

д) 2х2х – 2 = 0; е) –Зх2 – х + 4 = 0;

ж) –5х2х + 3 = 0; з) 4х2 – 5 = 0;

и) 3x2x = 0; к) 11у2 +у – 2 = 0.


Задача 2: Даденото число е корен на уравнението. Намерете чрез формулите на Виет, другия корен на това уравнение:

а) х2 – 23х + 132 = 0, х1 = 11 б) х2 + 50х + 609 = 0, х1 = -29

в) х2 +17х - 308 = 0, х1 = -28 г) 2х2 + 17х – 55 = 0, х1 =

д) 7х2 + 53х – 24 = 0, х1 = е) 15х2 + х – 2 = 0, х1 =

ж) 9х2 + 2 = 9х, х1 = з) х2 – Зх + 10 = 0, х1=2

и) 2x2 + 5x – 21 = 0, х1 = й) x2 –(-1)x –= 0, х1=

к) –х2 – х + 2= 0, х1= –;
Задача 3: Да се намери на колко е равнен параметъра β,

а) ако х1= –1 е единият от корените на уравнението х2 – βх + 3 = 0;

б) ако х1= – 4 е единият от корените на уравнението х2 + 14х + β = 0;

в) ако х1= 2 е единият от корените на уравнението 2х2 + βх – 16 = 0.


Задача 4: Да се намери параметъра р на квадратното уравнение:

а) х2 + 6х + р = 0, с корени х1 и х2, ако х1 – х2 = 16;

б) х2 + 13х + р = 0, с корени х1 и х2, ако разликата на корените е равна на 5.
Задача 5: Ако числото х = 9 е корен на уравнението х2 – 7х + с = 0, да се намери другият му корен.
Задача 6: Всяко от следващите уравнения има реални корени. Без да се решават уравненията, да се определи кои от тях имат положителни корени, кои - отрицателни, и кои - корени с различни знаци:

а) х2 – 11х + 24 = 0; б) х2 + Зх+15 = 0; в) х2 – 2х – 48 = 0;

г) х2 +3х + 6 = 0; д) х2 – 4х + 15 = 0; е) х2 – 10х +18 = 0;

ж) 7х2– 20х+13 = 0; з) – 5х2 – 11х + 16 = 0; и) –13х2 + 37х – 24 = 0;

й) х2 + 4х –=0.
Задача 7: Като използвате формулите на Виет, намерете корените на квадратното уравнение (устно):

а) х2 –12х +11= 0; б) х2 +18х +17 = 0; в) х2 – 5х + 6 = 0;

г) х2 +12х – 13 = 0; д) х2 + 8х + 15 = 0; е) у2 – 9у+ 20 = 0;

ж) z2 + 5z – 6 = 0; з) у2 + 6у – 55 = 0; и) z2 + 10z +21=0;

й) у2 + 98у + 97 = 0.

Задача 8: Всяко от следващите уравнения има един отрицателен и един положителен корен. Без да решавате уравненията, определете кой от корените има по-голяма абсолютна стойност.
а) Зх2 + 16х – 19 = 0; б) 11х2 – 7х – 4 = 0; в) х2 – 4х – 3 = 0;

г) х2 + 6х – 2 = 0; д) Зх2 + х – 7 = 0.


Задача 9: Ако х1 и х2 са корени на уравнението 3х2 – 5х – 3 = 0, а х3 и х4 са корени на уравнението 2х2 + 5х + 3 = 0, без да се решават уравненията да се пресметне стойността на израза х12 – х3 – х4
Задача 10: Ако х1 и х2 са корените на квадратното уравнение f(х) = 0, пресметнете стойността на израза A:

а) f(x) = 5х2 + 2х – 7, А= б) f(x) = 2х2 – 3х + 2, А=

в) f(x) = 3х2 – 11х + 7, А=х12х2 + х1х22 г) f(x) = х2 – 2х – 5, А=х12х2 + х1х22
д) f(x) = 2х2х + , А=х12х2 + х1х22 е) f(x) = х2 – х – 2, А=(х1+2)(х2+2)
ж) f(x) = х2 + 20х + 99, А=х1222 з) х2 + 7х = 4х + 8, А=х12 + х22
и) 2х2 – 8х = 5х – 20, А=2х12 + 2х22 +

