Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра


ноември – семинарни занятия



Изтегляне 2.43 Mb.
страница18/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   24

30 ноември – семинарни занятия

Ранг на една матрица се намира като се извършат последователно елементарни преобразувания и по редове и по стълбове, докато получим достатъчно проста матрица (например диагонална);


Основна задача:

Всяка ненулева матрица чрез елементарни преобразувания може да се приведе до матрица от следния тип:

1 0 0 … 0 0

0 1 0 … 0 0

………………

R = 0 0 … 1 …0  Fmxn;



0 0 … 0 0 0

………………


0 0 … 0 0 0
Броят на единиците по главния диагонал е точно рангът на матрицата;

Всяка ненулева матрица А може да се представи във вида P.R.Q, където P и Q са подходящи неособени матрици от съответния ред;


Нека A, B са матрици за които съществува A.B; A – неособена

 r (A.B) = r(B); ако съществува B.A  r(B.A) = r(B);


3 декември

Следствие: Нека A  Fnxn; А = (aij) за i, j = { 1, 2, …n };

detA = 0  редовете (стълбовете) на А са линейно зависими;

Доказателство: detA = 0  r(A) < n  рангът на системата

вектори-редове (вектори-стълбове) < n  векторите-редове (векторите-стълбове) са линейно зависими;

10. Системи линейни уравнения.


11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 1


(1)


21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 2

…

m1.x1 + m2.x2 + … + mn.xn = m


Нека

11 12 ……1n

2122 ……2n

A = …………………  Fmxn;

…………………


m1m2 ……mn
A наричаме матрица на системата;

Нека


11 12 ……1n1

2122 ……2n 2

A = ………………… …  Fmxn+1;

………………… …

m1m2 ……mn m
A наричаме разширена матрица на системата;


Очевидно е, че имаме r ( A ) = r ( A ) или r ( A ) = r ( A ) + 1;


Системата може да има решение: (x10, x20, … xn0)  Fn; тогава тя се нарича съвместима;
Теорема на Руше:

(1) е съвместима  r( A ) = r( A )

Доказателство:

Нека b1 = (11, 21, …, m1);

b2 = (12, 22, …, m2);

…

bn = (1n, 2n, …, mn);



b = (1, 2, …, m);

Забележка: във Fm: ℓ (b1, b2, …, bn) ℓ (b1, b2, …, bn, b);

ℓ (b1, b2, …, bn) = ℓ (b1, b2, …, bn, b)  b  ℓ (b1, b2, …, bn);
(1) e съвместима  съществува (1, 2, …, n)  Fn:

11.1 + 12.2 + … + 1n.n = 1

21.1 + 22.2 + … + 2n.n = 2

…

m1.1 + m2.2 + … + mn.n = m


 b = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bnℓ (b1, b2, …, bn) = ℓ (b1, b2, …, bn, b)

(от забележката)  r( A ) = r( A );


Ако r ( A )  r ( A ), то (1) няма решение;
Нека r ( A ) = r ( A ) = r;
Ако r = 0, тогава A = O  всяка n-oрка е решение на системата;

Нека r  1; r  min (m, n)

Можем да считаме, че


11 12 ……1r

2122 ……2r

 = …………………

…………………

r1r2 ……rr


е минор различен от 0, тъй като ако е равен на 0 чрез разместване на уравнения (преобразувания по редове) и преномерация на неизвестните (преобразувания по стълбове) можем да разположим ненулев минор на това място; при тези преобразувания системата преминава в еквивалентна на нея система и r не се променя;

 първите r уравнения в (1) са линейно независими (в противен случай  = 0), а останалите уравнения са линейни комбинации на тези r уравнения  (1) e равносилна с:


11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 1


(2)


21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 2

…

r1.x1 + r2.x2 + … + rrn.xn = r


Ако r = n, то от (2) с   0 по формули на Крамер получаваме, че (2) има единствено решение  (1) има единствено решение;

Нека 1  r < n;

Преобразуваме (2):

11.x1 + 12.x2 + … + 1r.xr = 1 - 1, r+1.xr+1 - … - 1n.xn

21.x1 + 22.x2 + … + 2r.xr = 2 - 2, r+1.xr+1 - … - 2n.xn

…

r1.x1 + r2.x2 + … + rr.xr = r - r, r+1.xr+1 - … - rn.xn



Решаваме тази система относно x1, x2, …, xr;

