Косинусова теорема

Косинусова теорема

Косинусова теорема

Както синусова, така и косинусова теорема ни дават възможност да намираме елементи на произволен триъгълник

Косинусова теорема

= +-2.b.c.

=+-2.a.c.

= +-2.a.b.

Приложения на косинусовата теорема

• Ако знаем две страни и един ъгъл в триъгълника, то третата страна можем да намерим по косинусова теорема

2) Чрез косинусова теорема можем да определяме вида на триъгълника според ъглите му: остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен

Пример 1

Дадено: Триъгълник АВС, ВС=8см, АВ=16см, ъгъл АВС=60

Да се намери :

Решение :

=+-2.a.c.

=+-2.8.16.

=64+256-2.8.16.

=320-128=192

b===

Пример 2

Дадено: триъгълник АВС

АС=4см, ВС=4,=120

Да се намери: АВ

Пример 2

Решение: Ще приложим косинусова теорема за страната ВС, а не за страната АВ, защото знаем ъгъл

=+-2.b.c.

=+-2.4.c.(-)

48=16++4.c +4c-32=0

=-8 (н.р) ,=4 AB= 4см

Важно !

Как определяме вида на триъгълник чрез косинусова теорема?

Използваме че :

Ако >0 , то е остър ъгъл

=0 , то е прав ъгъл

0 , то е тъп ъгъл

Пример 3

Определете вида на триъгълника според ъглите му, ако а=3см, b=5см, c=6см

Решение :

За да определим вида на триъгълника трябва да намерим най – големият му ъгъл, а най- големия ъгъл в триъгълника лежи срещу най – голямата страна. Следователно ще приложим косинусова теорема за страната c.

Пример 3

=+-2a.b.

=+-2.3.5.

36=9+25-30.

30.=34-36

30. = -2

= - =- <0

Следователно ъгъл е тъп . Триъгълникът е тъпоъгълен .

Домашна работа

Дадено:

=7 cm, b=8 cm, c=13 cm

Намерете:

ъгъл γ

cosβ, R, , , , S

Упътване: използвайте косинусова теорема, за да намерите ъглите, Херонова формула за лицето, формулите за медиани и ъглополовящи, за височината и радиуса на описаната окръжност – метод на лицата.