й) f(x) = х2 – 30х + 11, А=х1(1+х2)+х2 к) f(x) = 4х2 – 7х + 3, А=

л) f(x) = х2 – х – 8, А= м) f(x) = х2 – 10х + 22, А=

н) f(x) = х2 + 11х – 1, А=х13х2 + х1х23 о) f(x) = 2х2 + 6х +1, А=х13х2 + х1х23


п) f(x) = х2 + х – 17, А=х13 + х23 р) f(x) = 3х2 – х – 1, А=

с) f(x) = х2 – 3х + 1, А=


Задача 11: Ако х1 и х2 са корените на квадратното уравнение 2х2 – 5х + 2 =0. Да се пресметне 2х2, ако х1 = 2
Задача 12: Да се намери на колко е равен параметъра р, ако корените х1 и х2 на уравнението х2 – 3х – р = 0 удовлетворяват условието .
Задача 13: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 –(2m + 5)х + 5m + 4 = 0 има корени х1 и х2 за които:

а) Зх1 + Зх2 – х12 б) х12 + х22 = х1222 +1


Задача 14: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 – 2(m – 1)х + 2 m – 3 = 0 има корени х1 и х2, за които:

a) х1 + х2 = 2х1.х2; б) х12 + х22=10


Задача 15: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 – 2(m + 3)х + 2 m + 5 = 0 има корени х1 и х2 за които:

a) = 2; б) 2X1 + 2х2 = 3(х1.х2 + 3).


Задача 16: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 –(2m – 1)х – m – 2=0 има корени х, и х2, за които:

a) =; б) х12 + х22=7.



Задача 17: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 + 2(m+1)х + 4m=0 има корени х1 и х2, за които:

а) х12 + х22=4 + 3х1х2; б) = –1.



Задача 18: При какви стойности на параметъра а, уравнението х2 –(2а – 1)х – а – 2=0 има корени х1 и х2, за които:

а) х1 + х2 = 10 + Зх12; б) х12 + х22 = 7.


Задача 19: При какви стойности на параметъра m, уравнението х2 –(2m – 3)х +m2 – 3m=0 има корени х1 и х2, за които:

a) = 0,5; б) х12 + х22 = m 2 + 4.


Задача 20: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има два различни положителни корена:

а) х2 – 2(m +1)х + m2 + 1 = 0; б) х2 – 4х + m = 0;

в) х2 + 2mх – 2m – 1 = 0; г) x2 – 4х + m + 6 = 0;

д) х2 + 2(m +1)х – m – 3 = 0.


Задача 21: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има два различни отрицателни корена:

а) х2 + 2х + m = 0; б) х2 + 4х + 5 – m = 0;

в) х2 – 2mх – 4m – 4 = 0; г) x2 – (2m – 3)х + m – 5 = 0;

д) х2 + 2(m +1)х – m – 3 = 0.



Задача 22: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има корени с различни знаци:
а) х2 + Зх + m + 5 = 0; б) Зх2 – 2х + 3m + 2 = 0;

в) 2х2 – mх + 5 – m = 0; г) mx2 – 2mx + 3 = 0;

д) (m – 2)х2 + Зmх – 5= 0; е) х2 + (m2 – 6)х – 25 = 0.
Задача 23: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има 2 реални корена, които са противоположни числа:

а) х2 – 2mх + m2 5 = 0; б) х2 + 2(m + 3)х + m2 – 10 = 0;

в) 2х2 – 2(3m – 1)х – Зm – 4 = 0; г) mх2 –(2m + 5)х + m + 4 = 0;

д) х2 –2(m2 – 1)х + m4 – Зm2 = 0.


Задача 24: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има два реални корена, единият от които е реципрочен на другия:

а) х2 – 2mх + m2 – 4m + 4 = 0; б) х2 + 4х + 4 – m2 = 0;

в) 2х2 – 5х + m2 – 4m + 5 = 0; г) Зх2 – 2mх + m2 – 6m + 11 = 0;

д) x2 + 4mx + 3m2 – 5m + 3 = 0.