по формули на Крамер получаваме, че системата има единствено решение:

за k = 1, 2, …, r - xk = k/, kъдето:


стълб k



11 …1 - 1, r+1.xr+1 - … - 1n.xn … 1r

21 …2 - 2, r+1.xr+1 - … - 2n.xn … 2r

k = … … … … … …

… … … … … …

r1 …r - r, r+1.xr+1 - … - rn.xn … rr


Развиваме k по стълб k;

получаваме:

xk = k + k1.xr+1 + k2.xr+2 + … + kn.xn; k, ksF;

това е изпълнено за всяко k = 1, 2, …, r;

Ако 1 = 2 = … = m = 0, тогава k = 0;

така x1, x2, …, xr се изразяват по единствен начин чрез останалите неизвестни xr+1, xr+2, …, xn;

това са всички решения на (2), а следователно и на (1) с

xr+1, …, xn – произволни числа от полето F, те се наричат свободни параметри  броят на решенията на системата е ; понякога се означава n-r, тъй като решенията зависят от n-r свободни параметъра;


Окончателно:

Броят на решенията на (1) е:

0 при r ( A )  r ( A )

1 при r ( A ) = r ( A ) = n

при r ( A ) = r ( A ) < n;
Всички решения имат вида x = (x1, x2, …, xr; xr+1, …, xn)  Fn; свободните параметри xr+1, …, xn се наричат опашка на решението;
Свойство на опашките: ако y = (y1, y2, …, yr; yr+1, …, yn)  Fn е друго решение на (1) и yr+1 = xr+1, …, yn = xn  x = y; това е така, тъй като първите r решения се изразяват по единствен начин чрез последните n-r;
Системата (1) е хомогенна система, ако 1 = 2 = … = m = 0;

По-горе показахме, че (1)  (2) – система от r линейно независими уравнения с n неизвестни, където r = r(A);


Свойства на хомогенните системи:

  1. (1) е винаги съвместима – (0, 0, ..., 0)  Fn винаги е решение; очевидно r( A ) = r( A ) = r;

  2. Ако n > m, то системата (1) има ненулеви решения: r  m, m < n  r < n  (1) има безброй много решения  (1) има ненулево решение;

  3. Нека m=n; (1) има ненулево решение  detA = 0;

Доказателство:

Нека (1) има ненулево решение; допускаме, че detA  0;

тогава по формулите на Крамер имаме единствено решение  това е точно нулевото решение, тъй като то винаги е решение – противоречие с факта, че (1) има ненулево решение  detA = 0;

Нека detA = 0  r(A) < n  (1) има безброй много решения 



  1. има ненулево решение;

  1. Mножеството U от всички решения на системата (1) е подпространство на Fn;

Доказателство:

Трябва да проверим, че ако:

x = (x1, x2, …, xn)  U, y = (y1, y2, …, yn)  U, тогава

.x + .y = (.x1 + .y1, .x2 + .y2, …, .xn + .yn)  U, където

,   F – очевидно .x + .y удоволетворява (1)  .x + .y  U;


  1. dimU = n - r, където r = r(A);

Доказателство:

Решенията на (1) са x = (x1, x2, …, xr; xr+1, …, xn)  Fn, където

xr+1, …, xn са произволни числа от полето F;

за k = 1, 2, …, r;

xk = k1.xr+1 + k2.xr+2 + … + k, n-r.xn, където ksF;
Нека: xr+1 = 1, xr+2 = xr+3 … = xn = 0;

тогава получаваме решение c1 = (11, 21, …, r1; 1, 0, …, 0);

Нека xr+2 = 1; xr+1 = xr+3 = … = xn = 0;

тогава получаваме решение c2 = (12, 22, …, r2; 0, 1, …, 0);

………

Нека xn = 1; xr+1 = xr+2 = … = xn-1 = 0;



тогава получаваме решение cn-r = (1, n-r, 2, n-r, …, r, n-r; 0, 0, …1);

c1, c2, …, cn-rU; r(c1, c2, …, cn-r) = рангът на матрицата с вектори-редове c1, c2, …, cn-r;

тази матрица очевидно има минор от ред n-r, който е различено от 0 – той е разположен в последните n-r стълба – и тъй като рангът на една матрица не може да е по-голям от броя на редовете на матрицата  r(c1, c2, …, cn-r) = n – r; 

c1, c2, …, cn-r са линейно независими; (А)

Нека x = (x1, …, xr; xr+1, …, xn)  U е произволно решение на (1);

Разглеждаме x = xr+1.c1 + xr+2.c2 + … + xn.cn-r;

тъй като c1, c2, …, cn-rU, xiF, U Fn  x  U;

о


r
свен това x = ( *, *, …*; xr+1, xr+2, …, xn), където * са някакви числа  F;

имаме, че x и x имат еднакви опашки  x = x (от свойство на опашките)  x  ℓ (c1, c2, …, cn-r); (B)

oт (А) и (B)  c1, c2, …, cn-r образуват базис на U  dimU = n – r;

Всеки базис на U се нарича фундаментална система решения (ФСР) на (1); например c1, c2, …, cn-r е ФСР; тогава за всяко x  U имаме x = 1.c1 + 2.c2 + …+ n-r.cn-r, iF;



  1. Нека (1) е произволна (нехомогенна) система и нека (1) е съответната хомогенна система (със същата матрица на системата, но свободните членове са нули); тогава всяко решение на (1) има вида: x = x0 + 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn, където x0 е едно фиксирано решение на (1),

c1, c2, …, cn – ФСР на (1), iF;

Доказателство: Нека x е произволно решение на (1); тогава очевидно x – x0 е решение на (1) 

x - x0 = 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn  x = x0 + 1.c1 + 2.c2 + … + n.cn;
Известно е, че (1)  (2) – хомогенна система от r линейно независими уравнения с n неизвестни; множеството от решенията е (n-r)-мерно подпространство на Fn;
Теорема: За всяко (n-r)-мерно подпространство U на Fn (0  r  n) съществува хомогенна система от r линейно независими уравнения с n неизвестни, множеството от решенията на която съвпада с U;

Доказателство:

Ако U = Fn (r = 0), една такава система е |0.x1 + 0.x2 + … + 0.xn = 0;

Ако U = {  } (r = n), една такава система е от n уравнения с n неизвестни и детерминанта на системата различна от 0;

Нека U е нетривиално подпространство на Fn (0 < r < n);

Избираме базис c1, c2, …, cn-r на U;

Нека c1 = ( 11, 12, …, 1n),

c2 = ( 21, 22, …, 2n),

…

cn-r = (n-r, 1, n-r, 2, …, n-r, n);


Разглеждаме системата:
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0


(*)


21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 0

…

n-r, 1.x1 + n-r, 2.x2 + … + n-r, n.xn = 0


Матрицата на (*) има ранг n-r, тъй като системата от нейните

вектори-редове c1, c2, …, cn-r е линейно независима;

 ФСР на (*) се състои от n – (n – r) = r решения;

Нека това са:

a1 = (11, 12, …, 1n),

a2 = (21, 22, …, 2n),

…

ar = (r1, r2, …, rn);



за всяко j (1  j  r) аj удоволетворява всяко уравнение на (*), т.е.

i1.j1 + i2.j2 + … + in.jn = 0 за всяко i (1  i  n-r);


Разглеждаме системата:
11.x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0


(**)


21.x1 + 22.x2 + … + 2n.xn = 0

…

r1.x1 + r2.x2 + … + rn.xn = 0


Матрицата на (**) има ранг r, тъй като нейните вектори редове са линейно независими  (**) е система от r на брой линейно независими уравнения с n неизвестни;

Нека W е множеството от решенията на (**)  W Fn, dimW = n-r;

за всяко i = 1, 2, …, n-r: ci (i1, i2, …, in) удоволетворява всяко уравнение на (**)  c1, c2, …, cn-r са решения на (**) 

c1, c2, …, cn-rWℓ (c1, c2, …, cn-r) WU W, но

dimU = n – r = dimWU = W ;



Изтегляне 2.43 Mb.

Сподели с приятели:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   24



©obuch.info 2024
отнасят до администрацията
    Начална страница
Автореферат
Анализ
Бизнес-план
Биография
Глава
Диплом
Доклад
Задача
Закон
Занятие
Заседание