І. биографични бележки франсоа виет

ПРИЛОЖЕНИЕ

І. БИОГРАФИЧНИ БЕЛЕЖКИ

ФРАНСОА ВИЕТ Френски математик Роден: 1540 г. Франция Починал: 13 февруари 1603 г.

Франсоа Виет (на френски: François Viète, по-известен като Franciscus Vieta) е френски математик, който е известен с алгебричните формули, носещи неговото име.

Виет завършил право и е работил като адвокат в парламента. Бил е съветник на кралете Анри III и Анри IV. Математиката за него е била хоби. Принос на Виет е, че той първи е въвел буквени означения за коефициентите на уравненията и ги използвал за получаване на общи доказателства и решения. В същото време Виет не признавал отрицателните числа, защото за него неизвестните в уравненията били конкретни.
Формули на Виет:

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден многочлен и неговите корени.

Ако едно квадратно уравнение от вида:


има корени х₁ и х₂, и , то за тях са в сила следните уравнения:

Формулите на Виет дават възможност да се определят знаците на корените, без да се решава уравнението. Така например ако произведението им е отрицателно е ясно, че двата корена са с различни знаци. А ако е положително - те са с еднакви знаци. От друга страна съществува и теорема, обратна на тази на Виет, според която ако две числа x₁ и x₂ изпълняват условията x₁ + x₂ = −p и x₁.x₂ = q, то тези числа са корени на уравнението x² + px + q = 0.

Тогава като приравним коефициентите пред съответните степени на x на равенството, получаваме:

.......................................

ІІ. ЗАДАЧИ

а) Зх² – 5х + 2 = 0; б) 7х² – Зх – 4 = 0;

в) 8х² + Зх – 11=0; г) Зх² – 5х+1=0;

д) 2х² – х – 2 = 0; е) –Зх² – х + 4 = 0;

ж) –5х² – х + 3 = 0; з) 4х² – 5 = 0;

и) 3x² – x = 0; к) 11у² +у – 2 = 0.

а) х² – 23х + 132 = 0, х₁ = 11 б) х² + 50х + 609 = 0, х₁ = -29

в) х² +17х - 308 = 0, х₁ = -28 г) 2х² + 17х – 55 = 0, х₁ =

д) 7х² + 53х – 24 = 0, х₁ = е) 15х² + х – 2 = 0, х₁ =

ж) 9х² + 2 = 9х, х₁ = з) х² – Зх + 10 = 0, х₁=2

и) 2x² + 5x – 21 = 0, х₁ = й) x² –(-1)x –= 0, х₁=

к) –х² – х + 2= 0, х₁= –;
Задача 3: Да се намери на колко е равнен параметъра β,

а) ако х₁= –1 е единият от корените на уравнението х² – βх + 3 = 0;

б) ако х₁= – 4 е единият от корените на уравнението х² + 14х + β = 0;

в) ако х₁= 2 е единият от корените на уравнението 2х² + βх – 16 = 0.

а) х² + 6х + р = 0, с корени х₁ и х₂, ако х₁ – х₂ = 16;

б) х² + 13х + р = 0, с корени х₁ и х₂, ако разликата на корените е равна на 5.
Задача 5: Ако числото х = 9 е корен на уравнението х² – 7х + с = 0, да се намери другият му корен.
Задача 6: Всяко от следващите уравнения има реални корени. Без да се решават уравненията, да се определи кои от тях имат положителни корени, кои - отрицателни, и кои - корени с различни знаци:

а) х² – 11х + 24 = 0; б) х² + Зх+15 = 0; в) х² – 2х – 48 = 0;

г) х² +3х + 6 = 0; д) х² – 4х + 15 = 0; е) х² – 10х +18 = 0;

ж) 7х²– 20х+13 = 0; з) – 5х² – 11х + 16 = 0; и) –13х² + 37х – 24 = 0;

й) х² + 4х –=0.
Задача 7: Като използвате формулите на Виет, намерете корените на квадратното уравнение (устно):

а) х² –12х +11= 0; б) х² +18х +17 = 0; в) х² – 5х + 6 = 0;

г) х² +12х – 13 = 0; д) х² + 8х + 15 = 0; е) у² – 9у+ 20 = 0;

ж) z² + 5z – 6 = 0; з) у² + 6у – 55 = 0; и) z² + 10z +21=0;

й) у² + 98у + 97 = 0.

Задача 8: Всяко от следващите уравнения има един отрицателен и един положителен корен. Без да решавате уравненията, определете кой от корените има по-голяма абсолютна стойност.
а) Зх² + 16х – 19 = 0; б) 11х² – 7х – 4 = 0; в) х² – 4х – 3 = 0;

г) х² + 6х – 2 = 0; д) Зх² + х – 7 = 0.

а) f(x) = 5х² + 2х – 7, А= б) f(x) = 2х² – 3х + 2, А=

в) f(x) = 3х² – 11х + 7, А=х₁²х₂ + х₁х₂² г) f(x) = х² – 2х – 5, А=х₁²х₂ + х₁х₂²
д) f(x) = 2х² – х + , А=х₁²х₂ + х₁х₂² е) f(x) = х² – х – 2, А=(х₁+2)(х₂+2)
ж) f(x) = х² + 20х + 99, А=х₁²+х₂² з) х² + 7х = 4х + 8, А=х₁² + х₂²
и) 2х² – 8х = 5х – 20, А=2х₁² + 2х₂² +

й) f(x) = х² – 30х + 11, А=х₁(1+х₂)+х₂ к) f(x) = 4х² – 7х + 3, А=

л) f(x) = х² – х – 8, А= м) f(x) = х² – 10х + 22, А=

н) f(x) = х² + 11х – 1, А=х₁³х₂ + х₁х₂³ о) f(x) = 2х² + 6х +1, А=х₁³х₂ + х₁х₂³

с) f(x) = х² – 3х + 1, А=

а) Зх₁ + Зх₂ – х₁.х₂ б) х₁² + х₂² = х₁².х₂² +1

a) х₁ + х₂ = 2х_1.х₂; б) х₁² + х₂²=10

a) = 2; б) 2X₁ + 2х₂ = 3(х_1.х₂ + 3).

a) =; б) х₁² + х₂²=7.

а) х₁² + х₂²=4 + 3х₁х₂; б) = –1.

а) х₁ + х₂ = 10 + Зх₁.х₂; б) х₁² + х₂² = 7.

a) = 0,5; б) х₁² + х₂² = m ² + 4.

а) х² – 2(m +1)х + m² + 1 = 0; б) х² – 4х + m = 0;

в) х² + 2mх – 2m – 1 = 0; г) x² – 4х + m + 6 = 0;

д) х² + 2(m +1)х – m – 3 = 0.

а) х² + 2х + m = 0; б) х² + 4х + 5 – m = 0;

в) х² – 2mх – 4m – 4 = 0; г) x² – (2m – 3)х + m – 5 = 0;

д) х² + 2(m +1)х – m – 3 = 0.

в) 2х² – mх + 5 – m = 0; г) mx² – 2mx + 3 = 0;

д) (m – 2)х² + Зmх – 5= 0; е) х² + (m² – 6)х – 25 = 0.
Задача 23: Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението има 2 реални корена, които са противоположни числа:

а) х² – 2mх + m² – 5 = 0; б) х² + 2(m + 3)х + m² – 10 = 0;

в) 2х² – 2(3m – 1)х – Зm – 4 = 0; г) mх² –(2m + 5)х + m + 4 = 0;

д) х² –2(m² – 1)х + m⁴ – Зm² = 0.

а) х² – 2mх + m² – 4m + 4 = 0; б) х² + 4х + 4 – m² = 0;

в) 2х² – 5х + m² – 4m + 5 = 0; г) Зх² – 2mх + m² – 6m + 11 = 0;

д) x² + 4mx + 3m² – 5m + 3 = 0.

Теорема 2/обратна теорема/: Ако х₁ и х₂ са числа за които е изпълнено

то х₁ и х₂ са корени на квадратното уравнение

а) 5 и 7; б) –8 и –5; в) -4 и 9; г) 8 и –10;

д) и 3; е) и ; ж) и ; з) 2 + и 2 –;

и) 2 и –2; й) 3 + и 3 –;

а) у₁=2х₁, у₂ = 2х₂; б) у₁= –3х₁; у₂= –3х₂;

б) у₁=, у₂= г) у₁=, у₂=

Задача 44: Без да намирате корените х₁ и х₂, на квадратното уравнение х² - 5х + 3 = 0, съставете квадратно уравнение у² + ру + q = 0, корените на което са:
a) у₁=x₁ + 2, у₂ = х₂ + 2; б) у₁ = х₁ – 3, у₂= х₂ – 3;

б) у₁= 1 – х₁, у₂= 1 – х₂; г) y₁= –2 – x₁, y₂= –2 – x₂

a) у₁=2x₁ + 1, у₂ = 2х₂ + 1; б) у₁ = 3х₁ – 2, у₂= 3х₂ – 2;