Задача 25: Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението х2 – (а – 1)х + а =0 има реални корени х1 и х2, удовлетворяващи равенството х12х2+ х1х22 = 2.
Задача 26: Намерете стойността на параметъра а в уравнението х2 – 2(а + 1)х + а2 + 2а = 0 така, че корените му х1 и х2 да изпълняват условието х12 = 3.
Задача 27: Намерете стойността на параметъра а в уравнението х2 –(а + 2)х – 2а2 + 4а – 0 така, че корените му х1 и х2 да изпълняват условието 2х1 – х2 = 2 а + 7.
Задача 28: Да се намерят стойностите на параметъра а, за които корените х, и х, на уравне­нието х2 –(а – 1)х – За – 6 = 0, удовлетворяват зависимостта Зх1 – х2 = 5 – а.
Задача 29: Да се намерят стойностите на параметъра а, за които корените х1 и х2 на уравне­нието х2 + 2(а + 1)х + 2а + 1 = 0, удовлетворяват зависимостта 2х1 – х2 = 2 – а.
Задача 30: Да се намерят стойностите на параметъра m, за които корените х1 и х2 на уравнението х2 – 2х – m2 – 2m =0, удовлетворяват зависимостта 2х1 – х2 = 13.
Задача 31: Да се намерят стойностите на параметъра m, за които корените х1 и х2 на уравнението х2 + 2mх – 3m2 = 0, удовлетворяват зависимостта 2х1 – х2 + 12 = 2m.
Задача 32: Да се намерят стойностите на параметъра т, за които корените х1 и х2 на уравнението 2х2 + (2m – 1)х + m – 1 = 0, удовлетворяват зависимостта 3x1 - 4х2 = 11.

Задача 33: Да се намерят стойностите на параметъра m, за които корените х1 и х2 на урав­нението х2 –(2m + 3)х + m2 + Зm = 0, изпълняват условието Зх1 – 2х2 + 4m = 19.
Задача 34: Да се намерят стойностите на параметъра m, за юито корените х1 и х2 на уравнението х2 –(2m + 3)х + m2 + 3m – 10 = 0, изпълняват условието 5х1 - Зх2 + 6m = 55.
Задача 35: Да се намерят стойностите на параметъра m, за които корените х1 и х2 на уравнението х2 –(2m + 1)х + m2 + 2m – 8 = 0, изпълняват условието х1 = х2 + 2m.

Теорема 2/обратна теорема/: Ако х1 и х2 са числа за които е изпълнено

то х1 и х2 са корени на квадратното уравнение




Задача 36: Като използвате обратната теорема на Виет, съставете квадратно уравнение, корените на което са:

а) 5 и 7; б) –8 и –5; в) -4 и 9; г) 8 и –10;

д) и 3; е) и ; ж) и ; з) 2 + и 2 –;

и) 2 и –2; й) 3 + и 3 –;


Задача 37: Като използвате обратната теорема на Виет, съставете квадратно уравнение, корените на което са 0 и .
Задача 38: Съставете квадратно уравнение, на което корените да са с 2 по-големи от корените на уравнението х2 – 4х + 3 = 0.
Задача 39: Съставете квадратно уравнение, на което корените да са 4 пъти по-големи от корените на уравнението х2 – 5х + 6 = 0.
Задача 40: Съставете квадратно уравнение, на което корените да са с 3 по-малки от корените на уравнението х2 – 2х – 8 = 0.
Задача 41: Съставете квадратно уравнение, на което корените да са 2 пъти по-малки от корените на уравнението х2 – 5х + 4 = 0.
Задача 42: Съставете квадратно уравнение, на което корените са реципрочни на корените на уравнението 2х2 + 9х – 18 = 0.
Задача 43: Без да намирате корените х1 и х2 на квадратното уравнение х2 – Зх – 2 = 0, съставете квадратно уравнение у2 + ру + q = 0, корените на което са:

а) у1=2х1, у2 = 2х2; б) у1= –3х1; у2= –3х2;

б) у1=, у2= г) у1=, у2=

Задача 44: Без да намирате корените х1 и х2, на квадратното уравнение х2 - 5х + 3 = 0, съставете квадратно уравнение у2 + ру + q = 0, корените на което са:
a) у1=x1 + 2, у2 = х2 + 2; б) у1 = х1 – 3, у2= х2 – 3;

б) у1= 1 – х1, у2= 1 – х2; г) y1= –2 – x1, y2= –2 – x2


Задача 45: Без да намирате корените х1 и х2 на квадратното уравнение х2 – 4х + 2 = 0, съставете квадратно уравнение ay2 + by + с = 0, корените на което са:

a) у1=2x1 + 1, у2 = 2х2 + 1; б) у1 = 3х1 – 2, у2= 3х2 – 2;



б) у1=, у2= ; г) y1= 3 – 2x1, y2= 3 – 2x2
Задача 46: Да се състави квадратно уравнение, чиито корени са реципрочни на корените на 2х2 + 3х – 2 = 0.






База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница