Ранг на една матрица се намира като се извършат последователно елементарни преобразувания и по редове и по стълбове, докато получим достатъчно проста матрица (например диагонална);
Основна задача:
Всяка ненулева матрица чрез елементарни преобразувания може да се приведе до матрица от следния тип:
1 0 0 … 0 0
0 1 0 … 0 0
………………
R = 0 0 … 1 …0 Fmxn;
0 0 … 0 0 0
………………
0 0 … 0 0 0
Броят на единиците по главния диагонал е точно рангът на матрицата;
Всяка ненулева матрица А може да се представи във вида P.R.Q, където P и Q са подходящи неособени матрици от съответния ред;
Нека A, B са матрици за които съществува A.B; A – неособена
r (A.B) = r(B); ако съществува B.A r(B.A) = r(B);
3 декември
Следствие: Нека A Fnxn; А = (aij) за i, j = { 1, 2, …n };
detA = 0 редовете (стълбовете) на А са линейно зависими;
Доказателство: detA = 0 r(A) < n рангът на системата
вектори-редове (вектори-стълбове) < n векторите-редове (векторите-стълбове) са линейно зависими;
10. Системи линейни уравнения.
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 1
(1)
21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 2
…
m1.x1 + m2.x2 + … + mn.xn = m
Нека
11 12 ……1n
21 22 ……2n
A = ………………… Fmxn;
…………………
m1 m2 ……mn
A наричаме матрица на системата;
Нека
11 12 ……1n 1
21 22 ……2n 2
A = ………………… … Fmxn+1;
………………… …
m1 m2 ……mn m
A наричаме разширена матрица на системата;
Очевидно е, че имаме r ( A ) = r ( A ) или r ( A ) = r ( A ) + 1;
Системата може да има решение: (x10, x20, … xn0) Fn; тогава тя се нарича съвместима;
Теорема на Руше:
(1) е съвместима r( A ) = r( A )
Доказателство:
Нека b1 = (11, 21, …, m1);
b2 = (12, 22, …, m2);
…
bn = (1n, 2n, …, mn);
b = (1, 2, …, m);
Забележка: във Fm: ℓ (b1, b2, …, bn) ℓ (b1, b2, …, bn, b);
ℓ (b1, b2, …, bn) = ℓ (b1, b2, …, bn, b) b ℓ (b1, b2, …, bn);
(1) e съвместима съществува (1, 2, …, n) Fn:
11.1 + 12.2 + … + 1n.n = 1
21.1 + 22.2 + … + 2n.n = 2
…
m1.1 + m2.2 + … + mn.n = m
b = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn ℓ (b1, b2, …, bn) = ℓ (b1, b2, …, bn, b)
(от забележката) r( A ) = r( A );
Ако r ( A ) r ( A ), то (1) няма решение;
Нека r ( A ) = r ( A ) = r;
Ако r = 0, тогава A = O всяка n-oрка е решение на системата;
Нека r 1; r min (m, n)
Можем да считаме, че
11 12 ……1r
21 22 ……2r
= …………………
…………………
r1 r2 ……rr
е минор различен от 0, тъй като ако е равен на 0 чрез разместване на уравнения (преобразувания по редове) и преномерация на неизвестните (преобразувания по стълбове) можем да разположим ненулев минор на това място; при тези преобразувания системата преминава в еквивалентна на нея система и r не се променя;
първите r уравнения в (1) са линейно независими (в противен случай = 0), а останалите уравнения са линейни комбинации на тези r уравнения (1) e равносилна с:
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 1
(2)
21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 2
…
r1.x1 + r2.x2 + … + rrn.xn = r
Ако r = n, то от (2) с 0 по формули на Крамер получаваме, че (2) има единствено решение (1) има единствено решение;
Нека 1 r < n;
Преобразуваме (2):
11.x1 + 12.x2 + … + 1r.xr = 1 - 1, r+1.xr+1 - … - 1n.xn
21.x1 + 22.x2 + … + 2r.xr = 2 - 2, r+1.xr+1 - … - 2n.xn
…
r1.x1 + r2.x2 + … + rr.xr = r - r, r+1.xr+1 - … - rn.xn
Решаваме тази система относно x1, x2, …, xr;
по формули на Крамер получаваме, че системата има единствено решение:
за k = 1, 2, …, r - xk = k/, kъдето:
стълб k
11 …1 - 1, r+1.xr+1 - … - 1n.xn … 1r
21 …2 - 2, r+1.xr+1 - … - 2n.xn … 2r
k = … … … … … …
… … … … … …
r1 …r - r, r+1.xr+1 - … - rn.xn … rr
Развиваме k по стълб k;
получаваме:
xk = k + k1.xr+1 + k2.xr+2 + … + kn.xn; k, ks F;
това е изпълнено за всяко k = 1, 2, …, r;
Ако 1 = 2 = … = m = 0, тогава k = 0;
така x1, x2, …, xr се изразяват по единствен начин чрез останалите неизвестни xr+1, xr+2, …, xn;
това са всички решения на (2), а следователно и на (1) с
xr+1, …, xn – произволни числа от полето F, те се наричат свободни параметри броят на решенията на системата е ; понякога се означава n-r, тъй като решенията зависят от n-r свободни параметъра;
Окончателно:
Броят на решенията на (1) е:
0 при r ( A ) r ( A )
1 при r ( A ) = r ( A ) = n
при r ( A ) = r ( A ) < n;
Всички решения имат вида x = (x1, x2, …, xr; xr+1, …, xn) Fn; свободните параметри xr+1, …, xn се наричат опашка на решението;
Свойство на опашките: ако y = (y1, y2, …, yr; yr+1, …, yn) Fn е друго решение на (1) и yr+1 = xr+1, …, yn = xn x = y; това е така, тъй като първите r решения се изразяват по единствен начин чрез последните n-r;
Системата (1) е хомогенна система, ако 1 = 2 = … = m = 0;
По-горе показахме, че (1) (2) – система от r линейно независими уравнения с n неизвестни, където r = r(A);
Свойства на хомогенните системи:
-
(1) е винаги съвместима – (0, 0, ..., 0) Fn винаги е решение; очевидно r( A ) = r( A ) = r;
-
Ако n > m, то системата (1) има ненулеви решения: r m, m < n r < n (1) има безброй много решения (1) има ненулево решение;
-
Нека m=n; (1) има ненулево решение detA = 0;
Доказателство:
Нека (1) има ненулево решение; допускаме, че detA 0;
тогава по формулите на Крамер имаме единствено решение това е точно нулевото решение, тъй като то винаги е решение – противоречие с факта, че (1) има ненулево решение detA = 0;
Нека detA = 0 r(A) < n (1) има безброй много решения
-
има ненулево решение;
-
Mножеството U от всички решения на системата (1) е подпространство на Fn;
Доказателство:
Трябва да проверим, че ако:
x = (x1, x2, …, xn) U, y = (y1, y2, …, yn) U, тогава
.x + .y = (.x1 + .y1, .x2 + .y2, …, .xn + .yn) U, където
, F – очевидно .x + .y удоволетворява (1) .x + .y U;
-
dimU = n - r, където r = r(A);
Доказателство:
Решенията на (1) са x = (x1, x2, …, xr; xr+1, …, xn) Fn, където
xr+1, …, xn са произволни числа от полето F;
за k = 1, 2, …, r;
xk = k1.xr+1 + k2.xr+2 + … + k, n-r.xn, където ks F;
Нека: xr+1 = 1, xr+2 = xr+3 … = xn = 0;
тогава получаваме решение c1 = (11, 21, …, r1; 1, 0, …, 0);
Нека xr+2 = 1; xr+1 = xr+3 = … = xn = 0;
тогава получаваме решение c2 = (12, 22, …, r2; 0, 1, …, 0);
………
Нека xn = 1; xr+1 = xr+2 = … = xn-1 = 0;
тогава получаваме решение cn-r = (1, n-r, 2, n-r, …, r, n-r; 0, 0, …1);
c1, c2, …, cn-r U; r(c1, c2, …, cn-r) = рангът на матрицата с вектори-редове c1, c2, …, cn-r;
тази матрица очевидно има минор от ред n-r, който е различено от 0 – той е разположен в последните n-r стълба – и тъй като рангът на една матрица не може да е по-голям от броя на редовете на матрицата r(c1, c2, …, cn-r) = n – r;
c1, c2, …, cn-r са линейно независими; (А)
Нека x = (x1, …, xr; xr+1, …, xn) U е произволно решение на (1);
Разглеждаме x = xr+1.c1 + xr+2.c2 + … + xn.cn-r;
тъй като c1, c2, …, cn-r U, xi F, U Fn x U;
о
r
свен това x = ( *, *, …*; xr+1, xr+2, …, xn), където * са някакви числа F;
имаме, че x и x имат еднакви опашки x = x (от свойство на опашките) x ℓ (c1, c2, …, cn-r); (B)
oт (А) и (B) c1, c2, …, cn-r образуват базис на U dimU = n – r;
Всеки базис на U се нарича фундаментална система решения (ФСР) на (1); например c1, c2, …, cn-r е ФСР; тогава за всяко x U имаме x = 1.c1 + 2.c2 + …+ n-r.cn-r, i F;
-
Нека (1) е произволна (нехомогенна) система и нека (1) е съответната хомогенна система (със същата матрица на системата, но свободните членове са нули); тогава всяко решение на (1) има вида: x = x0 + 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn, където x0 е едно фиксирано решение на (1),
c1, c2, …, cn – ФСР на (1), i F;
Доказателство: Нека x е произволно решение на (1); тогава очевидно x – x0 е решение на (1)
x - x0 = 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn x = x0 + 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn;
Известно е, че (1) (2) – хомогенна система от r линейно независими уравнения с n неизвестни; множеството от решенията е (n-r)-мерно подпространство на Fn;
Теорема: За всяко (n-r)-мерно подпространство U на Fn (0 r n) съществува хомогенна система от r линейно независими уравнения с n неизвестни, множеството от решенията на която съвпада с U;
Доказателство:
Ако U = Fn (r = 0), една такава система е |0.x1 + 0.x2 + … + 0.xn = 0;
Ако U = { } (r = n), една такава система е от n уравнения с n неизвестни и детерминанта на системата различна от 0;
Нека U е нетривиално подпространство на Fn (0 < r < n);
Избираме базис c1, c2, …, cn-r на U;
Нека c1 = ( 11, 12, …, 1n),
c2 = ( 21, 22, …, 2n),
…
cn-r = (n-r, 1, n-r, 2, …, n-r, n);
Разглеждаме системата:
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0
(*)
21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 0
…
n-r, 1.x1 + n-r, 2.x2 + … + n-r, n.xn = 0
Матрицата на (*) има ранг n-r, тъй като системата от нейните
вектори-редове c1, c2, …, cn-r е линейно независима;
ФСР на (*) се състои от n – (n – r) = r решения;
Нека това са:
a1 = (11, 12, …, 1n),
a2 = (21, 22, …, 2n),
…
ar = (r1, r2, …, rn);
за всяко j (1 j r) аj удоволетворява всяко уравнение на (*), т.е.
i1.j1 + i2.j2 + … + in.jn = 0 за всяко i (1 i n-r);
Разглеждаме системата:
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0
(**)
21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 0
…
r1.x1 + r2.x2 + … + rn.xn = 0
Матрицата на (**) има ранг r, тъй като нейните вектори редове са линейно независими (**) е система от r на брой линейно независими уравнения с n неизвестни;
Нека W е множеството от решенията на (**) W Fn, dimW = n-r;
за всяко i = 1, 2, …, n-r: ci (i1, i2, …, in) удоволетворява всяко уравнение на (**) c1, c2, …, cn-r са решения на (**)
c1, c2, …, cn-r W ℓ (c1, c2, …, cn-r) W U W, но
dimU = n – r = dimW U = W ;
Сподели с приятели: |